湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列、组合的实际应用 2．【答案】C 【知识点】导数的几何意义 3．【答案】C 【知识点】棱柱的结构特征 4．【答案】D 【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【解析】【解答】解：因为 所以. 故选：D. 【分析】根据向量的数量积求模公式和数量积的运算法则，进而得出向量的模长. 5．【答案】C 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】解：因为 矩形内（包括边界）的点满足 ， 所以点P在矩形内的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆在矩形内的半圆， 设直线AP交于点Q，过点Q作，交AC于点H， 因为平面ABCD，可知平面ABCD， 则AP与平面ABCD所成的角为， 可知当AP与半圆C相切于点P时，取最大值， 连接CP， 则，可得，， 且是等腰直角三角形，使用， 又因为，则， 且，即是等腰直角三角形，则，可得， 由正方体的性质可得， 设平面α分别交棱于点，连接EN， 因为，平面，平面， 所以，即， 设截面α分别交直线于点M，G， 同理可得， 设，则， 同理可得，即为等腰直角三角形， 则，且，则，即Q为FG的中点， 可得，，， 因为，，则为等腰直角三角形， 可得，， 又因为平面ABCD，平面ABCD，则， 可得，所以， 同理可得， 所以平面截正方体所形成图形的周长为， 故答案为：C. 【分析】由题意可知：点P在矩形内的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆在矩形内的半圆，由线面夹角结合圆的性质可知，结合平行的性质分析截面，进而可得结果. 6．【答案】A 【知识点】利用导数研究函数最大（小）值 7．【答案】D 【知识点】等差数列的前n项和；二倍角的余弦公式 【解析】【解答】∵ 为等差数列， ， ， ∵ 时，数列 的前 项和 取得最小值， ， 故答案为：D。 【分析】利用数列 为等差数列， 结合二倍角的余弦公式，再利用等差数列的性质，进而求出等差数列的公差，再利用数列的项的正负判断出当 时，数列 的前 项和 取得最小值，进而得出再利用等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项的取值范围。 8．【答案】C 【知识点】球的表面积与体积公式及应用；余弦定理 【解析】【解答】解：记S点左侧定点为E，并连结AE， 根据正方体的性质有：且构造出直三棱柱，则四棱锥 的高h与直三棱柱的高相等等于正方体的棱长1，即，且四棱锥 的外接球与直三棱柱的外接球相同，根据勾股定理可算得：，又，在由余弦定理得：，则：， 设的外接球半径为r，根据正弦定理可得，解得，根据正方体的性质可得：棱锥 的外接球的半径R=， 故四棱锥的外接球的表面积. 故答案为：C. 【分析】利用正方体的性质构造出直三棱柱，从而将四棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球问题，易得四棱锥 的高h与直三棱柱的高相等且等于正方体的棱长1，即 9．【答案】A,C,D 【知识点】正弦函数的性质；函数的零点 【解析】【解答】对于A： ，A符合题意； 对于B： ，不是最值，B不符合题意； 对于C： ， 则 的单调递增区间为 ， 又 ，则C符合题意. 对于D： ，则D符合题意. 故答案为：ACD. 【分析】对于A：直接代入 即可判断；对于B：代入检验是否为最值即可判断；对于C：求出 的单调增区间即可判断；对于D：直接代入 即可判断. 10．【答案】B,C,D 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理 【解析】【解答】解：A、函数， 令，则或或，解得，，，， 在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，故A错误； B、当在附近时，，在上单调递增，且， 当时，，，所以； 当时，，在附近正负交替，但， 所以是的极小值点，故B正确； C、函数的定义域为，， 当时，，，，， ，且在内，随着的变化，会先大于后小于，则在区间内存在极大值，故C正确； D、当时，，，，则， ， 在上，，，，； ，，，； ，，，， 即，则在区间上单调递减，故D正确． 故答案为：BCD． 【分析】令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断A；在附近，分析、、正负，时，时，所以是极小值点即可判断B；对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在上，分析正负，再分析各项正负，得，单调递减即可判断D． 11．【答案】B,D 【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系 12．【答案】5 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：因为 的定义域为，则， 由题意可得，解得， 则， 注意到，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则 在处取得极大值-1， 即符合题意，所以. 故答案为：5. 【分析】根据题意结合极值点的性质列式求，并代入检验即可. 13．【答案】9； 【知识点】对数的概念与表示 14．【答案】 【知识点】圆的一般方程 【解析】【解答】四边形的周长为 ， 只需求出的最小值时的值. 由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，故，所以直线方程为，令，得 ，所以， 由以上讨论，得四边形的周长最小时，，， 设过三点的圆方程为， 解得， 故的外接圆的方程为。 故答案为：。 【分析】利用四边形周长公式结合勾股定理得出四边形的周长为 ，只需求出的最小值时的值，由于，表示轴上的点与和距离之和，只需该距离和最小即可.可得该距离最小为和间距离，令，，再利用两点求斜率公式得出直线EF的斜率，再结合点斜式求出直线方程，再令得出y的值，进而得出a的值，由以上讨论，得四边形的周长最小时，，，设过三点的圆方程为，再利用代入法得出三角形的外接圆的方程。 15．【答案】（1）证明：如图，设，连接， 由四边形ABCD是正方形得， 因H为BC的中点，故且， 又因且，则有且， 故得平行四边形，则有， 因平面，平面，故得平面. （2）解：由（1）得：，，则有， 因，平面，故平面， 又平面，则，故， 又，则， 因平面，故平面， 因平面，则，故， 因平面，故平面. （3）解：如图，由（2）知平面， 分别以为正方向建立空间直角坐标系. 不妨设正方形边长为2，在中，故， 则有 于是，设平面的法向量为， 则故可取：， ，设平面的法向量为， 则故可取：， 设二面角的平面角为，易知为锐角， 则， 故得，即二面角为. 【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正方形的结构特征和中位线的性质，进而得出线线平行和线段相等，再结合平行四边形的定义，从而判断出四边形为平行四边形，进而得出线线平行，再结合线线平行证出线面平行，从而证出平面. （2）由（1）结合线线垂直和线面垂直的关系，进而证出线面垂直. （3）由（2）知平面，从而建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出二面角的大小. 16．【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ， ， ， 为等边三角形， 即 为等边三角形， ， 设 ，则 ， ， ，即 ， ， 分别为 ， 的中点， ， ， 又 ， 、 平面 ， 平面 ， 平面 ， ． （2）解：由（1）知， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ， 令 ，则 ， ， ，0， ， 同理可得，平面 的法向量为 ， ， ， ， ， 由图知，二面角 为锐角， 故二面角 的余弦值为 ． 【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角 【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ， ， ，再利用已知条件结合等边三角形的定义，得出三角形 为等边三角形，即 为等边三角形，再利用等边三角形三线合一，所以 ，再利用已知条件结合勾股定理推出 ，再结合 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。 （2） 由（1）知， ，再利用平面 平面 结合面面垂直的性质定理，从而推出线面垂直，所以 平面 ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式，进而求出二面角 的余弦值。 17．【答案】（1）解：函数定义域为，求导可得， 令，得或；令，得， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）解：当时，等价于， 设，求导可得，易知， 则函数在上单调递减，； （3）解：当时，， 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的大致图象，如图所示： 因为，所以，所以， 由，且切点，则曲线在处的切线为， 同理可得曲线在处的切线为， 设，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 因为，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以在上恒成立， 设直线与直线交点的横坐标为，则，则，则， 所以，同理可得， 所以，得证. 【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数的正负求函数的单调区间即可； （2）利用分离参数整理不等式，构造函数，求导并结合导数与函数单调性的关系求解即可； （3）由（1）大致作函数图象，利用函数与方程的关系进一步确定参数的范围，整理不等式，分别构造函数，结合不等式性质证明即可. （1）由，求导可得， 令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）当时，等价于， 设，则， 所以在上单调递减，所以． （3）当时，， 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 作出函数的大致图象，如图： 因为，所以，所以． 由，且切点，则曲线在处的切线为， 同理可得曲线在处的切线为， 设，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 因为，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以在上恒成立， 设直线与直线交点的横坐标为，则，则，则，所以． 同理可得， 所以，得证. 18．【答案】（1）解：. ①当时，在上单调递诚，在上单调递增，所以为的极小值点． ②当时，由得或． （ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点； （ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以为的极小值点； （ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚， 在上单调递增，所以为的极大值点， 综上，a的取值范围是． （2）解：根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以． 所以即证，． 设，则， 设，则， 设，则， 当时，，，， 所以，即， 所以在上单调递增． ，，又， 所以，所以，使． 因此当时，，当时，． 得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因此当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，得， 所以，从而原命题得证． 【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值点，再结合 为 的极小值点，从而求出实数a的取值范围。 （2）根据（1）可知 ， 为唯一的极值，再结合求导的方法结合代入法得出a的值，所以即证 ， ， 设 ， 再利用求导的方法判断函数的单调性进而求出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而证出 ， 。 19．【答案】（1）证明：由得，，， ，由余弦定理可得， ，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面. （2）解：因为平面，平面，平面平面，故， 而是的中点，故为中位线，得， 又，故为中点， 由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，，，， 所以，，解得， 则，解得，故点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角 【解析】【分析】（1） 由得，，，再利用作差法得出CE的长，由余弦定理可得，再由勾股定理得到，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，从而证出平面。 （2）利用 平面结合线面平行的性质定理证出线线平行，故，而是的中点，故为中位线，得，再利用，故为中点，由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设点，其中，，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合已知条件得出实数a的值，再利用勾股定理得出实数b的值，从而得出点A的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为锐角，进而得出二面角的余弦值。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学试卷 一、单选题 1．某次会议安排甲、乙等六人的座位在第一排的号，其中甲的座位号为奇数，乙的座位号为偶数，且甲、乙不相邻，则这六人不同的座位安排方法种数为（　　） A．48 B．96 C．128 D．186 2．若直线是曲线与的公切线，则（　　） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（　　） ①直线与直线垂直； ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等； ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．已知单位向量，满足，则（　　） A．1 B．2 C． D． 5．已知正方体的边长为1，点关于平面对称的点为，矩形内（包括边界）的点满足，记直线与平面所成线面角为.当最大时，过直线做平面平行于直线，则此时平面截正方体所形成图形的周长为（　　） A． B． C． D． 6．已知，函数的定义域为的值域为的子集，则这样的函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数个 7．已知等差数列 的公差 ，且 ，当 时，数列 的前 项和 取得最小值，则首项 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8． 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面关于 叙述中正确的是（　　） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．在区间 上单调 D．函数 的零点为 10．已知函数，则（　　） A．在区间内存在零点 B．0是的极小值点 C．在区间内存在极大值 D．在区间上单调递减 11．已知，用表示不超过的最大整数．若函数，函数，则下列说法正确的是（　　） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数的图象关于直线对称 D．方程只有一个实数根 三、填空题 12． 函数在处取得极大值-1，则　 　. 13．已知均为正实数，函数． （1）若的图象过点，则的最小值为　 　； （2）若的图象过点，且恒成立，则实数的最小值为　 　． 14．平面直角坐标系中，已知点，，，，当四边形的周长最小时，的外接圆的方程为　 　． 四、解答题 15．如图，在多面体中，四边形是正方形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的大小． 16．如图，在平行四边形 中， ， 为 的中点，且 ，现将平行四边形沿 折叠成四棱锥 ． （1）已知 为 的中点，求证： ； （2）若平面 平面 ，求二面角 的余弦值． 17．已知函数． （1）求的单调区间； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程有两个不相等的正实数解，，且，求证：． 18．已知函数． （1）若为的极小值点，求a的取值范围； （2）若有唯一的极值，证明：，． 19．如图，在三棱锥中，平面平面 ，，点在棱上，且. （1）证明：平面； （2）设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$