精品解析：天津市河东区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025 学年第二学期八年级期末质量检测 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1 B. 2 C. 6，7，8 D. 1，3，3 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而增大 B. 函数的图象不经过第二象限 C. 函数的图象与轴的交点坐标是 D. 函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1 6. 在平面直角坐标系中，点在同一条直线上，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 3.5 7. 若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值小 D. 关于，的方程组的解是 12. 如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果是_______． 14. 将直线y＝2x＋1向下平移4个单位后的直线解析式为_________． 15. 某中学为了选拔一名运动员参加区运会短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们短跑的平均成绩和方差如下表所示如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派___________去． 甲 乙 丙 12.85秒 12.85秒 12.87秒 2.1 1.1 1.1 16. 已知函数．当时，的取值范围是___________ 17. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_________． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小格的长度是单位的顶点都是格点： （I）求线段___________； （II）设是与网格线的交点，请你仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图：找出点关于对称点，再在上画点，使得．简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ______________ 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1） （2） 20. 如图，有一块三角形菜园，其中，，． （1）证明； （2）现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少平方米？ 21. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数． （3）若全校有名学生，我们把参加个以上（包含个）活动学生称为“积极学生”，则全校“积极学生”有多少人？ 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，F是的中点，于点E，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 23. 某公司科研人员对新型智能机器人进行测试，三个测试点甲、乙、丙三个地方依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 机器人离开测试点甲时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 （2）当时，请直接写出机器人离测试点甲的距离关于时间的函数解析式；并写出相应的的取值范围； （3）当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同，第二个智能机器人以这个速度直接到达丙地，途中与第一个机器人相遇，求两个机器人相遇时与甲地的距离是多少（直接写出结果即可）？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． （1）求直线解析式及点的坐标； （2）如图2，将图1中的沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，设点，问：直线上是否存在点，使得以点、、为顶点，以线段为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，为直线上一动点，且点在点的上方，、为轴上动点，在右侧且 ①当时，求出点坐标________； ②在①的条件下，连和，此时最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025 学年第二学期八年级期末质量检测 数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，且分母不含根号，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、，不最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1 B. 2 C. 6，7，8 D. 1，3，3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，若三角形三边长满足最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可． 【详解】解：A、，故能构成直角三角形，符合题意； B、，故不能构成直角三角形，不符合题意； C、，故不能构成直角三角形，不符合题意； D、，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行四边形对边平行，对角相等是解题关键．利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：B． 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 函数值随自变量的增大而增大 B. 函数的图象不经过第二象限 C. 函数的图象与轴的交点坐标是 D. 函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数性质可判断A、B选项；令，求得，可判断C选项；求解，则，再计算面积可判断D选项，进而可求解． 【详解】解：对于一次函数，，， A、函数值随自变量的增大而增大，此选项结论正确，不符合题意； B、该函数图象经过第一、三、四象限，即不经过第二象限，此选项结论正确，不符合题意； C、令，由得， 则函数的图象与x轴的交点坐标是，此选项结论错误，符合题意； D、令，则， ∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为，此选项结论正确，不符合题意， 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点在同一条直线上，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和待定系数法求一次函数，先根据点和点求出一次函数的解析式，再把点的横坐标代入函数解析式即可求出结果； 【详解】解：设直线的解析式为：， 把代入解析式可得：； 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点将代入解析式，得 故答案为：B. 7. 若点，都在直线上，则下列大小关系成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由k＝﹣1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合﹣1＜0＜2，即可得出y1＞b＞y2． 【详解】解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点M（﹣1，y1），N（2，y2）都在直线y＝﹣x+b上，且﹣1＜0＜2， ∴y1＞b＞y2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线分别交于两点．若，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及含角直角三角形、勾股定理，解决问题的关键是掌握∶矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据勾股定理求得的长，同理可得的长，即可得到的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，． ， 是等边三角形． ，． ． ， ． ． ， ，解得． 同理可得． ． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接、则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图；线段垂直平分线的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据菱形的性质得到，由等边对等角和三角形的内角和定理求出的度数，根据作图得到在的中垂线上，得到，等边对等角，得到的度数，利用角的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由作图可知点E在线段的垂直平分线上， ∴， ， ． 故选：C． 11. 如图所示，一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点，下列判断错误的是（ ） A. 关于的方程的解是 B. 关于的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值小 D. 关于，的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点， ∴关于的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； ∵由图可知，直线在直线上方时，都在点的左侧， ∴关于的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； ∵当x＜0时，直线在直线上方， ∴当x＜0时，函数的值比函数的值小，选项C判断正确，不符合题意； ∵一次函数（是常数，）与一次函数（是常数）的图象相交于点， ∴关于，方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 12. 如图，矩形纸片，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为；③当时，．④当点运动到与重合时，的面积为，其中结论正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，直角三角形的性质，正方形的证明，全等三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．当时，根据折叠的性质得到，，可判断①结论；当时，过点作于点，根据折叠的性质和含30度角的直角三角形求解，可判断②结论；当时，根据折叠的性质，得出、、三点共线，设，再利用勾股定理求解，可判断③结论；当点运动到与重合时，过点作于点，与交于点，根据折叠的性质，证明，设，利用勾股定理和三角形面积公式求解，可判断④结论． 【详解】解：矩形纸片， ，，， 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ，此时点在上， ， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形，①结论正确； 当时，如图，过点作于点， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， 的面积，②结论错误； 当时，如图， 由折叠的性质可知，，，， ， 、、三点共线， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即，③结论正确； 当点运动到与重合时，如图，过点作于点，与交于点， 由折叠的性质可知，，， ，， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， 的面积，④结论正确， 结论正确的有个， 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用平方差公式计算． 【详解】解： =（）2-22 =11-4 =7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 14. 将直线y＝2x＋1向下平移4个单位后的直线解析式为_________． 【答案】y＝2x－3 【解析】 【分析】根据上加下减的法则可得出平移后的函数解析式． 【详解】解：将直线y＝2x＋1向下平移4个单位， 得到的直线解析式为：y＝2x＋1−4，即y＝2x−3． 故答案为：y＝2x−3． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换的知识，难度不大，掌握上加下减的法则是关键． 15. 某中学为了选拔一名运动员参加区运会短跑比赛，有甲、乙、丙3名运动员备选，他们短跑的平均成绩和方差如下表所示如果要选择一名成绩优秀且稳定的人去参赛，应派___________去． 甲 乙 丙 12.85秒 12.85秒 12.87秒 2.1 1.1 1.1 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了用平均数和方差做决策，解决问题的关键是熟练比较平均数选出平均数最小的，比较方差选出方差最小的．综合比较平均成绩和方差，甲和乙的平均成绩较好，均为12.85秒，乙和丙方差较小，均为1.1，说明乙的成绩优秀且稳定． 【详解】解：∵12.85秒12.87秒， ∴甲，乙的平均成绩较好， ∵， ∴乙的成绩稳定， ∴应派乙去参赛． 故答案为：乙． 16. 已知函数．当时，的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性，先根据解析式可得y随x增大而减小，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， 故答案为：． 17. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长． 【详解】解：如图：分别连接AC、CH、CF，CF交HE于点O， ∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线， ∴∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 又∵H是AF的中点， ∴CH＝HF， ∵EC＝EF， ∴点H和点E都在线段CF的中垂线上， ∴HE是CF的中垂线， ∴点H和点O是线段AF和CF的中点， ∴OH＝AC， 在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3， ∴AC＝， ∴CF＝3， 又OE是等腰直角△CEF斜边上的高， ∴OE＝， ∴HE＝HO＋OE＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，难度较大． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小格的长度是单位的顶点都是格点： （I）求线段___________； （II）设是与网格线的交点，请你仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列作图：找出点关于对称点，再在上画点，使得．简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ______________ 【答案】 ①. ②. 取格点，连接分别交格线于，连接交于F，点E和点F即为所求； 【解析】 【分析】（I）直接利用勾股定理计算即可； （II）取格点，连接分别交格线于，连接交于F，点E和点F即为所求； 【详解】解：（I）由勾股定理可得：． 故答案为：； （II）取格点，连接分别交格线于，连接交于F， 如图，点E和点F即所求； 理由如下：由作图可得：，，， ∴， ∴关于对称， 结合网格特点可得：关于对称； 由网格特点可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由对称的性质可得：， ∴， ∴. 故答案为：取格点，连接分别交格线于，连接交于F，点E和点F即为所求 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练的画图是解本题的关键. 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法，再计算加减即可得解； （2）先利用完全平方公式以及平方差公式进行计算，再计算加减即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，有一块三角形菜园，其中，，． （1）证明； （2）现要扩大菜园，在边的延长上找一点，使边的长为，求菜园的面积扩大了多少平方米？ 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）利用勾股定理先求解，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 证明：，，， ， 是直角三角形 ， . 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， 菜园扩大的面积为． 答：菜园的面积扩大了24平方米. 21. 在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，图①中的值为________； （2）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数． （3）若全校有名学生，我们把参加个以上（包含个）活动的学生称为“积极学生”，则全校“积极学生”有多少人？ 【答案】（1）； （2）平均数是，众数是，中位数是 （3）人 【解析】 【分析】本题考查数据的收集、处理、分析和统计，解题的关键是掌握平均数，众数，中位数的定义，即可． （1）根据条形统计图和扇形统计图，即可求出总人数； （2）根据平均数，众数，中位数的定义，即可； （3）根据样本估计总体，即可． 【小问1详解】 由题意得，参加两项的学生人数是人，占总人数的， ∴总人数为：（人）； ∵参加项的学生人数是人， ∴占比为：； 故答案为：；． 【小问2详解】 平均数为：； ∵在这组数据中，出现了次，出现了次，出现了次，出现了次， ∴众数为：； ∵将该组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数为， ∴， ∴中位数为：． 【小问3详解】 ∵参加个以上（包含个）活动的“积极学生”有人， ∴全校有名学生中，全校“积极学生”为（人）． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，F是的中点，于点E，于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）96． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定，菱形面积公式，中位线定理，直角三角形斜边中线性质等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）通过菱形的性质得点O是的中点，结合题意，根据三角形中位线定理得，再根据得即可； （2）根据菱形性质得，再结合题意，根据直角三角形斜边中线性质和勾股定理，得到、的长，根据菱形面积为对角线乘积一半即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， 点O是的中点， F是的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又 平行四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是菱形， ， F是的中点， 在中，，， ， ， ． 23. 某公司科研人员对新型智能机器人进行测试，三个测试点甲、乙、丙三个地方依次分布在一条直线上，测试点乙距离甲处，测试点丙距离甲处．一款新型智能机器人某段时间内一直在甲，乙，丙三个测试点之间活动，从甲处匀速走到乙处，停留一段时间后继续匀速走到丙处，停留后，从丙处匀速返回甲处．该款新型智能机器人在这段时间内离测试点甲的距离随离开测试点甲的时间变化关系图象如下． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 机器人离开测试点甲的时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 （2）当时，请直接写出机器人离测试点甲的距离关于时间的函数解析式；并写出相应的的取值范围； （3）当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同，第二个智能机器人以这个速度直接到达丙地，途中与第一个机器人相遇，求两个机器人相遇时与甲地的距离是多少（直接写出结果即可）？ 【答案】（1）75，220，320 （2） （3）两机器人相遇时离甲地120米或300米 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的应用； （1）分别求解机器人在不同阶段的速度，再计算距离即可； （2）当时，结合（1）可得：，当时，，当时，速度为每秒米，进一步写出解析式即可； （3）求解，（） 当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：， ∴当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， ∵， ∴当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， 结合题意可得：当时，机器人离测试点甲的距离为（米）， 填表如下： 机器人离开测试点甲的时间 5 10 19 32 机器人离测试点甲的距离 120 【小问2详解】解：当时，结合（1）可得：， 当时，， 当时，速度为每秒米， ∴， 综上： 【小问3详解】 解：∵当第一个智能机器人离开甲地时，第二个智能机器人也从甲地出发，速度与第一个机器人离开甲地时的速度相同， ∴，（） 当时， ， 解得：， 此时与甲地的距离为（米）， 当时， ∴， 解得：， 此时与甲地的距离为（米）， 综上：两机器人相遇时离甲地120米或300米. 24. 如图1，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线：交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图2，将图1中的沿着射线方向平移，平移后、、三点分别对应、、三点，设点，问：直线上是否存在点，使得以点、、为顶点，以线段为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图3，在（1）的条件下，为直线上一动点，且点在点的上方，、为轴上动点，在右侧且 ①当时，求出点坐标________； ②在①的条件下，连和，此时最小值为________． 【答案】（1）， （2）存，或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，然后将直线和直线联立，即可求得点； （2）分成当和时，分类讨论即可； （3）①不妨设， 那么，，利用，可求得答案；②将点往右平移一个单位得到，连接，，先证明四边形是平行四边形，得到，，当取得最小值时，最小，过点作关于轴的对称点，连接，， 由，推出当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时最小值为，然后利用两点距离公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交于点，，， ，， 设直线的解析式为，代入点，， 得到， ，， 直线的解析式为， 联立，解得， ； 【小问2详解】 解：存在，或，理由如下： 当时，依题意，如图所示： 由，得， ， 解得， ； 当时，依题意，如图所示： 由，得，当代入，得到， ， ， 解得， ； 综上： 或； 【小问3详解】 解：①不妨设， 由（1）可知，，， ，， ， ， ； 故答案为：； ②将点往右平移一个单位得到，连接，，如图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当取得最小值时，最小， 过点作关于轴的对称点，连接，，如图所示： 根据对称，可知，， ， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时最小值为， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$