精品解析：山东省济宁市高新区2024--2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内） 1. 下列各组数满足方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 3. 若，下列运用不等式基本性质变形正确的是（ ） A B. C. D. 4. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 7. 如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A 18 B. 20 C. 22 D. 24 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 9. 若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A. 15＜a≤18 B. 5＜a≤6 C. 15≤a＜18 D. 15≤a≤18 10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分） 11. 请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理____________________________． 12. 不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有__________个. 13. 如图，在中，垂直平分，交于点，则____________． 14. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么的取值范围是_______． 15. 如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有______． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算： （1）解不等式 （2）解不等式组 17. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 18. 已知线段a，如图，求作等腰三角形ABC，使得底边，BC边上的高线长为保留作图痕迹，不写作法 19. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 20. 某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同．假如校长带领x名学生去旅游，甲、乙旅行社的收费分别为，元． （1）写出，与的函数关系式． （2）三好学生人数在什么情况下，选择哪个旅行社合算？ 21. 某学校为改善办学条件，计划采购两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调比台型空调的费用多元． （1）求型空调和型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 22. 根据以下素材，探索完成任务. 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米. 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元. 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由. 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值. 23. 【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． （2）如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测七年级数学试题 一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题卡内） 1. 下列各组数满足方程的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 若，下列运用不等式基本性质变形正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、不等式两边都减去1，不等号方向不变，故此选项错误，不符合题意； B、不等式两边都乘以，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； C、不等式两边都乘以后再加上2，不等号方向应改变，故此选项错误，不符合题意； D、不等式两边都加上3，不等号方向不变，即，又因为，所以，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 质检人员从编号为的五种不同产品中随机抽取一种进行质量检测，所抽到的产品编号不小于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据五个编号中不小于的两个数是，再利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：∵五个编号中不小于的两个数是， ∴五个编号中不小于的概率为， 故选． 【点睛】本题考查了概率的定义，概率的计算公式，理解概率的定义是解题的关键． 5. 如图，已知一次函数与一次函数的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可解答． 【详解】解：一次函数与一次函数的图象相交于点， 不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合． 6. 为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的大小比较、有理数的乘方法则计算，判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，，， ，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； B、若，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若则，，， ，说明原命题是假命题，故选项符合题意； D、若，，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，平分交于点，交于点．若，则的周长为（　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，等角对等边，勾股定理等知识；由角平分线的概念及平行线的性质得，，由勾股定理得从而可求得的周长． 【详解】解：∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：D． 8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【详解】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 9. 若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A. 15＜a≤18 B. 5＜a≤6 C. 15≤a＜18 D. 15≤a≤18 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式组，由有且只有三个整数解确定出a的范围即可． 【详解】解不等式组得：，即2＜x＜， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解为3，4，5， ∴5＜≤6， 解得：15＜a≤18， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法是解本题的关键． 10. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，可得，根据题意得，求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，解得，, ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题满分15分，每小题3分） 11. 请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理____________________________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 12. 不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了可能性的大小．根据黄球和蓝球所占总体的一半，求解即可． 【详解】解：∵摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，共个球， ∴黄球和蓝球所占总体的一半 ∴黄球和蓝球共有个， 故答案为：． 13. 如图，在中，垂直平分，交于点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：垂直平分， ， 在中，，， ． 故答案为： 14. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么的取值范围是_______． 【答案】<≤10 【解析】 【分析】根据运算程序，前两次运算结果小于等于94，第三次运算结果大于94列出不等式组，然后求解即可． 【详解】由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 解不等式③得，， 所以，x的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键． 15. 如图，在中，，，于点D，平分交于点E，交于点G，过点A作于点H，交于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号有______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据角平分线定义得到，根据余角的性质得到，等量代换得到，故①正确；如图，连接，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，故②错误；根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，故③正确；根据全等三角形的性质得到，推出，得到，于是得到．故④正确． 【详解】解：∵平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故④正确； 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤） 16. 计算： （1）解不等式 （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组， （1）根据解一元一次不等式基本步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集； 能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【小问1详解】 ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 【小问2详解】 ， 解不等式①得， 解不等式②得； ∴不等式组的解集为． 17. 如图，点E，F在上，，，，与交于点O． （1）求证：； （2）试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； 【小问2详解】 解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18. 已知线段a，如图，求作等腰三角形ABC，使得底边，BC边上的高线长为保留作图痕迹，不写作法 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先作线段，再作BC的垂直平分线，然后在NM上截取． 【详解】解：如图所示：即为所求． 【点睛】考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线的做法． 19. 如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE=4. 【解析】 【分析】（1）由角平分线定理可得CE=CF，利用HL即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）首先利用HL证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到AE=AF，然后由Rt△BCE≌Rt△DCF得BE=DF，最后根据AE+BE=AF+BE=AD+2BE即可得出答案. 【详解】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°， 即△CBE和△CFD，△ACE和△ACF都是直角三角形. 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ∵CE=CF，BC=CD， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）. （2）在Rt△AEC和Rt△AFC中， ∵AC=AC，CE=CF， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AE=AF. 由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴BE=DF. ∵AB=15，AD=7， ∴AE+BE=15=AF+BE， ∴AD+DF+BE=15， ∴2BE=15-7=8， ∴BE=4. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 20. 某校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同．假如校长带领x名学生去旅游，甲、乙旅行社的收费分别为，元． （1）写出，与的函数关系式． （2）三好学生人数在什么情况下，选择哪个旅行社合算？ 【答案】（1）， （2）当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算；当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样；当学生人数大于4人时，选择甲旅行社合算 【解析】 【分析】（1）根据题意直接得出该校向甲乙两家旅行社支付的旅游费y（元）与“三好学生”的人数x人之间的关系式； （2）通过两家旅行社费用的比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：， ； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得， ∴当学生人数小于4人时，选择乙旅行社合算； 当时， ， 解得， ∴当学生人数等于4人时，选择甲乙旅行社一样； 当时， ， 解得， ∴当学生人数大于4人时，选择甲旅行社合算． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，明确题意，列出关系式是解题的关键． 21. 某学校为改善办学条件，计划采购两种型号的空调，已知采购台型空调和台型空调，共需费用元；台型空调比台型空调的费用多元． （1）求型空调和型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购两种型号空调共台，且型空调的台数不少于型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）型空调每台需元，型空调每台需元 （2）方案一：采购型空调台，则采购型空调台；方案二：采购型空调台，则采购型空调台；方案三：采购型空调台，则采购型空调台 【解析】 【分析】（）设型空调每台需元，型空调每台需元，根据题意列出方程组解答即可求解； （）设采购型空调台，则采购型空调台，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 小问1详解】 解：设型空调每台需元，型空调每台需元， 由题意得，， 解得， 答：型空调每台需元，型空调每台需元； 【小问2详解】 解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴该校共有三种采购方案： 方案一：采购型空调台，则采购型空调台； 方案二：采购型空调台，则采购型空调台； 方案三：采购型空调台，则采购型空调台． 22. 根据以下素材，探索完成任务. 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米. 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元. 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由. 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值. 【答案】任务1：他的说法对，理由见解析；任务2：米 【解析】 【分析】任务1：过点B作于点G，可证得，据此即可判定； 任务2：设，可得，的高为米，列不等式，即可求解． 【详解】解：任务1：他说法对， 理由如下： 如图：过点B作于点G， ， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：该指示牌是轴对称图形， 四边形是长方形， 设，则，的高为(米)， 长方形的面积为：(平方米)， 三角形的面积为： (平方米)， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 根据题意得：， 解得， 故长度的最大值为米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． 23. 【问题提出】如图，都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】 （1）等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接． ①如图，若点在边上，求证：． ②如图，若点在边的延长线上，线段、、之间的数量关系，并加以说明． （2）如图，等腰中，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出之间的数量为___________．（直接写出结论不用说明理由） 【答案】（1）①证明见解析；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（）①过点作，交于点，可证是等边三角形，得到，，再证明，得到，进而由即可求证；②过点作，交于点，同理①证明是等边三角形和即可求证； （）由等边三角形的性质得，，，即得，，进而可得，得到，又由线段垂直平分线的性质得，得到，即得到，在上截取，可得是等边三角形，进而可证，得到，由得，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下： 如图，过点作，交于点， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 如图，在上截取， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $