精品解析：山东省青岛莱西市（五四制）2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023-2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程的解正确的是（ ） A. 方程的解为 B. 方程的解为 C. 方程的解为 D. 方程的解为， 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 10 5. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，点是边中点，且．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） A. ①与③ B. ①与④ C. ②与③ D. ②与④ 10. 一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 12. 写出一个以2为根的一元二次方程：___________________________． 13. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为________． 14. 如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为________． 15. 若点和点在反比例函数图象上，且，则__________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16. 射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则_____． 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0. （2）4（x＋2）2﹣9（x﹣3）2＝0 19. 有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标__________； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的根，求的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 22. 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题： （1）如图，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是__________； （2）如图，若，，线段与线段的数量关系为__________； （3）如图，若，，线段与线段的数量关系为__________； （4）在（）的条件下，当，，点，，在同一直线上时，__________． 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 25. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，过点Q作QM∥AB交AC于点M，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，∠CPM＝90°； （2）是否存在某一时刻t，使S四边形MQCP＝？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，点P在∠CAD角平分线上． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3． （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求HF的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，共15小题，90分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题满分30分，共10道小题，每小题3分） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵使二次根式在实数范围内有意义， ∴，则， 故选：． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，不能合并，错误； C、，正确； D、，正确； 故选B． 3. 下列方程的解正确的是（ ） A. 方程的解为 B. 方程的解为 C. 方程的解为 D. 方程的解为， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识，根据直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程逐项验证即可得到答案，熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：A、方程的解为，选项错误，不符合题意； B、方程的解为或，选项错误，不符合题意； C、方程的解为，选项正确，符合题意； D、方程的解为，，选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点、、都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理应用，作出适当的辅助线是解题关键．过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、，由题意可得，，再由平行线分线段成比例定理，得到，即可求出线段的长． 【详解】解：如图，过点作五线谱的垂线，分别交第三、四条直线于点、， 由题意可知，， ， ， ， ， ， 故选：D． 5. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可； 【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意； C．，方程没有实数根，符合题意； D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 故选： C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根． 6. 如图，已知，点是边中点，且．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点是边中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则建筑物的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 、乙、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 9. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是（ ） A. ①与③ B. ①与④ C. ②与③ D. ②与④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．设小长方形的长为，宽为a．利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断． 【详解】由题意可知：小长方形的长是宽的2倍， 设小长方形的宽为a，则长为， ∴图①中的三角形三边长分别为、； 图②中的三角形三边长分别为，； 图③中的三角形三边长分别为，； 图④中的三角形三边长分别为、， ∴①和②图中三角形不相似； ∵ ∴②和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和③图中三角形不相似； ∵ ∴①和④图中三角形相似． 故选：B 10. 一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数的图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，一次函数的图象过一，三，四象限，反比例函数过一，三象限； 当时，一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数过二，四象限； 故满足题意，只有选项D； 故选D． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题满分18分，共6道小题，每小题3分） 11. 计算：___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，先化简，再合并即可． 【详解】解：； 故答案为：0． 12. 写出一个以2为根的一元二次方程：___________________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意写出一个以2为根的一元二次方程即可求解． 【详解】解：形如的一元二次方程都有一个根是2， ∴当，时，可以写出一个一元二次方程：，即， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则的值为________． 【答案】3.2 【解析】 【分析】利用推出△ADE∽△ABC，得到，代入数值，求出AE即可． 【详解】解：∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 解得AE=4.8， ∴， 故答案为：3.2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14. 如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答． 【详解】解：设正方形零件的边长为a cm，如下图． ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴. ∵AD高， ∴， ∴， 即正方形的边长为24cm． 故答案为：24． 【点睛】本题考查综合考查相似三角形判定，性质的应用，正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 15. 若点和点在反比例函数的图象上，且，则__________（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用反比例函数图象与性质比较函数值大小，对于反比例函数比较自变量或函数值大小问题，采用作图法，根据题意，作出图象即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 将点和点在反比例函数的图象上标出，如图所示： ， 故答案为：． 16. 射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）先进行乘方和乘法运算，再进行加减运算即可； （2）先化简，计算括号内，再进行除法运算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． 18. 解下列方程： （1）2x2﹣4x﹣1＝0. （2）4（x＋2）2﹣9（x﹣3）2＝0 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【分析】（1）采用配方法解一元二次方程； （2）利用平方差公式，用因式分解法解一元二次方程. 【详解】解：（1）2x2﹣4x﹣1＝0. ，； （2）4（x＋2）2﹣9（x﹣3）2＝0 或 或 或 或 ，. 【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键. 19. 有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出，两个面积分别为和的正方形木板． （1）截出的，两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示） （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】（1）， （2）剩余木板的面积为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积根式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 本题考查二次根式的应用、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题可知， 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， 解得，（负数舍去）． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题可知，阴影部分的面积为： ． 答：剩余木板（阴影部分）的面积为． 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点，，的坐标分别为，，．与是以点为位似中心的位似图形． （1）写出点坐标__________； （2）以点为位似中心，在轴左侧画出的位似图形，使相似比为2∶1． 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查位似作图，涉及图形与坐标、找位似中心、作位似图形等知识，熟记位似性质是解决问题的关键． （1）连接对应点并延长，交点就是，在平面直角坐标系中直接写出坐标即可得到答案； （2）连接点与的三个顶点并延长，使，连接三个顶点即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示： 点的坐标； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的根，求的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）的值为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根及判别式的运用， （1）把代入原方程即可求出的值； （2）由于方程有两个不相等的实数根，根据判别式即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 把代入原方程，得 ， 解得：， 若是方程的根，的值为； 【小问2详解】 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 22. 已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，请完成如下问题： （1）如图，若和均为等边三角形，线段与线段的数量关系是__________； （2）如图，若，，线段与线段的数量关系为__________； （3）如图，若，，线段与线段的数量关系为__________； （4）在（）的条件下，当，，点，，在同一直线上时，__________． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】（）由和均为等边三角形，可得，，，故，即得，从而； （）由，，可得，，故，即得，从而 ，； （）由，，可得 ，，故，有，从而； （）根据在同一直线上，可得，故 ，由（），可得． 【小问1详解】 ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为: ； 【小问3详解】 ∵，， ∴，都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 ∵在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， 由（） 知，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 23. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应定位元 【解析】 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将一次函数的图象向下平移个单位，若平移后一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求的值． 【答案】（1） （2） （3）n的值为1 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象和反比例函数图象的交点问题，一次函数图象的平移： （1）根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相同，都等于，进行求解即可； （2）图象法求出不等式的解集即可； （3）求出平移后的解析式，联立直线和双曲线的解析式，得到一元二次方程，根据两个函数图象只有一个交点，得到判别式等于0，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， 由反比例函数的性质可知，， 解得：或(舍去)， ∴， ∴． ∴反比例函数的表达式为：． 【小问2详解】 由图象可知：不等式的解集为； 【小问3详解】 解∶直线的表达式为， 将 代入，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 设将直线向下平移个单位长度得直线解析式为 ， 与反比例函数的图象只有一个公共交点， ∴整理得， ， 解得 (舍去)或，即n的值为1 ∴直线向下平移了1个单位长度． 25. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，过点Q作QM∥AB交AC于点M，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）当t为何值时，∠CPM＝90°； （2）是否存在某一时刻t，使S四边形MQCP＝？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，点P在∠CAD的角平分线上． 【答案】（1）t＝s时，∠CPM＝90°；（2）t＝3s时，S四边形MQCP＝；（3）当t＝s时，点P在∠CAD的平分线上． 【解析】 【分析】（1）首先证明QM=PC，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题． （2）根据S四边形MQCP＝，构建方程即可解决问题． （3）如图1中，作PH⊥AC于H．证明△PAD≌△PAH（AAS），推出AD=AH=8，DP=PH，设DP=PH=x，在Rt△PCH中，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°， ∴AC＝＝10， ∵∠CPM＝∠D＝90°， ∴PM∥AD， ∵QM∥AB∥CD， ∴四边形PCQM是平行四边形， ∴PC＝QM＝6﹣t， ∵＝， ∴＝， 解得t＝， ∴t＝s时，∠CPM＝90°． （2）∵S四边形MQCP＝， ∴•（6﹣t）•2t+•2t•×2t＝×6×8， 解得t＝3或﹣15（舍弃）， 答：t＝3s时，S四边形MQCP＝． （3）如图1中，作PH⊥AC于H． ∵∠D＝∠AHP＝90°，AP＝AP，∠PAD＝∠PAH， ∴△PAD≌△PAH（AAS）， ∴AD＝AH＝8，DP＝PH，设DP＝PH＝x， ∵AC＝10， ∴CH＝2， 在Rt△PCH中，∵PH2+CH2＝PC2， ∴t2+22＝（6﹣t）2， 解得t＝， 答：当t＝s时，点P在∠CAD的平分线上． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26. 如图，在矩形ABCD中，AB＝20，点E是BC边上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，此时S△GFH：S△AFH＝2：3． （1）求证：△EGC∽△GFH； （2）求AD的长； （3）求HF的值． 【答案】（1）见解析；（2）AD＝12；（3）HF＝6． 【解析】 【分析】（1）根据折叠性质得到∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°，结合矩形的性质证明△EGC∽△GFH； （2）由等高三角形的面积比等于边的比得到GH：AH＝2：3，再根据折叠性质得到AG＝AB＝GH+AH＝20，继而解题； （3）在Rt△ADG中，理由勾股定理解得DG的长，再结合折叠的性质解题． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， 由折叠对称知：∠AGE＝∠B＝90°，∠AHF＝∠D＝90°， ∴∠GHF＝∠C＝90°，∠EGC+∠HGF＝90°，∠GFH+∠HGF＝90°， ∴∠EGC＝∠GFH， ∴△EGC∽△GFH； （2）解：∵S△GFH：S△AFH＝2：3，且△GFH和△AFH等高， ∴GH：AH＝2：3， ∵将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处， ∴AG＝AB＝GH+AH＝20， ∴GH＝8，AH＝12， ∴AD＝AH＝12； （3）解：在Rt△ADG中，DG＝， 由折叠的对称性质可设DF＝FH＝x，则GF＝16﹣x， ∵HG2+HF2＝FG2， ∴82+x2＝（16﹣x）2， 解得x＝6， ∴HF＝6． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、等高三角形面积比、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$