四川省成都市石室中学2024-2025学年高二下学期零诊数学试卷

2024-2025学年四川省成都市石室中学高二（下）零诊数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在的展开式中，的系数等于(    ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 2.已知是公差不为0的等差数列，，若，，成等比数列，则(    ) A. B. C. 16 D. 18 3.已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4.已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则(    ) A. 或 B. C. D. 5.已知椭圆E：，点，若直线与椭圆E交于A，B两点，则的周长为(    ) A. B. 4 C. D. 8 6.若是函数的极值点，则a的值为    A. B. 3 C. 或3 D. 或2 7.已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 8.已知实数1，2，3，4，5，6，7，将这7个数适当排列成一列数，…，，满足，则满足要求的排列的个数为(    ) A. 58 B. 71 C. 85 D. 96 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件表示食物取自i号格子，下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 10.已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有(    ) A. B. 函数有三个零点 C. 函数的对称中心为 D. 过可以作两条直线与的图象相切 11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则(    ) A. B. C. D. ! 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布，即：，若，，则实数          . 13.有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法． 14.若恒成立，则实数          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 四棱锥中，与为等腰直角三角形，，，E为BC的中点. 为PD的中点，G为PE的中点，证明：平面PAB； 若平面ABCD，，求AB与平面PCD所成角的正弦值. 16.本小题15分 记等比数列的前n项和为，已知 求数列的通项公式； 令，求数列的前n项和 17.本小题15分 已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球. 从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； 现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率. 18.本小题17分 已知双曲线、分别是其左、右焦点，直线l与双曲线C的右支交于A、B两点. 当直线l过点，且时，求的周长； 已知点，若直线AN、BN的斜率之和为0，且，当AN、BN分别与y轴交于点R、S时，求的面积； 已知直线l过点，P是双曲线C上一点且位于第一象限，且满足的点Q在线段AB上，若，求点P的坐标. 19.本小题17分 已知函数， Ⅰ若，求曲线在点处的切线方程； Ⅱ当时，恒成立，求实数k的取值范围； Ⅲ设，，若存在，，使得证明： 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：的展开式的通项公式为， 令，解得 故的系数等于： 故选： 根据二项式定理确定展开式的通项，进而求解结论． 本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 2.【答案】C  【解析】解：是公差不为0的等差数列，，，，成等比数列， 设公差为d，则，即， 整理得， 解得或舍， 故选： 利用等差数列、等比数列的性质求解． 本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】B  【解析】解：若，，则或，所以A选项错误； 若，，，则，所以B选项正确； 若，，则或与相交成的任意角，所以C选项错误； 若，，，则或m与n异面，所以D选项错误． 故选： 根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项． 本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题． 4.【答案】C  【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为q，则， ，即， 又由，则有， 变形可得，即， 又由，即，解可得 故选： 根据题意，设等比数列的公比为q，分析可得，求出q的值，进而可得，解可得答案． 本题考查等比数列的前n项和，涉及等比数列的性质，属于基础题． 5.【答案】D  【解析】解：易知，，， 所以椭圆的左焦点，右焦点， 因为直线的方程为， 即， 此时直线过点， 则的周长 故选： 由题意，结合椭圆的定义和性质求解即可． 本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了利用导数来研究函数的极值，属于基础题. 求出函数的导数，由是该函数的极值点，进而求出a的值，对a进行验证，最终得出满足条件的结果. 【解答】 解：由，得， 是函数的极值点， ，解得或， 当时，恒成立，即单调递增，无极值点，舍去； 当时，时，或， 满足为函数的极值点， 故选 7.【答案】D  【解析】解：， 则，，故A错误； ， 则， 故，故B错误； ，故C错误； ， 则，， 故，故D正确． 故选： 根据已知条件，结合二项分布的概率、期望公式、方差公式，即可求解． 本题主要考查二项分布的概率、期望公式、方差公式，属于基础题． 8.【答案】B  【解析】解：根据题意，，，，都比大，所以可能取1，2或3， 当时，，有种选法，剩余数字中最大，，有种选法，最后剩下一个就是，共有种， 当时，，，有种选法，剩余数字中最大，而，有种选法，共有种， 当时，，，，有种选法，剩余数字，只有1种，共有种， 则满足要求的排列的个数为种． 故选： 根据题意，，，，都比大，所以可能取1，2或3，分，和三类进行讨论． 本题考查了利用排列组合知识解决计数问题，是中档题． 9.【答案】BD  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A选项，由贝叶斯公式，，故A选项错误， 对于B选项，由全概率公式，，故B选项正确， 对于C选项，由全概率公式，，故C选项错误， 对于D选项，由于，故，D选项正确． 故选： 根据贝叶斯公式分析A，根据全概率公式即可求解BC，由条件概率即可求解D，综合可得答案． 本题考查全概率公式、条件概率公式的应用，注意全概率公式、条件概率公式的形式，属于基础题． 10.【答案】ACD  【解析】解：函数， ， 函数有极小值点， ，解得，因此A正确； B.，， 可知是函数的极小值点． ，， 时，；时， 函数有一个零点，因此B不正确； C.由，， 解得，， 函数的对称中心为，因此C正确； 另解：由， 可得， 函数的对称中心为，因此C正确； D.设过点与曲线相切于点， 则切线方程为， 把点代入可得：， 化为：，解得或2， 因此过可以作两条直线与的图象相切，因此D正确． 故选： A.根据函数有极小值点，可得，解得b，即可判断出结论； B.结合A求出函数的极值点与极值，时，；时，即可判断出结论； C.由，令，解得x，进而得出函数的对称中心，即可判断出结论； 另解：由，计算即可得出函数的对称中心，即可判断出结论． D.设过点与曲线相切于点，可得切线方程为，把点代入解得，即可判断出结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性与极值、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.【答案】ACD  【解析】解：由题意可得，，，， ，， 则，，故A、C正确，B错误； 由，，可得， 即有!，故D正确． 故选： 由题意推得，可判断ABC；由不等式，，结合不等式的性质，可判断 本题考查数列的递推式和等差数列的求和公式，以及不等式的应用，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 12.【答案】5  【解析】【分析】 本题主要考查正态分布的概率、均值、方差，属于基础题． 利用正态分布曲线的对称性求解． 【解答】 解： ，且， ， 又， ， 故答案为： 13.【答案】150  【解析】解：根据题意，分2步进行分析： ①把5本书分成3组，若分为3、1、1的三组，有种分组方法； 若分为2、2、1的三组，有种分组方法， 则一共有种分组方法， ②将分好的三组分别借给3人，有种情况， 则有种借法； 故答案为： 根据题意，分2步进行分析：①分2种情况讨论把5本书分成3组的情况数目，②将分好的三组分别借给3人，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：，即， 即， 设，则， 又，则在R上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 又当且仅当时等号成立， 则，解得 故答案为： 15.【答案】证明见解析；   【解析】解：证明：取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形，，， 不妨设，， ， 、F分别为BC、PD的中点， ， ， ，， ， ， 四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB， 平面PAB； 平面ABCD， 以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，， ， 设AB与平面PCD成的角为， 则， 即AB与平面PCD成角的正弦值为 取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； 建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与平面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解． 本题考查线面平行得判定，以及向量法的应用，属于中档题． 16.【答案】解：当时，； 当时，，即， 所以等比数列的公比是3， 所以，即，得， 故数列是首项为1，公比为3的等比数列， ； 由知，，故， 则…， …， 两式相减得， …， 故  【解析】本题考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求和，属于中档题． 由题意，作差可得：时，，进而可得的通项公式； 通过求出的通项公式，利用错位相减法求和即可． 17.【答案】分布列见详解；；    【解析】从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数， 由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有： ， 可得随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以随机变量X的期望； 现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球， 若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋； 第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球， 记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件，，， 第二次摸到的是3号球为事件B， 则， 所以 分析可知随机变量X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； 设相应事件，根据题意可得相应概率，利用全概率公式即可求解． 本题考查了离散型随机变量分布列与期望的计算，属于中档题． 18.【答案】16；  2；   【解析】解：根据双曲线定义得：，， 两式相加得， 即， 由已知得， 所以的周长为16； 设直线AN、BN的倾斜角分别为、， 由已知得， 不妨设， 则， 则， 可求得，， 所以直线，令，解得， 直线，令，解得， 所以的面积为； 设，，由，知， 若直线l斜率不存在，则l：，此时，与点重合，不符题意，舍． 设直线l方程为：， 与双曲线， 联立化简得， ，显然成立， 设交点、， 由韦达定理：， 由，得， 从而，即， 将韦达定理代入， 化简得， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而， 得代入式， ， 化简得， 即， 解得， 点P的坐标为 根据双曲线定义求解即可； 分别求出直线AN、BN的直线方程，得出点R、S的坐标，利用面积公式即求解； 令直线l方程为：，与双曲线方程联立，结合韦达定理，求解即可． 本题考查双曲线方程的综合应用，属于难题． 19.【答案】Ⅰ； Ⅱ； Ⅲ证明见解答．  【解析】解：Ⅰ当时，，， ，又，切线方程为，即 Ⅱ设，则， 令，则， 当时，，，在上单调递增， 即在上单调递增，， 在上单调递增，， 符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ，即在上恒成立， ， 符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增，即在上单调递增， 又，当时，， 存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，不符合题意． 综上所述，实数k的取值范围是 Ⅲ证明：由函数，可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， 函数为单调递增函数， ，即， ， 由Ⅱ知，当时，， ， 即， ， 代入可得：， 则， ， 又时，， ，， Ⅰ对求导，利用导数的几何意义可得切线斜率，从而可得切线方程； Ⅱ设，对二次求导，分，和三种情况讨论，判断函数的单调性，进而可得符合题意的k的取值范围； Ⅲ设，由，可得，利用导数判断函数的单调性，由此可得，由Ⅱ知，当时，，则，从而将不等式进一步转化为，即，利用放缩法即可证明 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，不等式恒成立求参数范围问题，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$