精品解析：天津市耀华中学2024-2025学年高二下期末学情调研数学试卷

天津市耀华中学2024-2025学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共36分，请将答案涂在答题卡上） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为1.5 C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握越大 5. 函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量X服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （0，1） D. 10. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 11. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 12. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 14. 的展开式中项的系数为__________.（用数字作答） 15. 曲线在点处的切线方程为__________. 16. 小轩操场跑步，一周2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.3，跑6圈的概率为0.7；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小轩一周跑11圈的概率为_________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为，则的期望_________． 17. 甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 18. 已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________. 三、解答题（共40分） 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 20. 已知函数. （1）时，求在处的切线． （2）求函数的极值； （3）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 21. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：，定义为曲线C在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线C：． （1）当时，求曲线C在点处的曲率； （2）已知曲线C在不同的两点，处的曲率均为0． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2024-2025学年度第二学期期末学情调研 高二年级数学学科试卷 一、单选题（每小题3分，共36分，请将答案涂在答题卡上） 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性求出，解一元二次不等式得出，再利用并集运算求解． 【详解】， 是增函数，且时，， 原不等式的解集为：， ， ， ， 故选：D． 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数图象与自然对数图象，通过数形结合来研究方程的解，即可得到判断. 【详解】 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即， 构造函数，通过数形结合可知，它们交点的横坐标就是方程的解，即，但与作比较可得： 综上可知：， 故选：A. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B. 若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为，样本点中心为，则样本点的残差为1.5 C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D. 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握越大 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关变量的回归分析，以及独立性检验的相关知识，即可判断选项. 【详解】A.由相关系数的意义可知，相关系数r的绝对值越大，越接近于1，两个变量的线性相关性越强，故A说法正确； B.由条件可知，，得，即，时，， 所以样本点的残差为，故B说法正确； C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C说法正确； D. 对分类变量X与Y，它们的随机变量的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握越小，故D说法错误. 故选：D 5. 函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据的奇偶性排除CD；判断时，的符号可排除B，从而得到结果． 【分析】对于函数，由可得，故函数的定义域为， ，故函数为奇函数，可排除CD选项， 当时，，可排除B，从而可得A正确. 故选：A. 6. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数有两个零点转化为方程有两个不同的解，然后分情况讨论去掉绝对值符号，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值，进而确定实数的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即方程有两个不同的解，等价于有两个不同的解. 令，对求导，可得. 令，即，解得. 当时， ，在上单调递增； 当时， ，在上单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，. 当时，；当时，. 并且在处的切线斜率为，切线方程为. 的图象是将v型函数图象左右平移得到， 要使有两个不同的解，即与的图象有两个不同的交点. 画出和的图像（由图象左右平移得到）. 当时，此时与的图象无交点，不符合题意. 当时，与的图象也最多有一个交点，切线切点处，不符合题意. 当时，要使与的图象有两个不同的交点，则. 实数的取值范围为. 故选：B. 7. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①若随机变量X服从正态分布，且，则； ②可以用相关系数r刻画两个变量的相关程度强弱，r值越大两个变量的相关程度越强. ③残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高； ④根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． ⑤决定系数，甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布对称性的应用可判断命题①；根据相关系数的定义判断命题②；根据残差图的性质判断命题③；根据独立性检验的知识判断命题④，根据决定系数性质判断命题⑤. 【详解】对于①. 已知随机变量服从正态分布，， 则，所以，故①错误； 对于②，线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 反之，线性相关性越弱，故②错误； 对于③，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高， 则回归方程的预报精确度越高，故③正确； 对于④，据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05， 故④正确. 对于⑤，因为甲的决定系数比乙的决定系数更接近1，所以模型甲的拟合效果更好，命题⑤错误； 故选：B. 8. 已知函数．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 9. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. （0，1） D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 10. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，因为恒成立，所以， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 11. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 12. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同构可得即在上恒成立，设，利用导数求出该函数的最小值后可得参数的取值范围. 【详解】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 幂函数在上是减函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数及其单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得：, 所以. 故答案为： 14. 的展开式中项的系数为__________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为即可. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以项的系数为， 故答案为： 15. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由，当时，, 所以点在曲线上. 求导：， 则，所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为：. 16. 小轩操场跑步，一周2次，一次跑5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.3，跑6圈的概率为0.7；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4．小轩一周跑11圈的概率为_________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为，则的期望_________． 【答案】 ①. 0.65## ②. 3.4 【解析】 【分析】设出事件，利用全概率公式求出小轩一周跑11圈的概率；再求出一周至少跑11圈的概率，得到，利用二项分布求期望公式进行求解. 【详解】设一周跑11圈为事件A，第一次跑5圈为事件B，第二次跑5圈为事件C， 则， 故 ； 一周跑10圈的概率为，故一周至少跑11圈的概率为， 故，故. 故答案为：0.65，3.4 17. 甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有__________种． 【答案】36 【解析】 【分析】先分析出甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能，再按照先选后排的原则写出式子计算即可. 【详解】由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数 有3，1，1和2，2，1两种可能， ①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校， 另外两人各到一所学校，有种方案； ②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校， 剩余2人去另一所学校，有种方案， 因此，所有的分配方案共有种， 故答案为：36. 18. 已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得，，进一步有，由此即可顺利得解. 【详解】由题意设，则函数的零点即为方程的根， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示： 若函数有三个零点，（不妨设为）， 则方程的根有三个根，且， 所以， 且， 因为在单调递增，所以，即， 所以， 令，，解得，令，，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到，由此即可顺利得解. 三、解答题（共40分） 19. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 20. 已知函数. （1）时，求在处的切线． （2）求函数的极值； （3）若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的定义域为，则， 当时，恒成立， 此时在上单调递增，无极大值和极小值， 当时，， 由得：，由得：， 此时在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）应用分类讨论及导数研究函数的极值即可； （3）根据（2）易得，进而有求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，，则，可得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在单调递增， 所以在单调递增，不可能有两个零点， 当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点， 若函数在区间上恰有两个零点，则， 即，可得：， 所以的取值范围为． 21. 在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线C：，定义为曲线C在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线C：． （1）当时，求曲线C在点处的曲率； （2）已知曲线C在不同的两点，处的曲率均为0． （i）求实数m的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：由上可知，不妨设． 下面证明：当时，， 设，，则， 令，则， 所以在上单调递减，则， 所以在上单调递增，所以， 即，故，． 设点在直线上，则，即， 所以，即， 要证，需证，即证， 又，只需证，即证． 令，即证，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以成立， 故． 【解析】 【分析】（1）两次求导，再根据曲率公式计算即可； （2）（i）对求导，根据导数正负判断增减性，分析边界值与特殊值，方程有两根，意味着直线与图像有两个交点，得到.（ii）构造函数，通过求导，再对求导得到，进而得到单调性，得到，转化要证的不等式，进一步转化构造函数，得到单调性，证明，从而得出. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 故曲线C在点处的曲率． 【小问2详解】 易知，由题意可知，， 则关于x的方程有两个不同的根，， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又当时，，，且， （i）由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示： 时，满足题意， 故实数m的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $