广东省惠州市2026届高三第一次调研考试数学试题

惠州市2026届高三第一次调研考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座位号等考生信息填写在答题卡上，并按要求填涂试卷类型. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，直线：，若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则b的值为（ ） A. 0 B. ±1 C. D. 7. 我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 设随机变量服从正态分布，若，则 C. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次出现2点”，事件“两次点数之和为奇数”，则事件A与B互斥. D. 对于随机事件A与B，若，，则事件A与B独立. 10. 动点P在椭圆C上，，为C的左、右焦点，直线和直线分别交C于点A，B，若的周长为20，且C的左顶点和上顶点距离为，则（ ） A. 椭圆焦距为3 B. 离心率 C. 面积最大值为12 D. 和斜率乘积为定值 11. 如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知函数则_____. 13. 在的展开式中，含的项的系数是______（请用具体数字作答） 14. 若动点M到定点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是什么?某学生认为：“平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹是抛物线.”由此判断动点的轨迹是抛物线.请问该学生的判断是否正确?_______（填“正确”或“错误”），点的轨迹方程是：_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④ （1）问满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由； （2）求. 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 18. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 19. 已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 惠州市2026届高三第一次调研考试 数学 全卷满分150分，时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号、考场号、座位号等考生信息填写在答题卡上，并按要求填涂试卷类型. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分，其中第14题第一空2分，第二空3分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】24 【14题答案】 【答案】 ①. 错误 ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）①③④，理由：满足的条件是①③④； 若，，则， 若，，则， 由，所以条件①和②不可能同时满足， 故③和④都满足，由，所以， 所以B为锐角，应有，从而条件②不能满足， 故满足的条件是①③④. （2）2 【16题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面，则， 因为，即， 因为，平面，平面， 故平面. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证. （3） 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立：，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立①②得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $