精品解析：内蒙古呼和浩特第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

内蒙古呼和浩特第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的概念可得结果. 【详解】因为，故， 因此，的虚部为. 故选：A. 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该扇形的半径为，依题意可得，再由扇形面积公式计算可得. 【详解】设该扇形的半径为，因为扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则， 则该扇形的面积为. 故选：B. 3. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由题意可得，可求，由圆锥的体积公式可求体积. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，则底面圆的面积为， 侧面面积为，由题意知， 所以，解得， 因此该圆锥的高， 故该圆锥的体积． 故选：C． 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或与相交、异面，故A错误 对于B，若，，，，则或与相交，故B错误 对于C，若，，根据面面平行的性质可知，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C 5. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：求出坐标即可得模；对于B：通过求单位向量；对于C：通过投影向量的公式计算；对于D：通过计算是否成立来判断. 【详解】对于A：，所以，A错误； 对于B：方向上的单位向量为，B错误； 对于C：， 则向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D：，所以，D正确. 故选：D. 6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦距离可得，利用向量夹角公式可得，即可由余弦二倍角公式求解. 【详解】由于P，Q的余弦距离为，所以，故， ， 所以，因此， 故选：D 8. 《九章算术·商功》：“斜解立方（正方体），得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣. ”如图，阳马的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理可判断A，B；根据面面垂直的判定定理判断C；采用假设，推出矛盾的方法判断D. 【详解】由题意知底面，底面， 故，又阳马的底面为正方形， 即，而平面， 故平面，平面，故，A正确； 底面，底面， 故，又阳马的底面为正方形， 即，而平面， 故平面，平面，故，B正确. 由于平面，平面， 故平面平面，C正确； 底面，底面， 故， 若，而平面， 故平面，平面，故， 即， 这与正方形中矛盾，故D错误； 故选：D 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）即得到的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】 利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的伸缩规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由图可知 设函数的最小正周期为，则， ，则 由得，解得 又，，，A正确； 对于B选项，由，得，B错误； 对于C选项，将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，C错误； 对于D选项，由得 由的图象可知，要使函数在区间上的值域为 则，解得，D正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，利用正弦函数的单调性，可判定A正确；由，求得或，可判定B错误；由正弦定理，可判定C正确；由正弦定理求得，得到角有两个值，可判定D正确. 【详解】对于A中，由为锐角三角形，可得，即， 且，因为函数在上为单调递增函数， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C中，由，可得，由正弦定理，可得，所以C正确； 对于D中，因为，由正弦定理， 可得，所以角有两个值，此时有两解，所以D正确. 故选：ACD. 11. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】AD 【解析】 【分析】 A. 利用，三棱锥的体积为定值，正确 B. 利用平移法找异面直线所成的角，，和所成的角为，所以异面直线与所成的角为，故B错误 C. 若平面，则线与所成的角为，而异面直线与所成的角为，故C错误 D，建立坐标系，用向量坐标法求解，先求出平面的一个法向量，再求平面的一个法向量和的方向向量的夹角，正确 【详解】解：对于A， 故三棱锥的体积为定值，故A正确 对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误 对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误 对于D，以为坐标原点，分布以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，， 设平面的法向量为则 ，即 令，则 所以直线与平面所成的角为，正确 故选：AD 【点睛】以正方体为载体，考查：判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值，求线线角、线面角，判断线面是否垂直.判断顶点不固定的三棱锥的体积是否为定值可通过变换三棱锥顶点和底面解决，求线线角一般是用平移法，求线面角可转化为求平面的法向量与直线的方向向量的夹角，判断线面垂直也可用反证法.基础题. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为__________（）． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理结合题意可解出. 【详解】由题意可得，， 在中，由余弦定理可得 ，即， 解得， 故答案为：. 13. 设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则__________；若，，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，延长交于点D，由三点共线可得，再由重心定理可得，列出方程，即可求得，再由向量数量积的运算即可得到结果. 【详解】 延长交于点D，则D是线段的中点，故． 因为三点共线，所以． 因为P是的重心，所以， 所以解得． 因为， 所以． 故答案为：； 14. 在已知长方体中，，点为棱上一点且，点为线段上的动点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将矩形 和三角形 沿 翻折成平面图形，连接， 的长就是的最小值，利用余弦定理即可得出答案． 【详解】如图，将矩形和三角形沿翻折成平面图形， 连接交于点，可知最短， ，， ，， ． 故答案为： 四、解答题本题共5个小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）首先求出，，的坐标，再由向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，所以， 则. 【小问2详解】 当时， 所以， ， 因为， 所以，解得. 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知． （1）求角B； （2）若，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求角； （2）根据三角形面积公式求，再结合余弦定理求，即可求三角形的周长. 【小问1详解】 由题意， 即， 因为，所以，， 所以； 【小问2详解】 由题意，则， 由余弦定理， 即，得， 所以三角形的周长. 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 设，连接． 在四棱柱中，是正方形， 所以为中点． 又因为为中点，所以． 因为面面， 所以面． （2） 在四棱柱中，面． 因为面，所以． 在正方形中，． 又因为面面， 所以面． 因为面，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，即可证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质定理，以及线面垂直的判断定理，即可求解； （3）利用等体积转化，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在四棱柱中， 因为面，所以是三棱锥的高． 所以． 18. 设函数， （1）若的周期，求的解析式； （2）若，已知，且．求的单调递增区间； （3）在（2）成立的条件下将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求出，得解； （2）由已知不等式及函数的最值，可得周期与的关系，从而建立的等量关系求解可得，再利用余弦函数图象与性质，由整体角范围求解单调增区间； （3）先由图象平移关系得的解析式，求出函数在上的最值，再由不等式有解，可得，即可得解. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 由，得，， 所以，又， 所以，即中恰有一个取最大值2，而另一个取最小值. 所以，则， ，则， 又，则，， 所以. 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 由题，可得， 因为，所以， 所以，， 要使得，即有解， 所以，解得. 所以的取值范围为. 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 【解析】 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【小问1详解】 ，所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. 【小问2详解】 ， 故 ； 【小问3详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查了三倍角余弦公式的应用问题，解答的难点是第三问，要注意根据方程的特点，设，再结合三角恒等变换，将方程的解的问题，转化为利用三倍角公式，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古呼和浩特第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某扇形的圆心角为，其所对的弦长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量，则以下说法正确的是（ ） A. B. 方向上的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 6. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 7. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术·商功》：“斜解立方（正方体），得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）. 阳马居二，鳖臑居一，不易之率也. 合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣. ”如图，阳马的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平面平面 D. 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. 函数图象的对称轴为直线 C. 将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）即得到的图象 D. 若在区间上的值域为，则实数a的取值范围为 10. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 11. 如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为__________（）． 13. 设点P是的重心，过点P的直线分别与线段AB，AC交于E，F两点，已知，，则__________；若，，则__________． 14. 在已知长方体中，，点为棱上一点且，点为线段上的动点，则的最小值为_________． 四、解答题本题共5个小题．共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知， （1）若，求的值； （2）若，且，求的值． 16. 已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知． （1）求角B； （2）若，且，求的周长． 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点． （1）求证：平面； （2）证明：； （3）求三棱锥的体积． 18. 设函数， （1）若的周期，求的解析式； （2）若，已知，且．求的单调递增区间； （3）在（2）成立的条件下将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若存在，使得，求的取值范围． 19. 由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $