精品解析：江苏省淮安市开明集团校2024-2025学年八年级下学期6月期末联考数学试题

2024-2025学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案涂到答题纸上． 1. 以下调查中，最适合用普查的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度 B. 了解江苏省中学生的心理健康状况 C. 了解某班级每位同学穿鞋的尺码 D. 对某批次新能源电池使用寿命检测 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据适合普查的方式一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．结合具体问题情境综合进行判断即可． 【详解】解：A、调查观众对《哪吒2》的满意度，考查范围较大，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； B、了解江苏省中学生的心理健康状况，考查范围较大，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； C、了解某班级每位同学穿鞋的尺码，考查范围较小，应采用普查，故本选项符合题意； D、对某批次新能源电池使用寿命检测，具有具有破坏性，应采用抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. “MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义，找出中心对称点是解题的关键． 中心对称是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转1后，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形就关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，根据中心对称图形的定义，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有中心对称点，不是中心对称图形，不符合题意； D、有中心对称点，是中心对称图形，符合题意； 故选：D ． 3. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间．旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落是必然事件， 十拿九稳是随机事件，但发生的可能性比较大，不符合题意； 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：C． 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键. 先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C. 5. “杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图像上的点，确定解析式，计算N时，得值，根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】设反比例函数的解析式为，根据题意，得， 解得， ∴， 当N时，， ∵时，在每个象限内，F随L的增大而减小， ∴至少需要， 故选B． 6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定，根据平行四边形、菱形、矩形的判定条件逐一分析选项，找出不正确的结论． 【详解】解：A. 当时，邻边相等的平行四边形是菱形，正确； B. 当时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确； C. 当时，有一个角为直角的平行四边形是矩形，正确； D. 当时，对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形，结论错误． 故选：D． 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 8. 如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A. B. C. D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，由菱形的性质可知：，求出，根据即可求解． 【详解】解：如图所示： 由菱形的性质可知：， ∴； ∵， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案填写在答题纸上． 9. 四条线段、、、成比例，其中，，，则_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的概念，列式计算，即可求解． 【详解】解：∵四条线段、、、成比例， ∴． ∵，，， ∴，解得：． 故答案为：． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 11. 一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为______（精确到0.01）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 【答案】0.60 【解析】 【分析】概率接近于表格中得到的频率，由此即可解决问题． 【详解】∵随着实验次数的增多，摸到白球的频率逐渐靠近常数0.60， 所以估计摸到白球的概率为0.60 故答案为：0.60 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率 12. 我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为米，则的长是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故答案为：． 13. 如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于，与相似比为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，能求出是解此题的关键． 根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出面积比，即可求出答案． 【详解】解：， ， ∵与相似比， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 15. 如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点，连接，，，若，，则的大小为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据题意得，进而可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形的对角线上 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．在线段上找一点，使与相似．若这样的点恰好有个，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题． 【详解】解：如图，延长，作点E关于的对称点，连接，交于点，连接，以为直径作交于点、，由矩形的性质可得， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∴， 当时，∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即图中的直径为，作于点G， 根据垂径定理，得， ∴， ∴此时图中所作的圆心到的距离为，等于的半径， 此时重合， 此时，即当时，符合条件的F有2个，为； 当时，不存在了，即此时符合条件的F只有个，为， 当时，且时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 整理，得， 解得； 当时， ∴， 设， ∵， ，， ∴， ∴， 解得， 故时，符合题意的点F有两个， 故当且点恰好有个， 故答案为：且． 三、解答题：本大题共11小题，共102分． 请将解答过程填写在答题纸上． 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键． （1）先计算零指数幂，再根据二次根式的性质化简为最简二次根式，再合并即可； （2）根据二次根式的乘除法则运算，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法是解题的关键． （1）利用公式法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 ， 解：，，， ， ∴ 解得：， 【小问2详解】 ， 解：， ， 或 ，； 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为． （2）在线段上确定一点，使，请画出点并直接写出点的坐标 ． 【答案】（1） 如图所示， （2） 【解析】 【分析】本题考查作位似图形，相似三角形的性质与判定，一次函数的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1），根据对应点到位似中心的比等于位似比直接作图即可得到答案； （2）根据，连接点， 交于点，则点即为所求，然后根据两直线解析式求得的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵三个顶点的坐标分别是，，，以点O为位似中心，与的相似比为，且在轴左侧， ∴，，； 【小问2详解】 解：如图，连接点， 交于点，则点即为所求； 设过的直线解析式为 ∴ 解得： ∴ 设直线的解析式为代入， ∴ 解得： ∴ 联立 解得： ∴ 故答案为：． 20. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：． 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是 人，D组对应扇形的圆心角为 °． （2）补全条形统计图． （3）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约为 人． （4）根据上述调查情况，说说你对“青少年在校体育活动时间”的想法，并提出一条可行性的建议． 【答案】（1）400，36 （2） 统计图如图， （3）大约为24000人 （4）该校学生在校体育活动时间达到国家标准的人数的比例较小，只占30%，应该重视在校体育活动时间，按时按量参加体育课，并利用大课间的时间进行有关的体育锻炼 【解析】 【分析】本题主要考查统计图形的应用，最关键的是得出抽查人数，只需要看两个统计图里都已知的量即可． （1）根据组的人数和百分比即可求出总人数，先算出组所占的百分比，再求出对应的圆心角； （2）根据总人数求得组的人数，进而补全统计图，即可求解； （3）根据样本达到国家规定体育活动时间的学生人数的百分比即可估算出达到国家规定体育活动时间的学生人数； （4）根据统计图合理建议即可． 【小问1详解】 解：组有40人，占， 总人数为（人）， 组所占的百分比为， 组所对的圆心角为， 故答案为：400，； 【小问2详解】 解：组人数为：（人） 【小问3详解】 解：达到国家标准人数所占的百分比为， （人） 全市达到国家标准的人数大约为24000人． 故答案为：24000． 【小问4详解】 略 21. 在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ， ， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定．根据平行四边形的性质可得，，即，再利用等量代换可得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】略 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，方程的两个根是，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，当时，， ∴． 23. 如图，在中，，沿折叠，使得点C落在斜边上的点E处． （1）求证：； （2）已知，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：∵，沿折叠， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理，相似三角形的判定等知识． （1）由折叠的性质可知，因为证明三角形相似即可； （2）由折叠的性质知．在中运用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图像与反比例函数图像交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为4． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式． （2）根据求得，进而即可求得D的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴将代入，得， ∴. 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 由可知， ∵， ∴， ∴或． 25. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是 任务2：应该降价元 【解析】 【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是， 根据题意得：， 解得：， (不符合题意，舍去)． 答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)． 答：应该降价元． 26. 如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点不与、重合，过点作交于点．设，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 【答案】（1） （2） 函数图象如下所示： 随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先利用勾股定理得到，再证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由函数图象可知， 随x增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，． 27. 【提出问题】 如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，取的中点，连接，．当点，分别在边，上时，线段和的数量关系是 ． 【类比探究】 已知等边，等腰且，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，如图，连接，点为线段的中点，连接、，探索与的数量关系． （1）通过特例可以猜想一般结论．请你在备用图上画出一个符合条件的特殊图形，猜想： ； （2）在一般情形下，请利用图2验证你的猜想． 【迁移应用】 如图3，等腰中，，，，等腰中，，，点为线段的中点，则 ．