精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2024--2025学年八年级下学期6月期末考试数学试题

陕西师大附中2024—2025学年度第二学期 期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个正确选项） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解决此题的关键．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； B、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； C、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 若，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，原变形正确，故本选项不符合题意； B、∵， ∴，原变形错误，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，原变形错误，故本选项符合题意； D、∵， ∴，原变形错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 若多项式x2+mx+n因式分解的结果为（x﹣3）•（x+1），则m，n的值分别为（　　） A. ﹣2，﹣3 B. ﹣2，3 C. 2，﹣3 D. 2，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值． 【详解】解：∵ = = ∴m=-2，n=-3， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 4. 已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（ ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行四边形的判定及三角形中位线的性质．连接，得出是的中位线，即，，同理可得，，，即可得结论． 【详解】解：连接，如图， 、分别是边、的中点， 是的中位线 ，， 同理，，， ，， 四边形的形状是平行四边形． 故选B． 5. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，，，由平行线的性质可得，由角平分线定义得到，因此，可得，求出，得到，即可得的长． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 若方程的两根之积为，则的值是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负． 【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ． 题目给出根的积为 ，因此有： 解得： 验证判别式： 当 时，，方程有实根，符合条件． 故选B． 7. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作法知垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线， ∵对角线，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得： ； 故选B． 8. 关于的不等式恰有两个正整数解，则值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解等知识点． 选项中，只有（选项C）满足此范围．验证：当时，解集为，正整数解为1和2，恰好两个，符合条件．其他选项均不符合：或时，解集的正整数解不足两个；时，解集的正整数解超过两个． 【详解】解：解不等式，得． 题目要求该不等式恰有两个正整数解，即存在两个最大的正整数满足．这两个正整数只能是1和2，因此需满足： 第二个正整数2必须包含在解集中，即； 第三个正整数3不能包含在解集中，即． 综上，． 故选C． 9. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，即可得到，，根据旋转的性质可知是等边三角形，则，利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，，利用四边形的面积等边面积面积面积的面积的面积的面积，进行计算即可判断． 【详解】解：在和中，，，， ∴， ∴. 如图，连接， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ∴， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，. ∴面积为， 作于，则， ∴， ∴等边面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解． 10. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分：计18分） 11. 已知关于的方程的一个根是1，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握基础知识是解题关键． 将代入方程即可求出的值． 【详解】解：已知是的一个根， ∴， 解得：． 故答案为3． 12. 命题“菱形的对角线互相垂直”，该命题的逆命题是_____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．本题只需将命题“菱形的对角线互相垂直”的条件和结论部分互换，变成新的命题即可得到它的逆命题；再根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，运用所学知识对它进行判断． 【详解】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，它是一个假命题． 【点睛】写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．而判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13. 已知一个多边形的内角和是一个五边形外角和的3倍，则这个多边形的边数是________． 【答案】八##8 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和公式和外角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和等于，外角和等于，结合题意列方程求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是，则这个多边形的内角和为， ∵五边形的外角和为，且这个多边形的内角和是五边形的外角和的3倍， ∴， 解得， ∴这个多边形为八边形． 故答案为：八． 14. 当____时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的计算方法是解题的关键；增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【详解】解 ：去分母得： 解得：； 因为关于的方程会产生增根，则增根为， 故， 解得：； 故答案为： 15. 如图，在边长为5的正方形中，为的中点，为的中点，连接交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解题关键是利用面积法求出，． 过点作，垂足为，容易证明，进而可得，再利用，求出，进而求出可得，由面积法求出，结合勾股定理即可出，，由，即可解题． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵在边长为5的正方形中， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 故答案为：． 16. 如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，垂线段的性质等，证明为定值是解题的关键． 先证四边形是矩形，再证，，进而可得，，推出为定值，由垂线段最短，可知当时，取最小值，也取最小值． 【详解】解：矩形中， ，， 点、、分别为矩形的边、、的中点，， ，四边形是矩形， ，， ，， ，， ，， ，， ， 点为边上一动点， 当时，取最小值，最小值为3， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 计算或因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的乘法，负整数指数幂，提公因式法和公式法因式分解，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）根据实数的运算法则解题即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）先去分母，再解整式方程即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了分式方程的解法、因式分解法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴， 当时，， 故原方程的解为. 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组解集的解法步骤是解决问题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 原不等式组的解集为． 20. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，已知，于．请你利用尺规在边上求作一点，使到的距离与长度相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，分析“，使到的距离与长度相等”，得出作的角平分线，与的交点即为点，即可作答． 【详解】解：如图，点，即为所求． ∵是的角平分线，， . 22. 如图，四边形为菱形，点E为边上一点，连接，点 F为延长线上一点，连接，若，求证：． 【答案】证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由菱形的性质证明即可． 【详解】略 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 【答案】（1） 解：如图，四边形（或）即为所求； 或 （2） 如图，点即为所求； ， 【解析】 【分析】本题考查平移，平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质： （1）利用平移思想，将点向右移动2个单位，再向下移动一个单位，得到点即可（或将点向左移动2个单位，再向上移动一个单位，也可得到点），此时，故四边形为平行四边形； （2）构造等腰三角形，利用三线合一，结合四边形面积为9，可得面积等于2，由此即可得到点在点下方第4个格点处．再根据勾股定理求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知四边形的面积为：． ， 24. 为响应国家教育部号召，陕西省陆续将中小学课间从10分钟延长至15分钟，让孩子们在阳光下多奔跑、多运动，让孩子们身上有汗，眼中有光．某校组织学生利用课间进行“阳光最美大课间·跳绳”活动．据调查，孩子们的跳绳价格主要集中在甲和乙两种，且甲种比乙种的单价贵10元，已知用450元购买的甲种跳绳条数与用350元购买的乙种跳绳条数相等，现准备同时购买甲、乙两种跳绳． （1）请问甲、乙两种跳绳单价各多少元？（列分式方程求解） （2）若准备购进甲、乙两种跳绳共计20条，总费用不超过720元，请问有几种购买方案，并写出具体方案？ 【答案】（1）甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元． （2）有3种购买方案，①购买甲种跳绳个，乙种跳绳个，②购买甲种跳绳个，乙种跳绳个，．③购买甲种跳绳个，乙种跳绳个. 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确的列出方程与不等式是解题的关键． （1）设甲种跳绳的单价为元，则乙种跳绳的单价为元，根据“用450元购买的甲种跳绳条数与用350元购买的乙种跳绳条数相等”，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种跳绳个，则购买乙种跳绳个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元， 依题意，得： ， 解并检验得： ∴乙种跳绳的单价为． 答：甲种跳绳的单价为元，乙种跳绳的单价为元． 【小问2详解】 设购买甲种跳绳个，则购买乙种跳绳个， 依题意，得：， 解得：． ∵为整数， ∴当时，即购买甲种跳绳个，则购买乙种跳绳个，总费用为元； 当时，即购买甲种跳绳个，则购买乙种跳绳个，总费用为元； 当时，即购买甲种跳绳个，则购买乙种跳绳个，总费用为元； 答：有3种购买方案，①购买甲种跳绳个，乙种跳绳个，②购买甲种跳绳个，乙种跳绳个，③购买甲种跳绳个，乙种跳绳个. 25. 【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点为的中点，连接，点为上一动点（不与端点重合），点为的中点，点为内一点，连接并延长到点，使得，连接，已知，． ①若，则 ， ， ．（请用含的式子表示）； ②判断与的关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，取的中点将四边形分成两部分，为上任意一点（不与端点重合），取的中点，点为四边形内任一点，连接，使，若，试探究：与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据线段中点的定义，和三角形的中位线定理求解即可； ②根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，根据三角形中位线定理并结合已知可得出，则可求出，由①知：，则可证明，得出，，进而得出，然后根据等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）延长至点F，使，连接，，，，证明是等边三角形，得出，，设，，同（1）可求，根据三角形中位线定理以及交的和差关系可求，证明，，，进而得出，则可证是等边三角形，得出，即可求解． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴， 又， ∴， 故答案为：；；； ②， 理由： ∵，， ∴， ∵点为的中点，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由①知：， 又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； （2） 理由，延长至点F，使，连接，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，， 同（1）可求， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024—2025学年度第二学期 期末考试八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个正确选项） 1. 公元2025年是我国农历乙已年，属蛇年，春节期间，大小媒体会呈现大量以蛇为主题的文案，金蛇献瑞、蛇舞新春!下列年画图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则根据不等式的性质，下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若多项式x2+mx+n因式分解的结果为（x﹣3）•（x+1），则m，n的值分别为（　　） A. ﹣2，﹣3 B. ﹣2，3 C. 2，﹣3 D. 2，3 4. 已知四边形，若依次为四边形的边的中点，则四边形为（ ） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 5. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若方程的两根之积为，则的值是（ ） A. -1 B. 1 C. D. 7. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 关于的不等式恰有两个正整数解，则值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，点O是等边内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分：计18分） 11. 已知关于的方程的一个根是1，则的值是________． 12. 命题“菱形的对角线互相垂直”，该命题的逆命题是_____________命题．（填“真”或“假”） 13. 已知一个多边形的内角和是一个五边形外角和的3倍，则这个多边形的边数是________． 14. 当____时，解关于的方程会产生增根． 15. 如图，在边长为5的正方形中，为的中点，为的中点，连接交于点，连接，则的长为________． 16. 如图，点、、分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点为上的动点，过作于于，点为边上一动点，连接，已知，则的最小值为_______． 三、解答题（共9小题，计52分） 17. 计算或因式分解： （1） （2） 18. 解下列方程： （1） （2） 19. 解不等式组： 20. 先化简，再代入求值：，其中． 21. 如图，已知，于．请你利用尺规在边上求作一点，使到的距离与长度相等．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，四边形为菱形，点E为边上一点，连接，点 F为延长线上一点，连接，若，求证：． 23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出点（点在小正方形的顶点上），使以为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中确定点（点在小正方形的顶点上），连接，使，且四边形面积为9，请在图中标出点的位置，则 ． 24. 为响应国家教育部号召，陕西省陆续将中小学课间从10分钟延长至15分钟，让孩子们在阳光下多奔跑、多运动，让孩子们身上有汗，眼中有光．某校组织学生利用课间进行“阳光最美大课间·跳绳”活动．据调查，孩子们的跳绳价格主要集中在甲和乙两种，且甲种比乙种的单价贵10元，已知用450元购买的甲种跳绳条数与用350元购买的乙种跳绳条数相等，现准备同时购买甲、乙两种跳绳． （1）请问甲、乙两种跳绳单价各多少元？（列分式方程求解） （2）若准备购进甲、乙两种跳绳共计20条，总费用不超过720元，请问有几种购买方案，并写出具体方案？ 25. 【问题探究】 （1）如图1，在等腰中，，点为的中点，连接，点为上一动点（不与端点重合），点为的中点，点为内一点，连接并延长到点，使得，连接，已知，． ①若，则 ， ， ．（请用含的式子表示）； ②判断与的关系，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，取的中点将四边形分成两部分，为上任意一点（不与端点重合），取的中点，点为四边形内任一点，连接，使，若，试探究：与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $