3.4函数的应用(一)5题型分类(讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.4函数的应用(一)5题型分类 课程标准 学习目标 ① 理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 ②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． （一） 一次函数模型 用一次函数模型解决实际问题的解题方法 (1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围； (2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型； (3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验． 注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 题型1：用一次函数模型解决实际问题 1．（2024高一·全国月考）为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 【答案】(1) (2)学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 【分析】（1）根据题意,构造等量关系式,求出函数关系式; （2）先求出自变量取值范围,再根据函数单调性求解即可. 【解析】（1）因为购买A型笔记本电脑台，所以购买B型笔记本电脑（）台， 所以， 所以关于的函数解析式为． （2）因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多， 所以解得， 而为整数，故可取，学校共有6种购买方案． 由，因为，所以函数单调递减， 又且为整数，所以当时，有最小值， 最小值，此时． 故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84000元． 2．（2025高一·全国月考）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 【答案】(1)每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元 (2)与的函数解析式为，此时最大利润为8000元 【分析】（1）设每台A型号电脑进价为元，根据题意列出方程并求解，即可得到答案； （2）根据一元一次不等式的性质，得；根据一次函数的递增性，即可得到答案． 【解析】（1）设每台A型号电脑进价为元，则型号电脑进价为元 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴型号电脑进价（元）， ∴每台A型号电脑进价为2000元，每台型号电脑进价为1500元； （2）根据题意，得， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． ， ∵， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，所获利润最大为元. ∴与的函数解析式为，此时最大利润为8000元． 3．（2025高一·江苏常州·期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 项目 类别 年固定 成本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域； (2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划． 【答案】(1)，且；，且； (2)答案见解析. 【分析】（1）设年销售量为件，由题意可得，，注意根据实际情况确定定义域. （2）分别计算两种方案的最值可得，讨论的符号，研究不同的方案所投资的产品及最大利润. 【解析】（1）设年销售量为件，按利润的计算公式生产、两产品的年利润、分别为： ，且； ，且. （2）因为，则，故为增函数，又且， 所以时，生产产品有最大利润为：（万美元）. 又，且， 所以时，生产产品有最大利润为460（万美元）， 综上，， 令，得； 令，得； 令，得. 由上知：当时，投资生产产品200件获得最大年利润； 当时，投资生产产品100件获得最大年利润； 当时，投资生产产品和产品获得的最大利润一样. 4．（2025高一·四川眉山月考）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元 (2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元 【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值． 【解析】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元． 得，解得， 所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元． （2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货个，利润为w元， 则， 因为，所以w随a增大而增大， 又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍， 即，解得， 所有当时，w最大，此时，， 答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元． （二） 二次函数模型 1、二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 题型2：二次函数模型及应用 5．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【解析】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 6．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 【答案】(1)800 (2) 【分析】（1）先求出提价后该零件的销售总收入与的关系，再根据二次函数的性质即可得解； （2）根据题意列出不等式，解之即可. 【解析】（1）由题意可得提价后该零件的销售总收入， 因为， 所以当时，取得最大值800万元， 即该零件的售价为20元时，该零件的销售总收入取得最大值800万元； （2）由题意可得， 整理得，即， 解得，又，所以的取值集合为． 7．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由题意易得函数，的解析式； （2）将两函数作差，分类讨论可求得结论. 【解析】（1）在方案一中，， 在方案二中，超出部分每只羊崽的进价为元， 所以， （2）， 当时，，所以，甲选择方案一更经济实惠； 当时，，所以，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，，所以，甲选择方案二更经济实惠； 综上所述：当时，甲选择方案一更经济实惠； 当时，甲选择方案一和方案二的消费一致； 当时，甲选择方案二更经济实惠. 8．（2025高一·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)或时，公司获得最大利润为74120元． 【分析】（1）由利润是总收入与总成本之差即可求解； （2）通过配方法即可求解； 【解析】（1）利润是总收入与总成本之差，所以． （2）， 所以当或时，公司获得最大利润为74120元． （三） 幂函数模型应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 题型3：用幂函数模型解决实际问题 9．（2025高一·福建宁德月考）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】(1)解析式为①和② (2)时长为 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【解析】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. 10．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解； （2）列出企业利润的函数解析式，利用换元法求得函数最值得解. 【解析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元 由题设，， 由图知，故，又，所以． 从而，． （2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元， 则， 令，则，所以， 当时，，此时. 故产品投入万元，产品投入万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是万元. 11．（2025高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【解析】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 12．（2025高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ 【答案】(1)更适合作为与的函数模型 (2)果树数量为时年利润最大 【分析】（1）将点代入和，求出两个函数，然后将和代入， 看哪个算出的数据接近实际数据哪个就更适合作为与的函数模型. （2）根据（1）可得，利用二次函数的性质求最大利润. 【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 与表格中的和相差较大， 所以不适合作为与的函数模型. ②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得 解得 此时，当时，， 当时，， 刚好与表格中的和相符合， 所以更适合作为与的函数模型. （2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为， 令，则 经计算，当时，取最大值（万元）， 即，时（每亩约38棵），利润最大. （四） 分段函数模型 1、用分段函数模型解决实际问题的解法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． 2、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 题型4：用分段函数模型解决实际问题 13．（25-26高一·全国·单元测试）下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 【答案】(1) (2)该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元 【分析】（1）根据水价表写出函数解析式即可； （2）由所交水费计算出用水量，再计算水资源费和污水处理费即可. 【解析】（1）依题意，当时，； 当时，； 当时，. 所以用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式是 （2）当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意. 所以. 所以水资源费为（元），污水处理费为（元）， 所以该户居民所交水资源费为315元，污水处理费为294元. 14．（2025·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【解析】（1）根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； （2）由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 15．（2025高一·江苏镇江·期末）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时.假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：. (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间. 【答案】(1) (2)该设备一天的耗电总量的最小值为，当天的运行时间为小时 【分析】（1）令，解一元二次不等式即可得结果； （2）根据题意求耗电总量的函数解析式，结合二次函数以及基本不等式求分段函数最值即可. 【解析】（1）当时，令， 可得，解得， 所以的取值范围为. （2）由题意可知：设备一天的耗电总量为， 当时，， 可当且仅当，即时，取到最小值； 当时，， 当且仅当时，取到最小值； 因为，所以该设备一天的耗电总量的最小值为，设备当天的运行时间为小时. （五） 对勾函数模型 解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 题型5：对勾函数模型解决实际问题 16．（2025高一·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 【答案】(1)屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； (2)6 【分析】（1）由题意可得屋子的建造总价，利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，当时成立，当时，可得，结合换元及基本不等式求得，可得结果. 【解析】（1）因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面均为米， 所以屋子的前面长为米， 可得屋子的建造总价 ； 当且仅当，即时，等号成立； 所以屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； （2）因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司， 所以在上恒成立， 化简可得在上恒成立， 当时，显然成立， 当时，则有， 令，则， 所以， 由对勾函数性质可知， 即，所以， 又因为， 所以的最大整数为6. 17．（2025高一·河南洛阳·期末）果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． (1)试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； (2)现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用给定条件求出特殊点处的函数值，再代入求解参数即可. （2）利用给定条件求出残留量，再对参数范围分类讨论求解即可. 【解析】（1）根据问题的实际意义，可知， 将代入，得，解得． （2）由（1）知， 设果蔬未被清洗时，农药残留量为单位1， 若用单位量的水清洗一次，则农药残留量为 若将单位量的水平均分成2份，先后清洗2次， 则农药残留量为， 而 ， ①当，即时，， 将水均分成2份，清洗两次，农药残留量比较少． ②当，即时，， 两种方式下，农药残留量相等． ③当，即时，． 清洗一次，农药残留量比较少． 18．（2025高一·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【解析】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 19．（2025高一·云南曲靖·期末）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足. (1)求该商场的日收益（千元）与时间t（天）的函数关系式； (2)求该商场日收益的最小值（千元）． 【答案】(1) (2)（千元） 【分析】（1）分及，计算即可得； （2）借助第一问中所得，分别计算两段中该商场日收益的最小值后比较其大小即可得. 【解析】（1）当时，， 当时，， 则； （2）当时，， 则随的增大而增大，故； 当时，， 则则随的增大而减小，故； 又，故该商场日收益的最小值为（千元）. 20．（2025高一·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】(1) (2)，最小总费用是12200元. 【分析】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【解析】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套（    ） A．2000双 B．4000双 C．6000双 D．8000双 【答案】D 【分析】本题先建立不等式，再解不等式即可 【解析】解：根据题意：， 解得：， 所以日产手套至少8000双才不亏本. 故选：D. 【点睛】本题考查函数与不等式解决实际问题，是基础题. 2．（2025·湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】试题分析：设这两年年平均增长率为，因此解得． 考点：函数模型的应用． 3．（2025高一·全国·单元测试）某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 【答案】A 【解析】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元， 则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)． 由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40. 所以解得 答案：A 4．（2025高一·全国月考）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（    ） A．40分钟 B．35分钟 C．30分钟 D．25分钟 【答案】C 【分析】由工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，求得，可得，代入即可求得答案. 【解析】由题意工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟， 所以当时，， 当时，，解得， 所以， 因为，所以， 即可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是30分钟． 故选：C. 5．（2025高一·江苏连云港月考）以速度（单位：）从地面竖直向上发射子弹，经过时间（单位：）的子弹高度（单位：）可由二次函数确定．已知发射后第末时的子弹高度为，则子弹在以上的高度能持续多少秒（    ） A．10 B．大于5小于10 C．大于10 D．5 【答案】D 【分析】由题可得函数的解析式，然后利用二次函数的性质结合条件即得． 【解析】因为，由题意知，， 所以，解得， 所以，其开口向下，对称轴为， 所以子弹在以上的高度能持续的时间为(s)． 故选：D． 6．（2025高三·重庆渝中月考）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解. 【解析】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元， 因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍， 所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为， 故选：A. 7．（2025高一·全国·单元测试）某幢建筑物，从m高的窗口用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点离墙m，离地面m，则水流落地点离墙的距离是（    ） A．2m B．3m C．4m D．5m 【答案】B 【分析】以抛物线所在平面与墙面的交线为轴，和水平面的交线为轴建立坐标系, 根据最高点离墙m，离地面m，设抛物线方程为，再将点坐标代入求解. 【解析】以抛物线所在平面与墙面的交线为轴，和水平面的交线为轴建立坐标系． 则由题设条件知，抛物线的顶点，点坐标为． 于是可设抛物线方程为． 将点坐标代入该方程，解得． 抛物线方程为：． 令，得， 或（舍去）． 点的坐标为， 故， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题. 二、填空题 8．（2025高一·全国月考）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 【答案】200 【分析】 根据题意，列出分段函数，分段求最值，即可得到结论． 【解析】解：由题意， 时，， 时，； 时，， 天时，总利润最大为10000元 故答案为：200． 【点睛】本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题． 9．（2025高一·全国月考）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 【答案】20 【分析】根据题意，求得表中各售价差的平方和的表达式，结合二次函数的性质，即可求解. 【解析】由题意，设 ， 由二次函数的性质，可得当时，取得最小值， 即实数的值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中认真审题，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 10．（2025高一·全国月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    【答案】, 【分析】由给定的图形，结合等腰梯形的性质求出函数解析式. 【解析】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E，则，    在中，，，则， 而，于是，， 所以，. 故答案为：, 11．（2025高一·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    【答案】 【分析】分，两种情况求出函数解析式，再结合不等式求解即可. 【解析】当时，设， 将代入得，，解得， 则， 由，解得，即； 当时，设， 将，代入得，则， 由，解得，即. 综上所述，教师在时间段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳. 故答案为：. 三、解答题 12．（2025高一·河南郑州·期末）某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)． (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 【答案】(1)f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54]； (2)P=-3(x-42)2+432,x∈[30,54]，销售单价为42元. 【分析】（1）设出函数的解析式，进而根据表格中的数据求得答案； （2）先求出P，然后根据二次函数求最值的方法解得答案. 【解析】（1）因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组，所以y＝f(x)＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54]． （2）由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) . 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 13．（2025高一·海南·期末）某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行． (1)分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和； (2)根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？ 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）利用函数的图像结合分段函数的性质求出解析式； （2）由，得，结合图像选择合适的套餐. 【解析】（1）对于套餐甲： 当时，， 当时，设，可知函数图象经过点，， 所以，解得，所以． 故 对于套餐乙： 当时，， 当时，根据题意，可设， 将代入可得，所以． 故 （2）由，可得，解得． 由函数图象可知： 若用户使用的流量时，应选择套餐甲； 若用户使用的流量时，选择两种套餐均可； 若用户使用的流量，应选择套餐乙． 14．（2025高二·江苏南京·期中）某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化． （1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值． 【答案】（1）16天（2） 【分析】(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数. （2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值. 【解析】（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以 当时，显然符合题意． 当x＞4时，解得， 综上， 所以自来水达到有效净化一共可持续16天． （2）由，得： 在区间（0，4]上单调递增，即； 在区间（4，7]上单调递减，即， 综上， 为使恒成立，只要且即可， 即所以应该投放的药剂质量m的最小值为 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题． 15．（2025高一·江苏无锡月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【解析】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 16．（2025高一·全国月考）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【解析】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 17．（2025高一·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1). (2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解. 【解析】（1）当时，. 当时，. 所以. （2）当时,，当时，万元. 当时,万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元. 18．（2025高一·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 【答案】(1)，；，. (2)乙购买了2斤大果榛子 【分析】（1）根据题意，写出函数的解析式； （2）先求出，确定甲选择方案二购买，花费91元，得到乙花费44元，再分别讨论按照方案一和方案二乙可以购买的大果榛子斤数，得到答案. 【解析】（1）根据题意，，， ，. （2）由（1），，，所以，则甲选择方案二购买，花费91元， 则乙花费元， 若乙按照方案一购买，则，解得或，又， ，即乙可以购买2斤大果榛子， 若乙按照方案二购买，则，解得， 所以乙应该按照方案一购买，乙购买2斤大果榛子. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.4函数的应用(一)5题型分类 课程标准 学习目标 ① 理解与掌握具体函数的应用的意义，掌握常见函数的模型，并能解决与常见函数相关的问题。 ②能根据实际意义，建立函数模型，并能解决实际问题.。 通过本节课的学习，能解决常见函数的具体问题的处理，能根据实际意义，建立函数模型解决相关的问题 一、用函数模型解决实际问题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 二、常见的函数模型 (1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型． (3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． （一） 一次函数模型 用一次函数模型解决实际问题的解题方法 (1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围； (2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型； (3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验． 注：（1）一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则． （2）一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值． 题型1：用一次函数模型解决实际问题 1．（2024高一·全国月考）为了改善学校办公环境，某校计划购买两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5200元，B型笔记本电脑每台6400元，设购买A型笔记本电脑台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用元． (1)求出关于的函数解析式． (2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用． 2．（2025高一·全国月考）某商场准备购进A，两种型号电脑，每台A型号电脑进价比每台型号电脑多500元，用40000元购进A型号电脑的数量与用30000元购进型号电脑的数量相同，请解答下列问题： (1)A，型号电脑每台进价各是多少元？ (2)若每台A型号电脑售价为2500元，每台型号电脑售价为1800元，商场决定用不超过35000元同时购进A，两种型号电脑20台，且全部售出，请写出所获的利润（单位：元）与A型号电脑（单位：台）的函数关系式并求此时的最大利润． 3．（2025高一·江苏常州·期末）某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元） 项目 类别 年固定 成本 每件产品 成本 每件产品 销售价 每年最多可 生产的件数 A产品 20 m 10 200 B产品 40 8 18 120 其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,9]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去． (1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域； (2)如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划． 4．（2025高一·四川眉山月考）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元．    (1)求两种玩偶的进货价分别是多少？ (2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？ （二） 二次函数模型 1、二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c，a≠0.在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题，二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答． 2、利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符． 题型2：二次函数模型及应用 5．（2025高一·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 6．（2025高一·陕西西安·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件，现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，设提价后的零件售价为元． (1)求提价后该零件的销售总收入（单位：万元）的最大值； (2)若提价后该零件的销售总收入（单位：万元）不低于原来的销售总收入，求的取值集合． 7．（2025高一·内蒙古赤峰·期末）甲养殖户去年购入100只羊崽，今年计划增加羊崽的购入数量，有如下两种购买方案可供选择：方案一，每只羊崽的进价均为450元；方案二，前100只羊崽的单价为500元/只，若超过100只羊崽，则每多买1只，超出部分每只羊崽的进价降低1元.设甲今年比去年购入的羊崽多只，甲按照方案一购入羊崽的消费额为元，按照方案二购入羊崽的消费额为元. (1)分别求函数，的解析式； (2)判断甲如何选择方案更经济实惠，并说明理由. 8．（2025高一·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ （三） 幂函数模型应用 幂函数模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式．　 题型3：用幂函数模型解决实际问题 9．（2025高一·福建宁德月考）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 10．（2025高一·重庆·期中）党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，现在准备从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，生产产品的利润与投资成正比，其关系如图①；生产产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）． (1)分别求出生产、两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)该企业已筹集到12万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这12万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 11．（2025高一·湖北宜昌·期中）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 12．（2025高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示. 1 4 9 16 1 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型； (2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？ （四） 分段函数模型 1、用分段函数模型解决实际问题的解法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． 2、应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 题型4：用分段函数模型解决实际问题 13．（25-26高一·全国·单元测试）下表为某市居民用水阶梯水价表（单位：元／米）： 阶梯 每户年用水量米 水价 其中 自来水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 （含） 5.00 2.1 1.5 1.4 第二阶梯 （含） 7.00 4.1 第三阶梯 260以上 9.00 6.1 (1)试写出用户所交水费（元）与用水量（米）的函数关系式； (2)若某户居民一年交水费为1110元，求其中水资源费和污水处理费各为多少？ 14．（2025·上海）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 15．（2025高一·江苏镇江·期末）某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时.假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：. (1)当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围； (2)求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间. （五） 对勾函数模型 解决“对勾”函数应用题的关键 解决“对勾”函数f(x)＝ax＋(a>0，b>0)的实际应用问题时，需关注该函数的定义域、单调性(函数f(x)在和上单调递减，在和上单调递增)、值域和图象等．一般通过变形，构造利用基本不等式的条件求最值． 题型5：对勾函数模型解决实际问题 16．（2025高一·云南昆明·期末）某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． (1)当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ (2)现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 17．（2025高一·河南洛阳·期末）果蔬清洗剂主要由表面活性剂，乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可以去除果蔬表面的部分农药残留．但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬．已知用1个单位量的清水可清除果蔬上残留农药量的，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上．设用x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数． (1)试根据问题的实际含义，确定的值，并在此基础上，求出a，b的值； (2)现用单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后清洗两次．哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少?请说明理由． 18．（2025高一·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 19．（2025高一·云南曲靖·期末）经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足. (1)求该商场的日收益（千元）与时间t（天）的函数关系式； (2)求该商场日收益的最小值（千元）． 20．（2025高一·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套（    ） A．2000双 B．4000双 C．6000双 D．8000双 2．（2025·湖南）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·单元测试）某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　) A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45 C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30 4．（2025高一·全国月考）某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为 (k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（    ） A．40分钟 B．35分钟 C．30分钟 D．25分钟 5．（2025高一·江苏连云港月考）以速度（单位：）从地面竖直向上发射子弹，经过时间（单位：）的子弹高度（单位：）可由二次函数确定．已知发射后第末时的子弹高度为，则子弹在以上的高度能持续多少秒（    ） A．10 B．大于5小于10 C．大于10 D．5 6．（2025高三·重庆渝中月考）某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·全国·单元测试）某幢建筑物，从m高的窗口用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点离墙m，离地面m，则水流落地点离墙的距离是（    ） A．2m B．3m C．4m D．5m 二、填空题 8．（2025高一·全国月考）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入与店面经营天数的关系是，则总利润最大时店面经营天数是 . 9．（2025高一·全国月考）统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表. 季度 1 2 3 4 每千克售价(单位：元) 19.55 20.05 20.45 19.95 某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为 . 10．（2025高一·全国月考）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为 .    11．（2025高一·福建三明·期末）某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点，图象过点；当时，图象是线段，其中.根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为 .（写成区间形式）    三、解答题 12．（2025高一·河南郑州·期末）某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)． (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 13．（2025高一·海南·期末）某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行． (1)分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和； (2)根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？ 14．（2025高二·江苏南京·期中）某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化． （1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值． 15．（2025高一·江苏无锡月考）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 16．（2025高一·全国月考）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 17．（2025高一·福建·期中）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？ 18．（2025高一·辽宁辽阳·期中）辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄，深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客，提供两种购买大果榛子的优惠方案：第一种方案，每斤的售价为24元，顾客买x（）斤，每斤的售价降低x元；第二种方案，顾客买x（）斤，每斤的售价为元．已知每位顾客限购9斤大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为元，按照第二种方案购买大果榛子的付款额为元． (1)分别求函数，的解析式； (2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子，甲、乙的付款总额为135元，且甲购买了5斤大果榛子，试问乙购买了多少斤大果榛子？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$