精品解析：安徽省智学联考2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得. 【详解】因为，所以． 故选：D 2. 某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45%分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据极差、百分位数、平均数以及众数的含义逐一判断即可. 【详解】不妨设原始数据为：， 原始数据的极差为：，平均数为，众数为， 去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：， 剩下数据的极差为：，平均数为，众数为和3， 由此可知，与原始数据相比，剩下数据的极差，平均数，众数可能发生改变，故A，C，D错误， 对于B项，假设这7个数据从小到大为， 去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：， 因为，， 所以原始数据的分位数为第四个数，即，剩下的数据的分位数为第3个数，即 所以与原始数据相比，剩下数据的分位数不变，故B正确； 故选：B． 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行得到方程，求出，利用向量坐标运算法则进行计算即可. 【详解】，．． ． 故选：A． 4. 若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，由线面垂直的性质可得A正确；B选项，由线面平行得到面面平行，进而由线面垂直得到面面垂直，推出B正确；C选项，先得到，又，则；D选项，可举出反例. 【详解】A：若，，则，故A正确； B：，存在平面，使得且， 因为，所以，故，故B正确； C：若，，则，又，则，故C正确； D：若，，则或与异面或与相交，故D错误 故选：D． 5. 在，点为线段的中点，点在线段上，且，若（、为实数）.则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得,得出、的值，得到答案. 【详解】由已知，， 所以． 故选：B． 6. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出圆锥的半径母线和高，根据侧面积与底面积的比找到母线和半径的关系，再找到高和半径的关系最后根据体积值求出半径再利用表面积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为， 因为其侧面积与底面积的比为， ，即， 由圆锥的基础知识可知：，所以， 又因为圆锥的体积为，所以，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：D 7. 在一组样本数据中，0，1，2，3出现的频数分别为，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出各个选项的标准差，判断大小即可得解. 【详解】A项，平均数为， 标准差为； 同理B项，平均数为1.5，标准差为； C项，平均数为1.5，标准差为； D项，平均数为1.5，标准差为． 故选：C． 8. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D. 若成立，则事件，，一定两两独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A；结合乘法公式可判断BC；举例判断D. 【详解】对于A：根据互斥事件与对立事件的定义可知A正确； 对于B：当，且时，, 事件，不相互独立，所以事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故B正确； 对于C：由相互独立的定义可知，故C正确； 对于D：假设一个正八面体，八个面分别标以数字1到8， 任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字， 得到样本空间为．事件，事件，事件． 显然，事件，显然， 满足， 而此时，而，， 不能推出，相互独立，故D错误； 故选：ABC． 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B，利用正弦定理求，结合内角和公式求，根据三角形面积公式求则的面积判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确； 选项B：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，， 又因为在单调递增，所以，B正确； 选项C：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或， 若，则，的面积， 若，则，的面积，C错误； 选项D：如图所示， 若有两解，则， 所以，故，D正确； 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为3，，，分别为棱，，上的点，且，，，若点为正方体内部（含边界）点，满足：（为实数），则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为菱形及其内部 B. 当，时，的长度为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，作出辅助线，证明四边形是菱形，由平面向量基本定理可知，在菱形内，A正确；B选项，表达出，两边平方，结合向量数量积运算法则计算出答案；C选项，的轨迹长度为线段的长，从而求出轨迹长；D选项，的最小值即为点到平面的距离，利用等体积法进行求解. 【详解】对于A，取上一点，使得，连接，，， 易证四边形和四边形是平行四边形，所以，， 所以四边形是平行四边形，又， 所以四边形是菱形， 因为，且点为正方体内部（含边界）点， 由平面向量基本定理可知，所以在菱形内，A正确； 对于B，由于两两垂直，故， ， 故， 所以．B正确； 对于C，当时，， 所以，即， 在线段上，的轨迹长度为线段的长， 其中，C正确； 对于D，由知，在菱形内， 显然在这个平面的投影能落在菱形内， 所以的最小值即为点到平面的距离，即到平面的距离， 其中，点到平面的距离为3， 故， 设到平面的距离为，其中，， 故等腰三角形底边上的高为， 等腰三角形的面积为， ，故，解得，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，分别表示复数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义结合向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】因为，又向量，分别表示复数，， 所以表示复数， 所以． 故答案为：． 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 14. 在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理可得为正三角形，再取中点，利用数量积的运算律求出最大值. 【详解】依题意，，，则，由，得，， 又，则，为正三角形，取中点，连接， 由正弦定理得，， ，当且仅当点在线段上，即点与重合时取等号， ， 所以当点与重合时，取得最大值2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： （1）∥平面； （2）平面平面． 【答案】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2） 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访， （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率． 【答案】（1），平均数为50 （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由各个矩形面积之和为1即可列方程求解，根据平均数的计算公式可得平均数； （2）应在组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为，，，，（i）直接两两进行组合即可；（ii）由古典概型概率计算公式以及对立事件概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，，解得， 样本数据的平均数为； 【小问2详解】 与两组的频率之比为1：2， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为，，，， （i）所有可能的情况为，，，，，，， ，，，，，，，，共15种， （ii）事件发生的概率． 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，． （1）当时，求点到平面的距离； （2）若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的正弦值为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，把直线到平面的距离转化成点到平面的距离，过点作于点，通过证明平面，把点到平面的距离转化成线段的长； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，根据平面的法向量与平面的法向量夹角的余弦值为，列出方程，求出的值，即可得到的坐标，进而求出的长. 【小问1详解】 平面，平面，． 又，，，平面， 平面，平面，． 又是圆柱的底面直径，则，，平面． 又平面，平面，平面． 点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作于点， 平面，平面， ，，平面，平面． 平面，就是直线在平面内的射影， 就是直线与平面所成的角，， ，，，． 点到平面的距离为． 【小问2详解】 由已知，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴， 过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由，得，，，． ，，， 设，， ，． 设平面的一个法向量为， 则．即，令，则，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令．则，． 平面与平面夹角的正弦值为， 平面与平面夹角的余弦值为． ， 整理得，解得或（舍）． ，． 18. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为． （1）已知， （i）若为的垂心，．求的值； （ii）为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立? 【答案】（1）（i）；（ii） （2）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（i）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理求得，再结合即可求解；（ii）由及数量积模的运算求得，根据正弦定理结合三角恒等变换得，将代入求值即可. （2）由，结合数量积可得，再运用数量积定义可分别求出、、，代入整理即可. 【小问1详解】 （i）由， 结合正弦定理角化边可得：， 所以， 由为三角形内角， 所以， 又为的垂心，所以， 所以， 所以； （ii）因为，由（i）可知， 由M为的重心，得， 则， 在中，由正弦定理，得， 由，得平分，又， 所以 . 【小问2详解】 直线与的边相交于点，如图， 由，得，即， 又， ， ， 因此， 所以. 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点0，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点为线段上一动点，． （1）求的长； （2）若为上一点，且满足，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，异面直线所成角的求法，即可求解； （2）根据三垂线定理作二面角，再解三角形，即可求解； （3）根据面面垂直的性质定理，新定义，向量共线，即可求解. 【小问1详解】 因为底面为矩形，底面， 所以，，又底面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以为直线与所成的角，即， 设，则，， 在中， 又，所以，解得（负值已舍去），所以． 【小问2详解】 依题意，，又， 所以，，又，所以， 又，平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以． 【小问3详解】 由（2）知， 建立以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向的空间直角坐标系， 则，令，，可得， 又，得，从而有， 所以，得， 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 某项比赛共有7个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45%分位数 C. 平均数 D. 众数 3. 已知，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 在，点为线段的中点，点在线段上，且，若（、为实数）.则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在一组样本数据中，0，1，2，3出现的频数分别为，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 , ，若 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是样本空间中三个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是（ ） A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 B. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立 C. 若成立，则事件与相互独立 D. 若成立，则事件，，一定两两独立 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 已知正方体的棱长为3，，，分别为棱，，上的点，且，，，若点为正方体内部（含边界）点，满足：（为实数），则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为菱形及其内部 B. 当，时，的长度为 C. 当时，点的轨迹长度为 D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，分别表示复数，，则_____． 13. 在平行六面体中，，，M为的中点，则______. 14. 在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： （1）∥平面； （2）平面平面． 16. AI正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“AI情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数； （2）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，分别用，，，，，来表示，再从这6人中随机抽取2人进行电话采访， （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设为事件“抽取的2人中至多有1人的年龄在这一组”，求事件发生的概率． 17. 如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，． （1）当时，求点到平面的距离； （2）若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的正弦值为，求的长． 18. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为． （1）已知， （i）若为的垂心，．求的值； （ii）为的重心，，，求； （2）请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立? 19. 已知两个非零向量，，在空间任取一点0，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点为线段上一动点，． （1）求的长； （2）若为上一点，且满足，求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $