精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高二下学期7月期末质量检测数学试题

方城一高2024-2025学年高二下学期7月质量检测 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔记清晰. 4．按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中的常数项为（ ）． A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】应用二项式定理，写出展开式通项，结合乘积关系写出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为，， 令，得，令，得， 由于， 故其展开式中的常数项为. 故选：A 2. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求出、的值，可得出数列的通项公式，分析数列奇数项和偶数项的单调性，可得出、的值，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 3. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为甲队与乙队实力之比为，所以每局比赛中甲获胜的概率为， 则甲队打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为， 故选：D. 4. 已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记，，分析可知，点、都在直线上，将这两点的坐标都代入回归直线方程，对比方程可求得实数的值. 【详解】记，， 则，同理， 所以，点、都在直线上， 所以，，解得. 故选：C. 5. 设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（    ） A. 存在实数，使得点在直线上； B. 若，则过的直线与直线平行； C. 若，则直线经过的中点； D. 若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【解析】 【分析】由分母不为0可判断A；分和两种情况讨论可得两直线的位置关系判断B；由已知可得，可判断C；由已知可得，且，进而可判断D. 【详解】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 6. 已知空间四个点，，，在同一个平面内，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，，，由共面向量定理得，由此能求出结果. 【详解】解：∵空间四个点，，，在同一个平面内， ∴，，， 且， ∴， ∴， 解得，，， 故选：A. 7. 已知，，，则大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于，由此可构造函数，利用导数判断其单调性，可得，即得；再根据，，构造，，比较可得，从而可判断，即得答案. 【详解】因为，，所以， 由于，故，故， 设 ，则， 即单调递减，故，即， 故，即； ，， 令，， 令 ， 则， 当时，在递减，当时，在递增， 所以 ，即（当且仅当时等号成立）， ∴，即，即， ∴， 故选：A 【点睛】难点点睛：此类比较大小问题，应该所给数看作某些函数的函数值的大小比较，困难之处在于要能根据函数值的特征,或进行适当的变化，发现规律，构造合适的函数，从而利用函数的单调性比较大小. 8. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定直线与圆的位置关系，表示出直线的斜率，数形结合，根据直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系，得到的关系，求出离心率的取值范围，即可进行判断. 【详解】如图： 因为，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，方程为：. 因为点到直线：的距离为：， 所以直线与圆相切. 又过点，且，直线与双曲线的右支在第一象限内交于点， 所以直线的斜率为：. 又一、三象限双曲线的渐近线的斜率为：. 又. 即. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据事件B包含事件C判断即可； 对B，根据概率的性质，用1减去全为正面和全为反面的情况概率即可； 对C，根据相互独立事件的公式判断即可； 对D，先求得，再利用条件概率公式求解即可 【详解】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误； 选项B：，正确； 选项C：， 故A与B独立，正确； 选项D：，，正确； 故选：BCD． 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A计算每次使用法宝的种数，再利用分步乘法计数原理计算；B先将7件法宝分成3组，每组至少2件，再进行分配；C先排列其余5件法宝，再利用插空法排列即可；D利用倍缩法解决定序问题即可． 【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝， 对于A，每次使用法宝有种， 因可以重复使用，则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故A正确； 对于B，将7件法宝分成3组，每组至少2件，共有种， 则对阵3次､不同的使用法宝的方法有种，故B错误； 对于C，先将除乾坤圈､风火轮以外的5种法宝排列，共有种， 再利用插空法将乾坤圈､风火轮插入6个空位置中， 则不同的使用法宝的方法有种，故C正确； 对于D，先将7件法宝排列共有种， 再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用法宝的方法有种，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，结合导数讨论单调性即可得；对于B，结合的单调性，可转化为当时，能成立，求出的最小值即可得；对于C，由极值点的性质结合导数讨论单调性，求得参数的范围即可判断；对于D，采用同构法可推得，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得. 【详解】对于A，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增，故A正确； 对于B，当时，，则， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，即函数在上单调递增. 若存在，使不等式成立， 等价于存在，成立，也即成立， 由A项已得，在上单调递增，则在上单调递增， 故时，，则可得实数的最小值为0，故B正确； 对于C，由可得， 因函数存在两个极值等价于有2个变号零点， 由，可得， 设，则， 则当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增， 故，且当，当， 则有2个变号零点，等价于直线与有两个交点， 即得，也即，故没有最大值，即C错误； 对于D，当时，由A，B项可得为定义域上的增函数， 因，且，则， 由可得，即， 因是上的增函数，故， 又由，故， 设，则， 当时，；当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，故的最小值为，即D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义结合点的范围计算求解. 【详解】设抛物线上一点，其焦点，准线为， 则根据抛物线定义得抛物线上一点到焦点的距离为， 时等号成立，所以抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为. 故答案为：. 13. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 【答案】176 【解析】 【分析】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元，则由题意得，解方程可求得答案 【详解】设每期应付款x元，第n期付款后欠款元， 则， ，… ． 因为，所以， 解得， 即每期应付款176元． 故答案为：176 14. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件，再利用贝叶斯公式和条件概率公式计算即可. 【详解】设第次是甲投篮为事件，投篮命中为事件， 所以，，， 则，， 所以第2次投篮人是甲的概率为， 在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为 ． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出的白球个数，求X的分布列、均值和方差； （2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 【答案】（1）分布列见解析，， （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）由题意，根据相互独立事件概率的计算公式求出概率，写出分布列，计算期望与方差即可； （2）根据古典概型计算公式，计算概率写出分布列，结合数学均值与方差公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为采取放回抽样方式，所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为， 由题意可知：， ，由（1）可知：，， 所以X的分布列为： ， . 【小问2详解】 由题意可知：， ，，， 所以Y的分布列为： ， ． 16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的通项公式求得，再利用求即可得解； （2）利用“错位相减求和法”即可得解. 【小问1详解】 因为，故，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 则，两式相减得，即， 所以， 因此的通项公式为. 【小问2详解】 由题可知， 则，所以， ， 两式相减得， 所以. 17. 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据勾股定理得，结合，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （ii）建立空间直角坐标系，求出球心，设点P的坐标为，由和，求出，代入锥体体积公式即可求解. （2）设，求出平面BPD和平面PDC的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值为，然后根据二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 （i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即. 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 因为为等腰直角三角形，且，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以. 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以. . 令，则， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以二面角余弦值的最小值． 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点为 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求出结果； （2）根据条件，设出直线，直线，联立，得到， 联立，得，通过计算得，即可证明； 再计算出，从而得出直线的方程，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，，，又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，设直线，直线， 由，消得到，得到，，所以， 由，消得到，得到，，所以， 故，， 所以， 故， （ii）由（i）知， 所以直线的方程为，整理得到， 所以直线过定点，定点. 19. 已知函数． （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减． （2）1． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2024-2025学年高二下学期7月质量检测 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔记清晰. 4．按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的展开式中的常数项为（ ）． A. B. 4 C. D. 2 2. 已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为，比赛时均能正常发挥，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知变量和变量的一组成对样本数据，其经验回归方程为，若，，新样本数据得到的经验回归方程依然为，则（ ） A. B. C. D. 5. 设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（    ） A. 存在实数，使得点在直线上； B. 若，则过的直线与直线平行； C. 若，则直线经过的中点； D. 若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 6. 已知空间四个点，，，在同一个平面内，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7. 已知，，，则大小关系正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 设，点，是坐标原点，，是双曲线的左焦点，若直线经过点，且与双曲线的右支在第一象限内交于点，则双曲线的离心率的一个可能的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分） 9. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B独立 D. 记C对立事件为，则 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是（ ） A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵3次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 B. 若哪吒与敌人对阵3次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有 C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种 D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵7次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，则不同的使用法宝的方法有种 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 当时，若存在，使不等式成立，则实数最小值为0 C. 若函数存在两个极值，则实数的最大值为 D. 当时，若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线上一点到其焦点的距离的最小值为__________. 13. 一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：，，，） 14. 某单位为了提高员工身体素质，开展双人投篮比寒，现甲、乙两人为一组参加比赛， 每次由其中一人投篮，规则如下:若投中，则此人继续投篮，若未投中，则换为对方投篮，无论之前投篮的情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为.已知在第2次投篮的人是乙的情况下，第1次投篮的人是甲的概率为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 袋中有除颜色外完全相同的2个白球和3个黑球. （1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记X为摸出白球个数，求X的分布列、均值和方差； （2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记Y为摸出的白球个数，求Y的分布列、均值和方差. 16. 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和. 17 如图，四棱锥中，． （1）当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ （2）当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 18. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，． （1）求椭圆的方程； （2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证： （i）； （ii）直线过定点，并求出此定点的坐标． 19 已知函数． （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $