2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 课程标准 学习目标 ①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 ②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 ③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。 通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2025高一·甘肃白银·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国月考）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 3．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔月考）解不等式： (1)； (2). 4．（重庆市部分区2024-2025学年高二学期7月期末联考数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·山东淄博月考）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 题型2：解含有参数的一元二次不等式 6．（2025高一·全国月考）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 7．（2025高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 8．（2025高三·全国月考）解下列关于的不等式． 9．（2025高一·江西月考）解关与x的不等式： 10．（2025高一·山东淄博月考）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 11．（2025高一·安徽宣城月考）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 12．（2025高一·全国月考）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·山东淄博月考）不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 14．（2025高一·全国月考）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高二·江苏无锡月考）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 16．（2025高二·黑龙江哈尔滨月考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一·全国月考）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 18．（2025高二·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·全国月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 20．（2025高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 21．（2025高三·全国·对口高考）已知集合，则 ． 22．（湖南省岳阳市2024-2025学年高二学期期末教学质量监测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025高二·重庆·期末）不等式的解集是 . （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：一元二次不等式恒成立问题 24．（2025高二·江西萍乡·期末）若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为 . 25．（2025高一·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2025高一·江西月考）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 27．（2025高一·全国月考）已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是 ． 28．（2025高一·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 29．（2025高一·山东淄博月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（2025高二·山东临沂月考）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 31．（2025高三·上海月考）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 32．（2025高一·全国月考）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 33．（2025高一·全国月考）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 34．（2025高一·河南月考）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2025高一·广东广州月考）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 36．（2025高一·天津月考）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 37．（2025高一·江苏徐州月考）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 38．（25-26高一·全国月考）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高一·全国月考）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一·全国月考）在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 41．（25-26高一·全国月考）已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 42．（2025高一·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 43．（2025高一·浙江温州·期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 一、单选题 1．（2025高一·上海月考）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 2．（2025高二·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025高一·全国月考）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A．和 B． C． D．和 6．（2025高一·陕西西安·期末）已知不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．7 C． D． 7．（2025高一·浙江·期中）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 8．（25-26高一·全国月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一·全国月考）若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 10．（2025高一·广东广州月考）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 11．（25-26高一·全国月考）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 二、多选题 12．（2024高三·全国月考）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 13．（2025高一·全国月考）[多选题]下列说法正确的是（   ） A．已知U为全集，“”的充要条件是“” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分且不必要条件 三、填空题 14．（2025高一·全国·单元测试）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ． 15．（2025高一·上海黄浦·期中）关于的不等式解集是 ． 16．（2025高二·北京密云·期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 17．（2025高一·江苏连云港月考）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 18．（2025高三·全国月考）已知不等式的解集为，解不等式的解集为 19．（25-26高一·全国月考）不等式的解集为 ． 20．（2025高一·云南昭通月考）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 21．（2025高一·上海嘉定·期末）已知方程的两个根满足，则m的值是 . 22．（2024高二·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 23．（2025高二·辽宁铁岭·期末）已知集合，，则 ． 24．（2025高二·河北邯郸·期中）解不等式. 25．（2025高一·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 26．（2025高一·全国月考）解关于的不等式 ． 27．（2025高一·江苏连云港·期末）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 28．（2025高一·全国月考）若，解不等式． 29．（2025高一·上海月考）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（25-26高一·全国月考）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式7题型分类 课程标准 学习目标 ①理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 ②掌握一元二次方程的求解方法, 掌握一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的分布情况。 ③掌握图象法解一元二次不等式，会解简单的能转化为一元二次不等式的分式不等式。 通过本节课的复习与学习，会解一元二次方程、一元二次方程根的情况的处理、一元二次方程根与系数的关系；二次函数的图象与性质；会解一元二次不等式、含有参数的一元二次不等式、与一元二次不等式有关的存在与恒成立问题的处理；会解能转化为一元二次不等式的分式不等式；理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的关系，能处理与三者之间有关的问题。 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2025高一·甘肃白银·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解一元二次不等式，判断. 【解析】由，得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 2．（2025高一·全国月考）解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）原不等式变形可得，进而分析可得答案； （2）根据配方法将不等式转化为，进而分析可得答案； （3）原不等式变形可得，进而分析可得答案； （4）原不等式变形可得，进而分析可得答案． 【解析】（1）不等式变形可得，解得或， 则原不等式的解集为； （2）因为，则恒成立， 所以原不等式的解集为R； （3）不等式变形可得， 即，解得， 则原不等式的解集为； （4）不等式变形可得，解得， 则原不等式的解集为． 3．（2025高一·内蒙古呼伦贝尔月考）解不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将不等式变形为后可得答案； （2）将不等式变形为后可得答案. 【解析】（1）由得，即， ， ， 即不等式的解集为； （2）由得， 即，不可能成立， 即不等式的解集为. 4．（重庆市部分区2024-2025学年高二学期7月期末联考数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可. 【解析】，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 5．（2025高一·山东淄博月考）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【解析】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 题型2：解含有参数的一元二次不等式 6．（2025高一·全国月考）设，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．{x|x>a} C．或 D． 【答案】A 【分析】当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集. 【解析】因为，所以等价于， 又因为当时，，所以不等式的解集为：或． 故选：A． 【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较. 7．（2025高一·江苏·假期作业）解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【解析】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 8．（2025高三·全国月考）解下列关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】根据一元二次不等式对应二次函数的开口方向，并讨论符号求解集即可. 【解析】由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 9．（2025高一·江西月考）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【解析】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 10．（2025高一·山东淄博月考）若关于的不等式恰有两个整数解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先分情况讨论不等式的解集，再根据解集包含整数的个数确定的取值范围. 【解析】不等式可化为. 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得； 若即，则原不等式可化为，无解； 若即，则原不等式的解集为，由解集恰有两个整数，可得. 综上可得：实数的取值范围为：. （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 11．（2025高一·安徽宣城月考）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【解析】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题. 12．（2025高一·全国月考）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三个二次关系计算参数的关系，再解一元二次不等式即可. 【解析】由条件可知，的两个实数根是和，且， 则，得，， 所以，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故选：A 13．（2025高一·山东淄博月考）不等式的解集是，则实数 0（填>，<或） 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式解集的形式确定的符号，再根据韦达定理确定的符号，可得的符号. 【解析】因为不等式的解集为，所以. 且，是二次方程的两根. 所以. 所以. 故答案为： 14．（2025高一·全国月考）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【解析】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 15．（2025高二·江苏无锡月考）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【解析】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 16．（2025高二·黑龙江哈尔滨月考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【解析】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 17．（25-26高一·全国月考）已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以. 18．（2025高二·浙江嘉兴·期末）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可. 【解析】不等式化为，即， 当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意； 当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知， 不等式的解为，由题意，，解得； 当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是. 故选：C 19．（2025高一·全国月考）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【解析】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 20．（2025高一·全国·课堂例题）不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】根据同号得正，将分式不等式转化为一元二次不等式，求解即可. 【解析】等价于，解得或， 故解集为或. 故答案为：或 21．（2025高三·全国·对口高考）已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【解析】解：原不等式等价于，化简得， 所以，又等价于，解得： 所以， 故答案为：． 22．（湖南省岳阳市2024-2025学年高二学期期末教学质量监测数学试题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，即可根据交集定义求解. 【解析】或， 故， 故选：B 23．（2025高二·重庆·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【解析】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：一元二次不等式恒成立问题 24．（2025高二·江西萍乡·期末）若命题“,”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】； 【分析】问题等价于命题“, ”是真命题，结合判别式的符号可得答案. 【解析】命题“,”是假命题， 则命题“, ”是真命题， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 25．（2025高一·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【解析】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 26．（2025高一·江西月考）当时，一元二次不等式恒成立，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件可得结果. 【解析】由一元二次不等式，可得， 从而，解得：. 故选：A. 27．（2025高一·全国月考）已知函数的值恒为正数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将二次函数函数值恒大于0的问题转化为一元二次不等式恒成立问题来列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【解析】∵二次函数的值恒大于0， 所以不等式的解集为，故实数满足： ，解得. ∴当时，这个二次函数的值恒大0. 故答案为：. 28．（2025高一·福建漳州·期末）不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题意转化为恒成立，讨论的取值，列式求解. 【解析】∵不等式的解集为， ∴恒成立. ①当，即时，不等式化为， 解得：，不是对任意恒成立，舍去； ②当，即时，对任意， 要使， 只需且， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为： 29．（2025高一·山东淄博月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【解析】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 30．（2025高二·山东临沂月考）“不等式在R上恒成立”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出一元二次不等式的充要条件，再结合子集关系得出充分不必要条件即可. 【解析】不等式在R上恒成立， ∴，解得，这是其充要条件， 是的真子集，其充分不必要条件可以是. 故选：D. 31．（2025高三·上海月考）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接列出关于的不等式组即可求解. 【解析】命题 p表示“恒成立”. 当且仅当同时满足以下三个不等式： 当时：，解得； 当时：恒成立； 当时：解得； 综合条件得. ∴最终k的范围为. 故答案为：. 32．（2025高一·全国月考）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为在上恒成立，即可得. 【解析】由题设，在上恒成立，而， 所以. 故答案为： 33．（2025高一·全国月考）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解析】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型6：一元二次方程的实根分布问题 34．（2025高一·河南月考）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【解析】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 35．（2025高一·广东广州月考）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【解析】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（2025高一·天津月考）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【解析】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 37．（2025高一·江苏徐州月考）方程的两根都大于，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布即可求解. 【解析】解：由题意，方程的两根都大于， 令， 可得，即，解得． 故答案为：. （六） 解不等式应用题的步骤 题型7：一元二次不等式的实际应用 38．（25-26高一·全国月考）如图，某海洋气象部门在0：00预报，在距离某渔场南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向缓慢移动，距风暴中心以内的海域都将受到影响.则渔民为了安全，进港避风最迟应在（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，设风暴中心最初在A处，经后到达B处，自B向x轴作垂线，垂足为C.若在点B处受到热带风暴的影响，则，所以，即，两边平方并化简，整理得，解得或（舍去）.所以进港避风的时间最迟应在13点40分. 39．（25-26高一·全国月考）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 40．（25-26高一·全国月考）在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 41．（25-26高一·全国月考）已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶.如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数x的最小值为 . 【答案】2 【解析】依题意，征附加税x元（叫作税率）时，每年销售量将减少10x万瓶，则销量变为万瓶.要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则有，解得. 42．（2025高一·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为 元. 【答案】 【分析】根据总利润销售量每个利润．设售价为元，总利润为元， 则销售量为，每个利润为，表示总利润，然后根据函数性质求最大值． 【解析】设售价为元，总利润为元， 则， 当时，最大，最大的利润元； 即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元． 故答案为: . 43．（2025高一·浙江温州·期中）为了宣传第56届世乒赛，某体育用品商店购进一批乒乓球拍，每副进价200元，售价260元，每月可以卖出160副．由于疫情原因，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价10元，每月可多卖出80副，降价后，商家要使每月的销售利润最大，应该将售价定为 元． 【答案】240 【分析】根据题意建立销售价格与销售利润之间的函数关系，求其最大值即可. 【解析】设销售利润为，销售价格为，根据题意可知： 根据题意可得：， 又该函数在单调递增，在单调递减， 故当时，函数取得最大值，则应该将售价定为元. 故答案为：. 一、单选题 1．（2025高一·上海月考）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为（    ） A．{x|-2<x<1} B．{x|-1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 【答案】B 【分析】直接根据图象求解即可. 【解析】由题图知y>0的解集为{x|-1<x<2}. 故选B. 2．（2025高二·辽宁·期末）定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设定义得到，即可求解. 【解析】因为，由，得到， 整理得到，解得或， 故选：D. 3．（2025高一·全国月考）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 4．（2025高一·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由全称量词命题为真命题，求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解析】由命题p为真命题，得，解得，显然， 所以“命题p为真命题”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5．（2025高一·全国月考）若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（　　） A．和 B． C． D．和 【答案】A 【分析】不等式的解集为，可得方程的两个根为，利用根与系数的关系可得，即可得出结果. 【解析】若不等式的解集为， 则方程的两个根为且， ，解得， 则函数， 令，解得或， 故函数的图象与轴的交点为和. 故选：A. 6．（2025高一·陕西西安·期末）已知不等式的解集是，则的值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【分析】先将题目转化为和为方程的根，且，再结合韦达定理即可求解. 【解析】由题意，不等式的解集是， 则和为方程的根，且， 即，解得，， 所以. 故选：A. 7．（2025高一·浙江·期中）已知，关于x的不等式的解集为（    ） A．或B． C．或 D． 【答案】A 【解析】分解因式得，由可得，即可得出解集. 【解析】不等式化为， ，，故不等式的解集为或. 故选：A. 8．（25-26高一·全国月考）一批货物随17列货车从A市以的速度匀速直达B市，已知两地铁路线长，为了安全，两列货车的间距不得小于，那么这批货物全部运到B市，最快需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t小时，则，当且仅当，即时等号成立． 9．（25-26高一·全国月考）若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由二次函数的图象可得. 10．（2025高一·广东广州月考）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可. 【解析】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 11．（25-26高一·全国月考）某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ） A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【解析】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 二、多选题 12．（2024高三·全国月考）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】举反例即可判断ABC，由基本不等式的相关推论结合即可判断D. 【解析】因为不等式的解集为， 则是方程的两个实数根，，又, 不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意； 令，，则，但，故B不成立，符合题意； 令，，则，，但，故C不成立，符合题意； ，故D成立，不符合题意． 故选：ABC. 13．（2025高一·全国月考）[多选题]下列说法正确的是（   ） A．已知U为全集，“”的充要条件是“” B．若集合中只有一个元素，则 C．关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 D．“”是“”的充分且不必要条件 【答案】ACD 【解析】对于A，等价于A是B的子集，等价于，即“”的充要条件是“”，故A正确；对于B，当时，集合A中也只有一个元素，故B错误；对于C，因为关于x的不等式的解集为，所以，且，3是的两个根，所以由根与系数的关系得，则不等式可化为，解得，故C正确；对于D．由“”可得“”，但“”，当时，“”就不成立，故D正确． 三、填空题 14．（2025高一·全国·单元测试）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ． 【答案】x(x+12)=864 【解析】根据条件先表示出矩形田地的长，然后根据面积列出方程即可. 【解析】因为宽为，且宽比长少12，所以长为， 故根据矩形面积公式列方程：， 故答案为：． 15．（2025高一·上海黄浦·期中）关于的不等式解集是 ． 【答案】 【分析】分和分别解一元二次不等式即可求解. 【解析】当时，不等式化为，解得，即； 当时，不等式化为，解得，即. 综上所述，不等式的解集为． 故答案为：． 16．（2025高二·北京密云·期末）一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间的关系为：.如果这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，请你给出一个该工厂在这周内生成的摩托车数量的建议，使工厂能够达成这个周创收目标，那么你的建议是 . 【答案】摩托车数量在51到59辆 【分析】根据题意可得，解不等式，且取不等式解集中的正整数即可 【解析】由题意得，化简得， 得，解得， 因为取正整数， 所以该工厂在这周内生成的摩托车数量在51到59辆时，工厂能够达成这个周创收目标. 故答案为：摩托车数量在51到59辆 17．（2025高一·江苏连云港月考）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 18．（2025高三·全国月考）已知不等式的解集为，解不等式的解集为 【答案】 【分析】根据题意利用根与系数的关系求得，继而解即得答案. 【解析】由不等式的解集为， 可知是的两根，且， 故，则， 故即， 即，解得或， 故不等式的解集为， 故答案为： 19．（25-26高一·全国月考）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，又，所以不等式等价于，解得或． 20．（2025高一·云南昭通月考）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得. 【解析】由题意可得，解得：， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 21．（2025高一·上海嘉定·期末）已知方程的两个根满足，则m的值是 . 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系可得，结合已知可得，求解即可. 【解析】因为的两根为，所以， 又因为，所以， 所以，解得，检验可得， 所以. 故答案为：. 22．（2024高二·浙江·竞赛）设集合，集合．若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出集合A，再根据集合的子集关系和二次函数性质求出参数范围 【解析】因为，要使, 则, 则, 所以. 故答案为：. 四、解答题 23．（2025高二·辽宁铁岭·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解一元二次不等式化简集合N，再利用交集的定义求解作答. 【解析】解不等式，得，即，而， 所以 故答案为： 24．（2025高二·河北邯郸·期中）解不等式. 【答案】答案见解析 【分析】将不等式化为，故对应的方程必有两根，再讨论两根的大小即可求出所对应的不等式的解集. 【解析】解：对于不等式，可化为， 所以方程有两根、， 令，解得， ∴当或时， ，故原不等式的解集为； 当或时，，原不等式的解集为； 当或时， ，原不等式的解集为； 综上可得：当当或时解集为，当或时解集为， 当或时解集为. 25．（2025高一·上海·课堂例题）解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式不等式转化为一元二次不等式，求得解集； （2）分式不等式转化为一元二次不等式组，分别求出两不等式的解集，最后取并集即可； 【解析】（1）原不等式可化为，即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）因为，即，可得， 解得， 所以原不等式的解集为． 26．（2025高一·全国月考）解关于的不等式 ． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】利用含参一元二次方程不等式的解法求解. 【解析】方程中， ①当即时，不等式的解集是， ②当，即时，不等式的解集是， ③当即时， 由解得：， 时，不等式的解集是或， 综上，时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是， 时，不等式的解集是或， 27．（2025高一·江苏连云港·期末）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【解析】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 28．（2025高一·全国月考）若，解不等式． 【答案】 【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可． 【解析】解：∵，∴， 原不等式可化为， 解得． 故原不等式的解集为． 29．（2025高一·上海月考）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【解析】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 30．（25-26高一·全国月考）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【解析】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$