第1章 数列（高效培优单元测试·强化卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

第1章：数列（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 4．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 6．等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 8．已知在数列中，，，，则中的最大项是（   ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 11．已知等比数列的公比为，若，且，则（    ） A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 13．已知数列满足，则 . 14．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 16．（15分） 记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 17．（15分） 已知函数，，（，且），记. (1)求、； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)令，求数列的前项和. 18．（17分） ． ．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 19． （17分） 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章：数列（高效培优单元测试·强化卷） （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．/ 1．数列为，则不能作为通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意逐项验证即可求解. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：C. 2．已知数列为等差数列，若是正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列，结合充分性和必要性的定义进行判断即可． 【详解】充分性：当，由等差数列下标和定理得，， 必要性：当等差数列公差时，若，则， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 3．设数列的前项和为．若，，则（   ） A．61 B．121 C．125 D．364 【答案】D 【分析】根据递推关系式求出及与的关系式，结合等比数列的求和公式计算即可. 【详解】因为，①， 所以当时，， 当时，②， ①-②得，， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 4．等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 5．已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 【答案】B 【分析】分为奇数和偶数讨论，分组求和得到答案. 【详解】当为奇数时，也是奇数，因为，所以当为奇数时，， ，令，则，令，则， 令，则，令，则， 以此类推，偶数项为和交替， 前项中有项奇数项，和为， 有项偶数项，有个、个，和为， 所以的前51项的和为. 故选：B. 6．等差数列的前项和分别是，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由与的关系计算可得. 【详解】由可设， 则，， 所以 故选：D 7．已知数列的前项和为，且，，数列满足，记的前项和为，若恒成立，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数列的递推关系求得，进而得，再利用裂项相消法求得，通过函数的单调性和有界性得到，即可求得的最小值. 【详解】因为 ，① 当时，，∵，∴； 当时，，② ①②两式相减得，整理，得 ∴，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. ∴，∴． ∴. ∴. 对于，，， 所以. 由恒成立，得. 故选：D. 8．已知在数列中，，，，则中的最大项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为. 【详解】记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得. 【详解】因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 10．已知等差数列的公差，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是单调递减数列 B．若，则是单调递增数列 C．是单调递增数列 D．是单调递增数列 【答案】BCD 【分析】取，结合数列单调性的定义可判断A选项；利用数列单调性的定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，不妨取，则，且对任意的，， 但，，此时数列不单调，A错； 对于B选项，若，由于，故数列是单调递增数列，B对； 对于C选项，对任意的，由于，故数列是单调递增数列，C对； 对于D选项，对任意的，， 因为，所以，故数列是单调递增数列，D对. 故选：BCD. 11．已知等比数列的公比为，若，且，则（    ） A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据等比数列中各项之间的关系，和等比中项的定义，结合基本不等式，分别判断构造函数的单调性，判断各选项的正误，求出正确结果. 【详解】对于A，当时，由，得，即， 因，则，解得，故A错误； 对于B，因，而函数在上单调递增， 由可得，所以，故B正确； 对于C，由，当且仅当时等号成立， 故得的取值范围是，故C错误； 对于D，因为，所以． 设，则， 因为，可得，所以，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知各项均为正数的等比数列满足，则 . 【答案】7 【分析】由题意得，结合等比数列性质、对数运算性质即可得解. 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 13．已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】由递推公式确定数列周期性，即可求解. 【详解】由， 得，，， 可确定数列周期为2， 所以， 故答案为： 14．已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ；记，则的值为 （其中[x]为不超过实数的最大整数，如）． 【答案】 18 【分析】由题意，分类讨论即可得到，通过放缩得到即可得解. 【详解】因为， 所以，，又， 所以，， 所以当时，， 当时，， 综上所述，， ， 注意到，， 所以 ， 故. 故答案为：，18. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式； （2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断. 【详解】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则；....................6分 （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. ....................13分 16．（15分） 记，其中，数列满足． (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由题目中的整理与的等量关系，可得的递推公式，根据等差数列的概念，可得答案； （2）由题意整理数列的通项公式，利用裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以，则，所以． 因为，所以当时，， 所以，代入，得， 两边同时除以并整理得，（）， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 所以，即．....................7分 （2）由（1）得，， 所以， 所以， 即．....................15分 17．（15分） 已知函数，，（，且），记. (1)求、； (2)证明是等差数列，并求的通项公式； (3)令，求数列的前项和. 【答案】(1)，. (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）利用递推公式可得出、的值； （2）由已知条件得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，确定数列的首项和公差，即可求出数列的通项公式； （3）求得，利用错位相减法结合分组求和法可求得. 【详解】（1）因为，，， 所以，....................4分 （2）因为，所以， 即，即，且， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以.....................9分 （3）， 设数列、的前项和分别为、，则， ， ①， 则②， ①②，得 ，则. 因此，数列的前项和.....................15分 18．（17分） ．已知数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)数列的通项公式为：. (2)数列的前n项和为：. (3)的取值范围为：. 【分析】（1）利用数列前n项和与通项的关系来求解； （2）先根据（1）的结果求出，再利用裂项相消法求数列的前n项和； （3）先根据已知条件求出，再区分n为奇数和偶数两种情况讨论不等式恒成立时的取值范围. 【详解】（1）当时，. 当时，. 根据指数运算法则,,则. 当时，也满足. 故数列的通项公式为：.....................5分 （2）已知，由（1）可知，则， ； 所以. 所以. 故数列的前n项和为：.....................10分 （3）已知，由（1）可知，则 ①. 当时，，解得. 当时，②. ①②相减得：， 所以. 当时，也满足. 那么不等式可化为. 当n为偶数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立. 当n为奇数时，若恒成立，即恒成立： 因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立. 故的取值范围为：...................17分 19．（17分） 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)是“数列”，理由见解析； (3)存在，且，. 【分析】（1）根据题设得，进而知是以首项为，公差的等差数列，写出通项公式； （2）由题设得，利用关系得，应用构造法得是以首项为，公比为的等比数列，求数列通项公式，即可得结论； （3）根据已知得，假设存在正整数，，使得，进而求出对应参数值，即可得结论. 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以；....................3分 （2）由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”；....................10分 （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，....................17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$