精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一期末考试 数学科试卷 （命题人： 考试时间：120分钟 总分150分） 班级：______ 姓名：______考场号：______座位号：______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：人教A版2019必修第二册． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 2. 复数，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 下列几何体中，不是旋转体的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ） A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 7. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A. E与H是互斥事件 B. F与I是互斥事件，且是对立事件 C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D. 已知向量，若，则 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱锥的体积为 B. 一定存在点，使平面 C. 一定存在点，使平面 D. 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 13. 以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56、70、72、78、79、80、81、83、84、85、88、90、91、94、98，则这15人成绩的第60百分位数是________． 14. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若点为的中点，且，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 17. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的x的值： （2）估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） （3）若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 19. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5． （1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； （2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签． 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜． 小明同学决定先玩游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高一期末考试 数学科试卷 （命题人： 考试时间：120分钟 总分150分） 班级：______ 姓名：______考场号：______座位号：______ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．测试范围：人教A版2019必修第二册． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据2，8，14，16，20的平均数为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的计算公式即可求解. 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 2. 复数，则复数的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的概念即得． 【详解】复数的虚部即． 故选：A． 3. 下列几何体中，不是旋转体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转体的概念即可判断. 【详解】由旋转体的概念可知，选项ACD为旋转体，选项B不算旋转体. 故选：B. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 5. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 6. 如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ） A. MN∥PD B. MN∥PA C. MN∥AD D. 以上均有可能 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用线面平行的性质分析解答. 【详解】∵MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA， ∴MN∥PA. 故选：B 7. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故选：C． 8. 如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用线性运算求得，然后求得，最后利用共线定理的推论列式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 因为P、B、N三点共线，所以，解得. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ） A. E与H是互斥事件 B. F与I是互斥事件，且是对立事件 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D. 已知向量，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D. 【详解】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，点为线段上的动点（不包括端点），则下列结论正确的是（ ） A. 该四棱锥的体积为 B. 一定存在点，使平面 C. 一定存在点，使平面 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用锥体体积公式判断A，利用线面平行的性质定理可判断B，利用线线垂直可证明线面垂直可判断C，利用侧面展开图来计算长度可判断D. 【详解】由题意得：四棱锥的体积为，故A正确； 假设平面，则过点作的平行线，交于点，连接， 由于平面平面，所以， 又因为所以，从而可得四边形是平行四边行， 即，又因为，所以， 由于点为线段上的动点，则与点重合， 而点为线段上的动点（不包括端点），则假设不成立，故B错误； 根据底面，底面是边长为1的正方形， 可知直角三角形与直角三角形全等， 若，则必有，由平面， 所以必有平面，故C正确； 根据底面，底面是边长为1的正方形， 可知直角三角形与直角三角形全等，且， 则， 然后把直角三角形与直角三角形展开成一个平面，则如下图 所以有， 即的最小值为，故D错误； 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 13. 以下数据为参加某次数学竞赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次是：56、70、72、78、79、80、81、83、84、85、88、90、91、94、98，则这15人成绩的第60百分位数是________． 【答案】84.5 【解析】 【分析】根据百分位数的计算即可求解． 【详解】因为，故这15人成绩的第60百分位数为， 故答案为：84.5． 14. 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为_______m. 【答案】 【解析】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15. 已知中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若点为的中点，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由余弦定理求出； （2）在中，，，由余弦定理列出方程，求出，得到，利用三角形面积公式求出答案. 【小问1详解】 设， 则由余弦定理得； 【小问2详解】 在中，，，， 由余弦定理得， 即，解得， 又， 故，. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）设，则是中点，连接， 又∵是中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）设，得，再由线面平行的判定定理得证线面平行； （2）证明是二面角的平面角，然后计算出其正切值即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，∴， 平面，平面， ∴，同理， ，平面， ∴平面，而平面，故， ∴是二面角的平面角， 在直角中，，， ， ∴二面角的正切值为． 17. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 18. 某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照，，，，分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的x的值： （2）估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表） （3）若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在内的至少有2人被抽到的概率. 【答案】（1）0.03 （2）平均数为74；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可解； （2）将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数；根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数的值； （3）分析可知后三组中所抽取的人数分别为3,2,1，将这人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由直方图可得，解得； 【小问2详解】 平均数； 由图可得前两组的频率为0.4，前三组为0.7，所以中位数在之间，设为， 则，解得； 【小问3详解】 易得后三组学生人数分别为30,20,10，所以抽取人数分别3,2,1， 记成绩在这组的3名学生分别为，成绩在这组的2名学生分别为，成绩在这组的1名学生为， 则从中任抽取3人的所有可能结果为、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20种， 其中至少有2人被抽到包含10种结果，故所求概率为. 19. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5． （1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； （2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签． 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜． 小明同学决定先玩游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】（1）， （2）5，6，7 【解析】 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到概率，结合（1），由此得解. 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以，所以. 【小问2详解】 设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以． 同理，． 因为，所以，解得． 综合（1）知，对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $