专题11 曲线系 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题11 曲线系--答案解析 【专题探究】 例1【解析】由得，即直线和的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 代入点得，即， 与直线平行的直线方程为，即； 设垂直于直线的直线方程为， 代入点，得，即， 所以垂直于直线的直线方程为， 故答案为；. 例2【解析】因为点到直线系中 每条直线的距离， 直线系表示圆的切线集合． 由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行， 所以中所有直线均经过一个定点不可能，故不正确 存在定点不在中的任一条直线上，观察知点符合条件，故正确 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上， 由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，故正确 如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类， 一类如，一类是，显然这两类三角形的面积不相等，故不正确． 故答案为． 练1【解析】直线：，化为：， 令，解得． 因此直线经过定点， 点到直线的距离的最大值为． 故选B．   例3【解析】对于，将代入圆方程，则有， 即，此方程有解，所以存在圆经过原点，故A正确； 对于，圆的圆心为，半径为，要使得圆上所有点均在第一象限， 则，解得，且，则存在圆使得圆上所有点均在第一象限，故B正确； 对于,由消去得,故这些圆得圆心在直线上,故C正确； 对于,设公切线方程为,则由直线与圆相切有,对一切成立， 即对一切恒成立， 所以，即 当不存在时，圆心到直线为的距离为，即半径，故也是一系列圆的公切线， 所以公切线方程为和，有两条，故D错误． 故选ABC． 练2【解析】设，， ，，则圆的方程为， 联立或， 又，，， ，解得：或，又，， 则圆的方程为，即， 故答案为．   例3【解析】设，， ，，则圆的方程为， 联立或， 又，，， ，解得：或， 又，， 则圆的方程为，即， 故答案为．   练3【解析】解：由题意 ， 椭圆的方程为． 由知， 则直线的方程为， 联立 由韦达定理，代入直线的方程得，， 即，直线的方程为， 联立 由韦达定理，代入直线的方程得，， 即，直线的斜率， 直线的方程为：，整理得 ， 直线过定点． 练4【解析】解： 依题意可得：，解得,故椭圆的方程为： 设直线的方程为且 直线的方程为且， 易知直线与轴的交点为． 易知直线的方程为， 所以直线与直线的交点为 将代入方程，得． 所以点的横坐标为，则点的纵坐标为 将点的坐标代入直线的方程，整理得 即， 因为，所以． 由，点坐标可得直线的方程为： ， 所以直线过定点. 另解：易知直线的方程为， 设点，直线的方程为， 联立，可得，   由，，三点共线，易得，直线的斜率， 由，可得，代入上式可得： ，可得直线的方程为： ， 所以直线过定点. 【专题训练】 1.【解析】经过两圆及的交点的圆系方程为： ， 令，可得公共弦所在直线方程为：． 故选A．   2.【解析】由题意可得方程为. 因为过点,所以, 解得,所以的方程为,即. 3.【解析】因为,故设方程为. 因为点在上,所以, 所以的方程为. 4.【解析】所求的圆过已知圆交点,故可表示为: 即, 从而圆心坐标为. 因为圆心在直线上,代人可得,解得. 代人(1)得,即为所求圆的方程. 5.【解析】因为方程表示圆,则,解得. 过交点的圆方程可设为:, 化简得. 因为,则在以为直径的圆上,则, 且圆心在直线上, 故,得,则, 代人曲线方程,得即为所求. 6.【解析】设直线PA,PB的斜率分别为, 则, 故三点满足方程. 联立,整理,得. 由于三点的纵坐标为该方程的根, 所以两点坐标满足, 即为直线AB的方程.由直线AB过点, 则,即. 故直线与直线的斜率积为定值. 7.【解析】解：由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程． 圆心，半径， 到直线的距离为， 公共弦长； 法一：由得或 不妨令，， 中点为，中垂线的斜率为， 中垂线的方程为，即， 由，得 圆心为，半径， 所求圆的方程为； 法二：圆的圆心不在上， 符合题意的圆不是圆， 设所求的圆的方程为 ， 即， 圆心为，在上， ，， 所求圆的方程为； 法一过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得中点即圆心为，半径为， 所求圆的方程为． 法二过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得圆心在上， ，， 所求圆的方程为，即．  8.【解析】解：由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程． 圆心，半径， 到直线的距离为， 公共弦长； 法一：由得或 不妨令，， 中点为，中垂线的斜率为， 中垂线的方程为，即， 由，得 圆心为，半径， 所求圆的方程为； 法二：圆的圆心不在上， 符合题意的圆不是圆， 设所求的圆的方程为 ， 即， 圆心为，在上， ，， 所求圆的方程为； 法一过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得中点即圆心为，半径为， 所求圆的方程为． 法二过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得圆心在上， ，， 所求圆的方程为，即．  共6页/第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11：曲线系 <<<专题综述>>> 在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时末知数较多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，可以用曲线系的方法解答，这样省去了解联立方程组、求交点等麻烦，而直接设出适合条件的曲线系。然后根据题中的另外条件，确定曲线系方程里的参数应取的值，简化了计算。利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想。 <<<专题探究>>> 题型一：直线系 我们把具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程称直线系方程。 一般的有以下几种常见的直线系方程： (1) 过两直线交点的直线系 若点是两直线与的交点，则过的直线系方程为: (为参数)，这里不包括这条直线。如果要表示这条直线,则可将直线系方程设为为参数。 (2) 过定点直线系 过点的直线方程在斜率存在的情况下可设为，称为过定点的直线系方程,为了避免对斜率是否存在进行讨论,也可用两个参数的形式：为参数. (3) 平行直线系 当直线的斜率存在时,方程表示斜率为的平行直线系； 另外与已知直线平行的直线系方程为 (为参数)，注意因为当时,所设直线与已知直线重合,如果仅仅是平行直线，则. (4) 垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程为 (为参数). 例1经过两条直线和的交点，且平行于直线的直线方程为__________；经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为__________. 【思路点拨】 本题考查两直线的交点，两直线平行、垂直的应用.联立直线和，求解得交点坐标，由两直线平行斜率相等设与直线平行的直线方程为，代入点 得的值，即可得到直线方程；由两直线垂直斜率之积为，设垂直于直线的直线方程为，代入点得值，得直线方程. 【规范解析】 由得，即直线和的交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 代入点得，即， 与直线平行的直线方程为，即； 设垂直于直线的直线方程为， 代入点，得，即， 所以垂直于直线的直线方程为， 故答案为；. 例2设直线系，对于下列四个命题：    中所有直线均经过一个定点；    存在定点不在中的任一条直线上；    对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；    中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的代号是          写出所有真命题的序号． 【思路点拨】 本题考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，依据直线系表示圆的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径． 【规范解析】 因为点到直线系中每条直线的距离， 直线系表示圆的切线集合． 由于直线系表示圆的所有切线，其中存在两条切线平行， 所以中所有直线均经过一个定点不可能，故不正确 存在定点不在中的任一条直线上，观察知点符合条件，故正确 对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上， 由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，故正确 如下图，中的直线所能围成的正三角形有两类， 一类如，一类是，显然这两类三角形的面积不相等，故不正确． 故答案为． 练1已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力．直线化为 ，令，可得直线经过定点，可得点到直线的距离的最大值为． 【规范解析】 直线：，化为：， 令，解得． 因此直线经过定点， 点到直线的距离的最大值为． 故选B．   题型二：圆系 我们把具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.常见的圆系方程有如下几种： (1)以为圆心的同心圆系方程为:. 与圆同心的圆系方程为： (2)过直线与圆交点的圆系方程为： (3)过两圆交点的 圆系方程为： ,此圆系不含). 特别地,当时,上述方程为根轴方程.即两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程： 例3在平面直角坐标系中，已知动圆：，则下列说法中正确的有(    ) A. 存在圆经过原点 B. 存在圆，其所有点均在第一象限 C. 动圆的圆心在一条定直线上 D. 所有动圆仅存在唯一一条公切线 【思路点拨】 本题考查圆系方程的应用，考查直线与圆相切.对于，将代入圆方程得到的一元二次方程有解可判断A正确；对于，要使得圆上所有点均在第一象限，则圆心坐标在第一象限且圆心到两坐标轴距离都大于半径即可；对于，根据圆的标准方程写出圆心坐标，消去参数即可证明；对于，分斜率存在与不存在进行讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径长求解即可． 【规范解析】 对于，将代入圆方程，则有， 即，此方程有解，所以存在圆经过原点，故A正确； 对于，圆的圆心为，半径为，要使得圆上所有点均在第一象限， 则，解得，且，则存在圆使得圆上所有点均在第一象限，故B正确； 对于,由消去得,故这些圆得圆心在直线上,故C正确； 对于,设公切线方程为,则由直线与圆相切有,对一切成立， 即对一切恒成立， 所以，即 当不存在时，圆心到直线为的距离为，即半径，故也是一系列圆的公切线， 所以公切线方程为和，有两条，故D错误． 故选ABC． 练2在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆为圆心与直线相交于另一点，且，则圆的标准方程为                  ． 【思路点拨】 本题考查圆的方程的求法,考查向量垂直的判断与证明,直线与圆的位置关系，考查分析与计算能力． 设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，结合，即，求得的值，即可求得圆的方程． 【规范解析】 设，， ，，则圆的方程为， 联立或， 又，，， ，解得：或， 又，， 则圆的方程为，即， 故答案为．   题型三：圆锥曲线系 定义:设有两条曲线.曲线系称为曲线和的和系.和是不同时为零的实参数. 由于不同时为零,所以曲线和的和系也常常写成 当时,规定. 性质1:当和有公共点时,和的和系(*)为过和交点的曲线系. 性质2:除曲线和的公共点外,和的和系与曲线和没有其他公共点. 性质3:如果和无公共点,那么和的和系与和都没有公共点. 例3在平面直角坐标系中，已知点,，点满足 ，记的轨迹为； （1）求的方程 （2）设在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点， 且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【思路点拨】 本题第（2）问两条相交直线可视为二次曲线，该二次曲线可用一个方程表示；二次曲线系的适用条件：当两相交直线与圆锥曲线相交形成有四个交点时，或圆锥曲线上存在四个点时， 这四个点在三条二次曲线上(点的三重身份)，这种方法的实质是用其中的两条二次曲线表示第三条二次曲线。 本题的命题背景是四点共圆，有结论：非圆二次曲线上四点共圆则, ,,反之也成立. 【规范解析】 解：由题意知点的轨迹是焦点在轴上的双曲线的右支，且，， ，的方程为．   设，设直线的方程为，，， 由，得， 整理得， ，， ， 设，同理可得， 由，得， ， ，，， ． 练3已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为， 求的方程证明：直线过定点． 【思路点拨】 本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题； 求出各点坐标，表示出向量；求出，两点坐标，进而求出直线，即可证明． 【规范解析】 解：由题意 ， 椭圆的方程为． 由知， 则直线的方程为， 联立 由韦达定理，代入直线的方程得，， 即，直线的方程为， 联立 由韦达定理，代入直线的方程得，， 即，直线的斜率， 直线的方程为：，整理得 ， 直线过定点． 练4设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为． 求椭圆的方程 若直线与直线交于点,直线与轴交于点,求证：直线恒过某定点，并求出该定点． 【思路点拨】 本题主要考查求椭圆方程，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查了圆锥曲线中的定点问题. 根据已知求得椭圆方程中的，，即可得出结论； 设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立进行求解即可． 【规范解析】 解： 依题意可得：，解得,故椭圆的方程为： 设直线的方程为且 直线的方程为且， 易知直线与轴的交点为． 易知直线的方程为， 所以直线与直线的交点为 将代入方程，得． 所以点的横坐标为，则点的纵坐标为 将点的坐标代入直线的方程，整理得 即， 因为，所以． 由，点坐标可得直线的方程为： ， 所以直线过定点. 另解：易知直线的方程为， 设点，直线的方程为， 联立，可得，   由，，三点共线，易得，直线的斜率， 由，可得，代入上式可得： ，可得直线的方程为： ， 所以直线过定点. <<<专题训练>>> 1.过两圆及的交点的直线方程是(    ) A. B. C. D. 不存在 【解析】经过两圆及的交点的圆系方程为： ， 令，可得公共弦所在直线方程为：． 故选A．   2.已知直线,直线过与的交点且过点,则的方程是 . 【解析】由题意可得方程为. 因为过点,所以, 解得,所以的方程为,即. 3.直线,直线过点,且,则直线的方程是 . 【解析】因为,故设方程为. 因为点在上,所以, 所以的方程为. 4.求过圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程是 . 【解析】所求的圆过已知圆交点,故可表示为: 即, 从而圆心坐标为. 因为圆心在直线上,代人可得,解得. 代人(1)得,即为所求圆的方程. 5.方程表示圆,直线与圆相交于两点,且为坐标原点),则以为直径的圆方程是 【解析】因为方程表示圆,则,解得. 过交点的圆方程可设为:, 化简得. 因为,则在以为直径的圆上,则, 且圆心在直线上, 故,得,则, 代人曲线方程,得即为所求. 6.已知椭圆上一点,过点的直线与椭圆交于两点(异于点)，求证：直线与的斜率积为定值. 【解析】设直线PA,PB的斜率分别为, 则, 故三点满足方程. 联立,整理,得. 由于三点的纵坐标为该方程的根, 所以两点坐标满足, 即为直线AB的方程.由直线AB过点, 则,即. 故直线与直线的斜率积为定值. 7.已知圆与圆相交于两点． 求公共弦的长； 求圆心在直线上，且过两点的圆的方程； 求经过两点且面积最小的圆的方程． 【解析】 解：由两圆方程相减即得，此为公共弦所在的直线方程． 圆心，半径， 到直线的距离为， 公共弦长； 法一：由得或 不妨令，， 中点为，中垂线的斜率为， 中垂线的方程为，即， 由，得 圆心为，半径， 所求圆的方程为； 法二：圆的圆心不在上， 符合题意的圆不是圆， 设所求的圆的方程为 ， 即， 圆心为，在上， ，， 所求圆的方程为； 法一过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得中点即圆心为，半径为， 所求圆的方程为． 法二过、且面积最小的圆就是以为直径的圆， 由得圆心在上， ，， 所求圆的方程为，即．  8.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.已知抛物线：经过点． Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程； Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 【解析】 Ⅰ抛物线：经过点可得，即， 可得抛物线的方程为，准线方程为； Ⅱ证明：设,直线的斜率分别为, 则,且. 于是二点满足方程,即. 联立,整理,得. 易知三点的坐标为该方程的三根, 则 又焦点在直线上,所以, 即,即,解得. 以直径的圆的方程为, 令,得,即或. 故以AB为直径的圆经过轴上的定点和. 共11页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11：曲线系 <<<专题综述>>> 在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时末知数较多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，可以用曲线系的方法解答，这样省去了解联立方程组、求交点等麻烦，而直接设出适合条件的曲线系。然后根据题中的另外条件，确定曲线系方程里的参数应取的值，简化了计算。利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想。 <<<专题探究>>> 题型一：直线系 我们把具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程称直线系方程。 一般的有以下几种常见的直线系方程： (1) 过两直线交点的直线系 若点是两直线与的交点，则过的直线系方程为: (为参数)，这里不包括这条直线。如果要表示这条直线,则可将直线系方程设为为参数。 (2) 过定点直线系 过点的直线方程在斜率存在的情况下可设为，称为过定点的直线系方程,为了避免对斜率是否存在进行讨论,也可用两个参数的形式：为参数. (3) 平行直线系 当直线的斜率存在时,方程表示斜率为的平行直线系； 另外与已知直线平行的直线系方程为 (为参数)，注意因为当时,所设直线与已知直线重合,如果仅仅是平行直线，则. (4) 垂直直线系 与已知直线垂直的直线系方程为 (为参数). 例1经过两条直线和的交点，且平行于直线 的直线方程为__________；经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为__________. 【思路点拨】 本题考查两直线的交点，两直线平行、垂直的应用.联立直线和，求解得交点坐标，由两直线平行斜率相等设与直线平行的直线方程为，代入点 得的值，即可得到直线方程；由两直线垂直斜率之积为，设垂直于直线的直线方程为，代入点得值，得直线方程. 例2设直线系，对于下列四个命题：    中所有直线均经过一个定点；    存在定点不在中的任一条直线上；    对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；    中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的代号是          写出所有真命题的序号． 【思路点拨】 本题考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，依据直线系表示圆的切线的集合，结合图形，判断各个命题的正确性本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断，对问题进行深入分析是发现其意义的捷径． 练1已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为(    ) A. B. C. D. 【思路点拨】 本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力．直线化为 ，令，可得直线经过定点，可得点到直线的距离的最大值为．   题型二：圆系 我们把具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.常见的圆系方程有如下几种： (1)以为圆心的同心圆系方程为:. 与圆同心的圆系方程为： (2)过直线与圆交点的圆系方程为： (3)过两圆交点的 圆系方程为： ,此圆系不含). 特别地,当时,上述方程为根轴方程.即两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程： 例3在平面直角坐标系中，已知动圆：，则下列说法中正确的有(    ) A. 存在圆经过原点 B. 存在圆，其所有点均在第一象限 C. 动圆的圆心在一条定直线上 D. 所有动圆仅存在唯一一条公切线 【思路点拨】 本题考查圆系方程的应用，考查直线与圆相切.对于，将代入圆方程得到的一元二次方程有解可判断A正确；对于，要使得圆上所有点均在第一象限，则圆心坐标在第一象限且圆心到两坐标轴距离都大于半径即可；对于，根据圆的标准方程写出圆心坐标，消去参数即可证明；对于，分斜率存在与不存在进行讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径长求解即可． 练2在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆为圆心与直线相交于另一点，且，则圆的标准方程为                  ． 【思路点拨】 本题考查圆的方程的求法,考查向量垂直的判断与证明,直线与圆的位置关系，考查分析与计算能力． 设，，求出的坐标，得到圆的方程，联立直线方程与圆的方程，结合，即，求得的值，即可求得圆的方程． 题型三：圆锥曲线系 定义:设有两条曲线.曲线系称为曲线和的和系.和是不同时为零的实参数. 由于不同时为零,所以曲线和的和系也常常写成 当时,规定. 性质1:当和有公共点时,和的和系(*)为过和交点的曲线系. 性质2:除曲线和的公共点外,和的和系与曲线和没有其他公共点. 性质3:如果和无公共点,那么和的和系与和都没有公共点. 例3在平面直角坐标系中，已知点,，点满足 ，记的轨迹为； （1）求的方程 （2）设在直线上，过的两条直线分别交于两点和两点， 且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【思路点拨】 本题第（2）问两条相交直线可视为二次曲线，该二次曲线可用一个方程表示；二次曲线系的适用条件：当两相交直线与圆锥曲线相交形成有四个交点时，或圆锥曲线上存在四个点时， 这四个点在三条二次曲线上(点的三重身份)，这种方法的实质是用其中的两条二次曲线表示第三条二次曲线。 本题的命题背景是四点共圆，有结论：非圆二次曲线上四点共圆则, ,,反之也成立. 练3已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为， 求的方程证明：直线过定点． 【思路点拨】 本题考查直线于椭圆的位置关系，定点问题，属于较难题； 求出各点坐标，表示出向量；求出，两点坐标，进而求出直线，即可证明． 练4设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为． 求椭圆的方程 若直线与直线交于点,直线与轴交于点,求证：直线恒过某定点，并求出该定点． 【思路点拨】 本题主要考查求椭圆方程，以及直线与圆锥曲线的综合应用问题，考查了圆锥曲线中的定点问题. 根据已知求得椭圆方程中的，，即可得出结论； 设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立进行求解即可． <<<专题训练>>> 1.过两圆及的交点的直线方程是(    ) A. B. C. D. 不存在    2.已知直线,直线过与的交点且过点,则的方程是 . 3.直线,直线过点,且,则直线的方程是 . 4.求过圆和圆的交点,且圆心在直线上的圆的方程是 . 5.方程表示圆,直线与圆相交于两点,且为坐标原点),则以为直径的圆方程是 6.已知椭圆上一点,过点的直线与椭圆交于两点(异于点)，求证：直线与的斜率积为定值. 7.已知圆与圆相交于两点． 求公共弦的长； 求圆心在直线上，且过两点的圆的方程； 求经过两点且面积最小的圆的方程． 8.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.已知抛物线：经过点． Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程； Ⅱ设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 共6页/第19页 学科网（北京）股份有限公司 $$