预习课第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA 暑假讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 全等三角形的判定— 【题型二】 用证明三角形全等 【题型三】 全等三角形的判定— 【题型四】 用证明三角形全等 【题型五】 尺规作图—作一个角等于已知角 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握全等三角形的判断方法—SAS，ASA，并理解它们的证明过程； 2.会利用SAS，ASA证明两个三角形全等. 1全等三角形的判定方法 ① 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)； ② 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”). 【题型一】全等三角形的判定— 相关知识点讲解 1 我们之前学过SSS证明全等三角形，那还有什么方法呢？ 三角形有三个角和三条边，那两个三角形仅仅一个角或一条边相等，它们会全等么？ 若两个角或两条边呢？试试举例说明。 2 (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)。 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取，在射线上截取； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)运用证明确定，要注意相等的角一定要是两条线段边的夹角. 【典题1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． 变式练习 1（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据选项中所给的条件结合定理分别进行分析，可选出答案． 【详解】解：如图， A、不能判定和全等，故本选项不符合题意； B、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，故本选项不符合题意； D、可以利用判定和全等，故本选项符合题意． 故选：D． 3（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：在和中， ， ． 故选D． 【题型二】用证明三角形全等 【典题1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 变式练习 1（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角定理的应用，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：， ，故①正确 在和中， ，故②正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 2（2025·云南红河·三模）如图，点，在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．由线段间的数量关系得出，利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴即， 在和中， ， ∴． 3（2025·陕西西安·一模）如图，于点，于点，，、为上两点且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，得到，根据平行线的判定定理即可得到． 【详解】证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 4（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 4（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定和性质，取的中点F，连接，由线段垂直平分线的性质可求得，进一步可证明，可证明． 【详解】证明：如图，取的中点F，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， 【题型三】利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”) 证明：已知，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在的同侧画，，与相交于点； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键． 根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出． 【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：C． 变式练习 1（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的判定和性质，根据全等三角形的判定定理判断是解题的关键． 根据题中的条件推理出全等三角形的判定依据，即可求解； 【详解】解： ， ， 在和中， ， ； 则的依据是； 故选：D 2（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是熟悉三角形的判定定理，看那块可以符合全等三角形的条件． 【详解】解：两角一夹边对应相等，两个三角形全等， 带③去就可以， 故选：C． 【题型四】用证明三角形全等 【典题1】（2025·四川南充·一模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质． （1）由平行线的性质求得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 变式练习 1（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 故选C． 2（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 3（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到其邻补角相等，再由证明全等，则由全等三角形对应边相等即可说理． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 4（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了三角形全等的判定、平行线的性质、三角形的中线，熟练掌握三角形全等的判定是解题关键． 先根据三角形的中线可得，再根据平行线的性质可得，可证，即得． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【题型五】尺规作图—作一个角等于已知角 【典题1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹） 已知直线和直线外一点，用尺规作直线，使经过点，且． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，掌握基本作图是解题的关键，根据题意作，即可得出． 【详解】解：如图， （1）过点画直线，交于点； （2）以点为圆心，小于长为半径画弧，分别交于点，交于点； （3）以点为圆心，为半径画弧，交于点； （4）以点为圆心，为半径画弧，两弧的交点为点； （5）连接，即可得到直线，直线即为所求． 变式练习 1 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 【答案】D 【分析】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【详解】解：作的作法，右图可知： ①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点F，E； ②以点C为圆心，以为半径画圆，交射线于点G； ③以点G为圆心，以为半径画弧，交前弧于点P，作射线即可得出，则． 故选：D． 2（2025·陕西西安·一模）如图，四边形中，，是对角线，请用尺规作图法，在边上求作一点，使的面积等于的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定及三角形面积，熟练掌握相关性质是解题关键．作，交于，根据内错角相等，两直线平行得出，根据平行线间的距离相等即可得结论． 【详解】解：如图，作，交于，点即为所求，理由如下： ∵， ∴， ∵与同底，且平行线间的距离相等， ∴的面积等于的面积． 3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了尺规作图、平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握尺规作角等于已知角的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角等于已知角的方法作图即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行推出，再利用平行线的性质得出，根据同角的补角相等得到，再利用平行线的判定即可得出结论；②根据角平分线的定义得到，再结合①中的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②的角平分线为， ， 由①得，，， ， ． 故答案为：． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据判断三角形全等即可． 【详解】解：已知， 由作图可知，， ∴， 故选：A． 2（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．依据全等三角形的判定定理进行判断，并结合线段与角的位置关系准确分析即可． 【详解】解：A、边边角不能证明两个三角形全等，故A错误，不符合题意； B、边边角不能证明两个三角形全等，故B错误，不符合题意； C、边边角不能证明两个三角形全等，故C错误，不符合题意； D、，，，符合，故D正确，符合题意． 故选：D． 3（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角，先证明，得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图．若，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，证明，由全等三角形的性质得出，，根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 5（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据已知易得：， ，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 在和中， ， 米， ∴A，B两点间的距离为15米， 故选：B． 6（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 7（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，三角形中线的性质，延长交于点E，根据已知条件证明，根据全等三角形的性质可得，得出，，推出，代入求值即可． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，是和公共边，，． (1)在图中作，交于点：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）作出，由平行线的判定即可得到； （2）由，，得到，根据平行线的性质证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图：即为所作： （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在和中，，连接，且与的延长线交于点，连接．下列四个结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形、角平分线、三角形内角和的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，作于点，于点，与交于点，通过证明，推导得、平分；根据三角形内角和性质，得，即可得到答案． 【详解】如图，作于点，于点，与交于点， ， ，即， ， 和中， ． ， ∴， ， ，①中的结论正确； ， ，②中的结论正确； ， ， ，③中的结论正确； ， ∴四边形为正方形． 平分，④中的结论正确． ∴正确的结论有4个． 故选：D． 2（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明 ． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 【答案】(1)3；3 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，也考查了等腰三角形的性质． (1)根据Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后，可得；； (2)先用t表示出，当时，，，再根据等腰三角形的性质得到，于是可根据“”判断； (3)设点Q的运动速度为，则，由于，则当，时，根据“”可判断，即，；当，时，根据“”可判断．即，，然后分别解方程可得到的值． 【详解】（1）解：Q点运动的速度与点相同，且点，Q同时出发，经过1秒钟后，；； 故答案为：3，3； （2）证明：由题意得：， ； 当时，，，， 点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设点Q的运动速度，则， ， 当，时，， 即，， 解得，（舍去）； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，当点的运动速度为时，能够使与全等． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 全等三角形的判定方法--SAS，ASA 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 全等三角形的判定— 【题型二】 用证明三角形全等 【题型三】 全等三角形的判定— 【题型四】 用证明三角形全等 【题型五】 尺规作图—作一个角等于已知角 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握全等三角形的判断方法—SAS，ASA，并理解它们的证明过程； 2.会利用SAS，ASA证明两个三角形全等. 1全等三角形的判定方法 ① 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)； ② 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”). 【题型一】全等三角形的判定— 相关知识点讲解 1 我们之前学过SSS证明全等三角形，那还有什么方法呢？ 三角形有三个角和三条边，那两个三角形仅仅一个角或一条边相等，它们会全等么？ 若两个角或两条边呢？试试举例说明。 2 (1)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”)。 证明：已知，画一个，使得，, . 画法如下： (1)画， (2)在射线上截取，在射线上截取； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. (2)运用证明确定，要注意相等的角一定要是两条线段边的夹角. 【典题1】（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·全国·课后作业）在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·山西临汾·期末）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【题型二】用证明三角形全等 【典题1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 变式练习 1（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2（2025·云南红河·三模）如图，点，在线段上，，，．求证：． 3（2025·陕西西安·一模）如图，于点，于点，，、为上两点且，求证：． 4（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 4（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 【题型三】利用判定两个三角形全等 相关知识点讲解 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“”) 证明：已知，画一个，使得， ，. 画法如下： (1)画， (2)在的同侧画，，与相交于点； (3)连接. 若把剪下来，放到上，很明显它们会重合，即它们是全等的。 即两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 也就是说，三角形两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了. 【典题1】（22-23八年级上·广西河池·期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，则的依据是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图所示，某同学不小心把一块三角形玻璃打碎成三部分，现要去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带哪一片碎玻璃（   ） A． B． C． D．无法确定 【题型四】用证明三角形全等 【典题1】（2025·四川南充·一模）如图，点A，C，B，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 变式练习 1（24-25八年级上·浙江金华·期末）小明利用全等三角形的知识测量河流的宽度，设计了如图所示的方案．在河边选了一点，然后在的延线上找一点，使，在点沿与河边垂直的方向直走到点，观察到A，O，D，三点在同一直线上．测得的长，就是河流的宽度，小明这种测量方法的原理是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 3（2025·广东广州·一模）如图，，．求证：． 4（2025·陕西西安·三模）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．求证：． 【题型五】尺规作图—作一个角等于已知角 【典题1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）作图题（不写作法，只写结论，保留作图痕迹） 已知直线和直线外一点，用尺规作直线，使经过点，且． 变式练习 1 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图，用直尺和圆规作，作图痕迹中，弧是（    ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 2（2025·陕西西安·一模）如图，四边形中，，是对角线，请用尺规作图法，在边上求作一点，使的面积等于的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）题目：如图，中，为边上一点，点为延长线上一点． (1)在图中按要求完成尺规作图：在右侧作，交于点；（不写作图步骤，保留作图痕迹．） (2)在（1）的条件下，的角平分线为，若．则 ①与的位置关系是 ． ②与的关系是____________． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图①是，画，使得．如图②是小明的画图过程，已知，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列条件中能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，分别在上，若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4（24-25七年级下·全国·课后作业）如图．若，则的长是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 5（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，为了测量B点到河对岸的目标A的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是，则B点到河对岸的目标A的距离为（   ） A． B． C． D． 6（2025·福建三明·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，是和公共边，，． (1)在图中作，交于点：（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在和中，，连接，且与的延长线交于点，连接．下列四个结论： ①；②；③；④平分． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，已知在中，，，，为的中点，设点在线段上以的速度由点向点运动，点在线段上由点向点运动． (1)若点运动的速度与点相同，且点，同时出发，经过1秒钟后，___________；___________ (2)在（1）的条件下，请说明 ． (3)若点同时出发，但运动的速度不相同，当点的运动速度为多少时，与全等？ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$