(请用含有，的式子表示) 【答案】[提出问题] ，[类比探究]（1）；（2）；[迁移应用] 【解析】 【分析】[提出问题]根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； [类比探究]（1）根据题意画出特殊图形，结合等边三角形的性质，勾股定理，即可求解； （2）连接，延长至，使得，连接，得出是等边三角形，证明，进而得出是的中位线则，；设，导角得出，取的中点，连接，证明，在中，勾股定理即可求解． [迁移应用] 如图，连接，延长至，使得，连接，同理可得是的中位线则， 证明，，进而得，同理得出，过点作，则，证明，进而在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】[提出问题] 解：∵，点 F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． [类比探究] （1）如图，猜想： （2）如图，连接，延长至，使得，连接， ∵等腰且，绕点顺时针旋转一定角度后得到， ∴等腰且， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵等边，则 ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ 设 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 取的中点，连接 ∴， ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ [迁移应用]如图，连接，延长至，使得，连接， 同理可得是的中位线则， ∵等腰中，， ∴ ∴ ∵等腰且 ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴，， ∴ ∴即 又∵， ∴ ∴ 设 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 在上取一点，使得， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 即是的中点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 过点作，则， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试 初二数学试卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案涂到答题纸上． 1. 以下调查中，最适合用普查的是（ ） A. 调查观众对《哪吒2》的满意度 B. 了解江苏省中学生的心理健康状况 C. 了解某班级每位同学穿鞋的尺码 D. 对某批次新能源电池使用寿命检测 2. “MATH”是“数学”的英文，其中是中心对称的字母是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（ ） A. 旭日东升 B. 瓜熟蒂落 C. 大海捞针 D. 十拿九稳 4. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. “杠杆原理”在实际生产和生活中有着广泛的运用，即：阻力阻力臂动力动力臂．其中阻力和阻力臂的反比例函数图像如图．在同一杠杆中若想使动力不超过，则动力臂至少需要（ ） A. B. C. D. 6. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是菱形 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 8. 如图，在菱形中，于点E，则的长为（　　） A. B. C. D. 48 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 请将答案填写在答题纸上． 9. 四条线段、、、成比例，其中，，，则_____ ． 10. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 11. 一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个（除颜色外其它均相同），小明将盒子里的球搅匀后，从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：请估计摸到白球的概率为______（精确到0.01）． 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 12. 我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为米，则的长是_____米． 13. 如图，三角形中，、分别为边、上的一点，且平行于，与相似比为，则_____． 14. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 15. 如图，在正方形的对角线上取点，是边上一点，连接，，，若，，则的大小为 ________ ． 16. 如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．在线段上找一点，使与相似．若这样的点恰好有个，则的取值范围是______． 三、解答题：本大题共11小题，共102分． 请将解答过程填写在答题纸上． 17. 计算： （1）； （2）； 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为． （2）在线段上确定一点，使，请画出点并直接写出点的坐标 ． 20. 国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”．为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生，根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：A组：，B组：，C组：，D组：． 请根据上述信息解答下列问题： （1）本次调查的人数是 人，D组对应扇形的圆心角为 °． （2）补全条形统计图． （3）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约为 人． （4）根据上述调查情况，说说你对“青少年在校体育活动时间”的想法，并提出一条可行性的建议． 21. 在平行四边形中，，求证：四边形是平行四边形． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，方程的两个根是，，求的值． 23. 如图，在中，，沿折叠，使得点C落在斜边上的点E处． （1）求证：； （2）已知，求线段的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图像与反比例函数图像交于，两点，与轴交于点，已知点，点的横坐标为4． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点是轴上一点，且，求点坐标． 25. 根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”． 素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯； 素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯． 问题解决 任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？ 26. 如图，在矩形中，连接．，，点为线段上一动点不与、重合，过点作交于点．设，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图像，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 27. 【提出问题】 如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，取的中点，连接，．当点，分别在边，上时，线段和的数量关系是 ． 【类比探究】 已知等边，等腰且，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，如图，连接，点为线段的中点，连接、，探索与的数量关系． （1）通过特例可以猜想一般结论．请你在备用图上画出一个符合条件的特殊图形，猜想： ； （2）在一般情形下，请利用图2验证你的猜想． 【迁移应用】 如图3，等腰中，，，，等腰中，，，点为线段的中点，则 ．(请用含有，的式子表示) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $