预习课第16讲 因式分解 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第16讲 因式分解 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 因式分解的概念 【题型二】 因式分解方法1--提公因式法 【题型三】 因式分解方法2—公式法 【题型四】 其他因式分解的方法 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握因式分解的概念； 2.掌握因式分解的方法—提公因式法和公式法. 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 2 因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； (2)公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【题型一】 因式分解的概念 相关知识点讲解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 【例】。 因式分解与整式相乘的关系：. 【典题1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解； 选项B：，原分解错误； 选项C：属于整式乘法，不是因式分解． 选项D：符合因式分解定义． 故选：D． 变式练习 1（24-25八年级下·山东济南·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个多项式的乘积即可求解． 【详解】解：A．右边为多项式，不是因式分解，故A错误； B．，是因式分解，故B正确； C．右边为多项式，不是因式分解，故C错误； D．，因式分解错误，故D错误． 故选：B． 2 （24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 3（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断是否是因式分解，根据因式分解的定义，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式的乘法，不符合题意； B、，等式右边不是积的形式，不符合题意； C、，等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选D． 【题型二】因式分解方法1--提公因式法 相关知识点讲解 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 【例】 . 【典题1】（23-24八年级下·全国·课后作业）多项式提取公因式后，剩下的因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的． 通过观察知公因式为，提取后得即可判断． 【详解】解： ∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是． 故选C 变式练习 1（24-25八年级上·云南红河·期末）把分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据即可得出答案，找出公因式是解此题的关键． 【详解】解：， 把分解因式，应提取的公因式是， 故选：D． 2（2025·广东东莞·模拟预测）多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，分解因式即可作出判断．熟练掌握提取公因式法、公式法及十字相乘法分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 3（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故选：A． 4（23-24八年级下·广东佛山·期末）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是找到公因式． 通过观察可知公因式为，将原式中的公因式提取出来即可解出此题． 【详解】解：∵中的公因式为， ∴原式， 故选：B． 5（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【题型三】因式分解方法2—公式法 相关知识点讲解 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【例】 ，. 【典题1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数（或式）的平方差，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，，故选项不符合题意； B中，，故选项不符合题意； C中，，不是两数（或式）的平方差，故不能用平方差公式分解因式，故选项符合题意； D中，，故选项不符合题意； 故选：C． 【典题2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟背完全平方公式是解决本题的关键．根据题意对各个选项逐个分析即可选出本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵， ∴B选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； ∵，即不符合完全平方公式， ∴C选项不能用完全平方公式分解因式，符合题意； ∵， ∴D选项能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：C． 【典题3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，做这样的题目首先要提公因式，提完公因式后再利用公式法进行因式分解，需要注意观察最后是否因式分解彻底，以及符号问题，不要写错了． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （2）利用平方差公式分解因式，注意分解彻底； （3）利用整体的思想，运用完全平方公式分解因式即可； （4）利用整体思想，运用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1） （2） （3） （4） 变式练习 1（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意； C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 2（22-23八年级下·福建三明·期末）下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的形式判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、不能用完全平方公式进行因式分解，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握能运用完全平方公式分解因式的条件：多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍是解题关键． 3（23-24九年级上·河北保定·开学考试）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式． 【详解】解：A选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； B选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确； C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误； D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式形式和平方差公式形式是公式法分解因式的关键． 4（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，因式分解错误，不符合题意； B、，因式分解错误，不符合题意； C、，因式分解错误，不符合题意； D、，因式分解正确，符合题意； 故选D． 5（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的前提．利用平方差公式、完全平方公式逐项进行因式分解即可． 【详解】解：A．，因此选项A不符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．没有写成积的形式，不是因式分解，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：D． 6（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为即可． 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 7（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先根据完全平方公式去括号，然后合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解； ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型四】其他因式分解的方法 【典题1】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照进行分解即可； （）仿照进行分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式练习 1（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解以及因式分解的应用． （1）利用“”分组，再利用提公因式法分解即可； （2）利用“”分组，先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，整体思想，换元思想，十字相乘法，掌握换元法和十字相乘法是解题的关键． （1）利用换元法即可得出结果； （2）模仿上述方法逐步进行因式分解即可． 【详解】（1）解：设，则原代数式化为， 故答案为：； （2）解：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解得到 所以，． 3（24-25八年级下·河南郑州·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解． （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于的形式，利用非负数的性质求出、、的关系即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由可得： ∴， ∴ 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于才成立， ∴，， ∴． ∴的形状是等边三角形． 【A组---基础题】 1（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、是多项式乘法运算，故此选项不符合题意； B、，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，是因式分解，故此选项符合题意． 故选：D． 2（23-24七年级下·广西来宾·期末）把多项式因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．直接提公因式x即可． 【详解】解：， 故选：A． 3（2025·贵州贵阳·一模）多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故选：D． 4（2025七年级下·浙江·专题练习）对下列多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解．利用平方差公式、完全平方公式进行判断即可． 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、，正确； D、∵，∴，故本选项错误． 故本题选：C． 5（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．根据十字相乘法，平方差公式和完全平方公式逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 故选：D． 6（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如果，．那么的值是（    ） A． B． C．21 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查利用因式分解，整体带入求值，直接对因式分解，，然后直接带入，即可算出答案． 【详解】由题可知，； ∵，； ∴； 故选：C． 7（24-25八年级上·辽宁·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式的应用，根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 8（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 9（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握分解因式的几种方法． （1）把多项式的前两项分成一组，后两项分成一组，利用提公因式法和公式法分解因式； （2）把所给等式分组为，再分解因式，可得，再进一步即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： 是等腰三角形，理由如下： ， ， ∴， ∴， ∴， 或 ， 或 ， 为等腰三角形． 【B组---提高题】 1（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 【答案】D 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数， 根据题意，得 ， 当时，，都能成立； 当时，则，则， 故， 故， 故一定能被8整除， 故选：D． 2（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据完全平方公式因式分解，根据题意计算 ,即可 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 3（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 因式分解 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 因式分解的概念 【题型二】 因式分解方法1--提公因式法 【题型三】 因式分解方法2—公式法 【题型四】 其他因式分解的方法 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握因式分解的概念； 2.掌握因式分解的方法—提公因式法和公式法. 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 2 因式分解的方法 (1)提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； (2)公式法 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【题型一】 因式分解的概念 相关知识点讲解 把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因式)。 【例】。 因式分解与整式相乘的关系：. 【典题1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级下·山东济南·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2 （24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】因式分解方法1--提公因式法 相关知识点讲解 提公因式法 公因式：多项式的各项都有的一个公共因式； 【例】 . 【典题1】（23-24八年级下·全国·课后作业）多项式提取公因式后，剩下的因式是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25八年级上·云南红河·期末）把分解因式，提出公因式后，另一个因式不再有公因式，则提出的公因式是（   ） A． B． C． D． 2（2025·广东东莞·模拟预测）多项式因式分解，正确的是（   ） A． B． C． D． 3（2025·广东汕头·一模）把分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4（23-24八年级下·广东佛山·期末）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 5（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【题型三】因式分解方法2—公式法 相关知识点讲解 平方差公式：. 完全平方公式：，. 【例】 ，. 【典题1】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【典题3】（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式练习 1（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2（22-23八年级下·福建三明·期末）下列各式，不能用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3（23-24九年级上·河北保定·开学考试）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4（24-25九年级下·山东济宁·阶段练习）下列分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 5（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下列因式分解中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 7（24-25八年级上·山东滨州·期中）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【题型四】其他因式分解的方法 【典题1】（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式： 根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 变式练习 1（2025八年级下·全国·专题练习）［阅读材料］ 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法．分组分解法有两种分法：一是“”分组．二是“”分组．两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如：； ． ［应用知识］ (1)因式分解：． (2)因式分解：． 2（24-25八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，解答后面的问题． 分解因式： 观察代数式：代数式中有两部分都包含，因此可以考虑将这部分看作一个整体 设定新变量：设 进行换元：将代入原代数式，则原代数式变为，得到 因式分解简化后的代数式：对进行因式分解 ①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式，得到 还原变量：将还原，得到 进一步分解，得到 上述这种因式分解的方法称为“换元法”． (1)分解因式时，设，则原代数式化为 ； (2)模仿上述方法分解因式：． 3（24-25八年级下·河南郑州·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：． 这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)； (2)已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【A组---基础题】 1（2025·贵州毕节·三模）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2（23-24七年级下·广西来宾·期末）把多项式因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 3（2025·贵州贵阳·一模）多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4（2025七年级下·浙江·专题练习）对下列多项式分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 5（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6（23-24八年级上·山西朔州·阶段练习）如果，．那么的值是（    ） A． B． C．21 D．10 7（24-25八年级上·辽宁·期末）若可以被到之间的某两个整数整除，则这两个整数是（   ） A．， B．， C．， D．， 8（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）因式分解： (1) (2) 9（24-25八年级下·广东梅州·期中）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时 中又有公因式，于是可以提出，即 ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题： (1)解决问题：分解因式． (2)拓展运用：已知是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【B组---提高题】 1（2025·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（   ） A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除 2（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3（24-25八年级下·四川达州·期中）我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$