精品解析：安徽省阜阳市界首市第五中学2024-2025学年度八年级下学期期中检测数学试题

八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 2，3，4 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】依据勾股定理逆定理，对每个选项中三边，计算较小两边平方和并与最大边平方比较，判断是否能构成直角三角形．本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握“若三角形三边满足较小两边平方和等于最大边平方，则为直角三角形”是解题的关键． 【详解】A. 最大边为2，验证：，而，，不满足勾股定理． B. 最大边为2，验证：，与相等，满足勾股定理． C. 最大边为4，验证：，而，，不满足勾股定理． D. 最大边为，验证：，而，，不满足勾股定理． 综上，只有选项B符合条件． 故选:B 2. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（ ），熟练掌握该性质是将根号外非负因数移到根号内的关键．利用二次根式的性质（ ），将根号外的数移到根号内，通过计算判断结果． 【详解】解：要将中根号外的数移到根号内， ∵ （，符合二次根式性质 ） ∴ 故选：A ． 3. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是学会利用勾股定理解决问题． 利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ． 故选：D． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有三个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其值与的大小关系来判断方程根的情况．本题主要考查了一元二次方程根的判别式（，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根 ），熟练掌握根的判别式的计算和其与根的情况的对应关系是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程，其中，，． ∴ ∴ 该一元二次方程有两个相等的实数根 故选：B ． 5. 如果，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数 ），熟练掌握二次根式中被开方数需满足非负性，以及多个二次根式同时存在时取各被开方数取值范围的交集是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，来确定的取值范围．需要分别考虑等式左边两个二次根式以及右边二次根式中被开方数的取值要求，然后取其交集． 【详解】解：要使成立， ∵二次根式中被开方数须是非负数， ∴；，即； ∵ 且 ∴ 的取值范围是 故选：B ． 6. 关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 7. 如图，点在数轴上，，，，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点位置上表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴的应用、勾股定理，熟练掌握勾股定理（直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 ）以及数轴上点的位置与数的对应关系是解题的关键．先根据数轴上点的位置确定线段长度，再利用勾股定理求出的长，最后结合点表示的数确定点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，，所以点表示的数是；，所以点表示的数是． 在中，的长度为，． ∴ ∴． 由点表示，则点表示的数为 故选：D ． 8. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 9. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（增长率问题），熟练掌握公式（为初始量，为增长率或下降率，为变化后的量）是解题的关键．本题是一道关于增长率（下降率）的应用题．解题的关键在于设出年平均下降率，根据2023年和2025年药剂的价格列出方程，然后求解方程并检验得到符合条件的解． 【详解】解：设2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为． ∵2023年药剂价格为元，经过两年下降到2025年的元，第一年下降后的价格为元，第二年在第一年下降后的价格基础上再下降，价格为元． ∴可列方程． 方程两边同时除以可得：． ∴． 当时，； 当时，(舍去)， 故选：A． 10. 我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（ ） A. 7．5 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】通过设未知数，利用勾股定理建立方程，求出相关线段长度，进而根据直角三角形面积公式计算勾股形的面积．本题主要考查了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）以及直角三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并能通过设未知数建立方程求解线段长度是解题的关键． 【详解】解：如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为，则，，． 由勾股定理，得，即， 解得． ． ． 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若关于的方程的两根分别是，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的结构特征是解题的关键． 分别在，，由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴在中，由勾股定理得：，， ∴将两式相加得：， 在中，由勾股定理得：， 将两式相加得：， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍负）， 故答案为：2． 14. 如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1）_____°； （2）若，则_____． 【答案】 ①. 45 ②. 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形性质，可以知道，，结合三角形内角和定理，可知道，再结合平角的定义，计算出的度数； （2）延长至点G，使，连接，，先证明，得到，，结合，得到，再证明是直角三角形，最后结合，得到的长度． 【详解】解：（1）在中，， ． ，， ，． ． ． 故答案为：45； （2）如答图，延长至点，使，连接，． 点为的中点， ． 又，， ． ，． 又，， ． ， ． ． ，， ，，． ． ． ． （负值舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能作出合适的辅助线是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】依据二次根式的运算法则，先分别对各项进行化简计算，再通过合并同类二次根式得出结果，涉及二次根式的乘法、化简以及加减运算． 本题主要考查了二次根式的乘除、化简及加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则（（ ）、（ ）等 ）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1． （1）以图中点为一个顶点画，使，，，且点，点都在小正方形的顶点上； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示．（位置不唯一） （2） 解：是直角三角形．理由如下： ，， ． 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，在网格中正确作出图形是解题的关键． （1）利用勾股定理，结合网格特点作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的值； （2）若，化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得． 【小问2详解】 解：由，得， ，． 原式 ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）10 （2）144 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接． ，，， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知． ，， ，． ． 是直角三角形，． ． 20. 【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中，“△”的数量是_____； （2）第1个图案中，“”的数量有；第2个图案中，“”的数量有；第3个图案中，“”的数量有；…，第个图案中，“”的数量是_____ 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“”的数量之和为400，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）18 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）由图可知，第个图案中，“△”的数量是， 故答案为：； （2）由图可知，第个图案中，“”的数量是， 故答案为：； （3）由（1）（2），得， 即， 解得或（不符合题意，舍去）． 的值为18． 六、（本题满分12分） 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，该方程根的判别式_____； （2）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （3）若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）13 （2） 证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 七、（本题满分12分） 22. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 【答案】（1）， （2）的长为 （3） 解：不能，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不能围成总面积为的展览区． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与几何图形的应用、一元二次方程根与系数的关系、列代数式等知识点，正确理解题意找到等量关系建立方程是解答本题的关键． （1）根据图形可表示出的长，再根据矩形面积公式表示出矩形面积即可； （2）由围成总面积为平方米以及代入（1）所得的展览区面积求出的值，再检验，进而求得的长即可； （3）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得， 即， 矩形的面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：若，能围成展览区总面积平方米， 根据题意得， ， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 的长为． 【小问3详解】 略 八（本题满分14分） 23. 如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． （1）求证：； （2）已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ． ． 又， ∴． （2） ①证明：方程有两个相等的实数根， ． ，，，， ，即． 把代入，得． ． ， ∵， ． ②16 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，一元二次方程的解的定义，根的判别式，熟知相关知识是解题的关键。 （1）可证明，据此可利用证明； （2）①由根的判别式得到．由勾股定理可得．则，据此得到，则可得． ②由全等三角形的性质得到，，，则．根据一元二次方程的解的定义得到．根据四边形周长计算公式可得．则，再根据梯形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②由（1）知， ，，， ∴． 当时，，则． 四边形的周长是， ． ． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各组数据是线段的长，其中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 1，，2 C. 2，3，4 D. 1，， 2. 将中根号外的数移到根号内，所得的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有三个实数根 5. 如果，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，点在数轴上，，，，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点位置上表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，若2023年这种药剂的价格为240元，2025年该药剂的价格为194.4元，则2023年到2025年这种药剂价格的年平均下降率为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（ ） A. 7．5 B. 10 C. 12 D. 15 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：__________． 12. 若关于的方程的两根分别是，，则的值为_____． 13. 如图，四边形的对角线，交于点，且．若，，则_____． 14. 如图，在中，，点为边的中点，点，分别为边，上的点，且，，连接，，． （1）_____°； （2）若，则_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1． （1）以图中点为一个顶点画，使，，，且点，点都在小正方形的顶点上； （2）判断的形状，并说明理由． 18. 已知最简二次根式与是同类二次根式． （1）求的值； （2）若，化简：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形中，，，，，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 20. 【观察思考】 【规律发现】 用含的代数式填空： （1）第个图案中，“△”的数量是_____； （2）第1个图案中，“”的数量有；第2个图案中，“”的数量有；第3个图案中，“”的数量有；…，第个图案中，“”的数量是_____ 【规律应用】 （3）第个图案中，若“△”和“”的数量之和为400，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）当时，该方程根的判别式_____； （2）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （3）若该方程有两个实数根，且，求的值． 七、（本题满分12分） 22. 某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域，墙长为米．（捆扎处绳子长度忽略不计） （1）设边的长为米，则边的长为 米，展览区（矩形）的面积为 平方米；（用含的代数式表示） （2）当时，所围成的展览区总面积为平方米，求的长； （3）能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 八（本题满分14分） 23. 如图，在四边形中，，点是上一点，连接，，已知，． （1）求证：； （2）已知，，，以，，为二次项系数、一次项系数和常数项构造关于的一元二次方程，称为勾股方程． ①若勾股方程有两个相等的实数根，求证：； ②若是勾股方程的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $