江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025~2026学年第二学期期末考试 高一数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年6月 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知向量a=(m,1),b=(1,2),若a/b,则m的值为() C.- 1 A.-1 B.1 D. 2 2.(1-3i)2=() A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 3在1C中，卫知4沿B=吾AC=2,则4B边的长为（) A.2W2 B.2 C. D.1 4.甲、乙两名同学做同一道数学题（甲乙做对与否互不影响），甲做对的概率为0.7，乙做对 的概率为0.8，下列说法错误的是() A.两人都做对的概率是0.56 B.恰好有一人做对的概率是0.38 C.两人都做错的概率是0.16 D.至少有一人做对的概率是0.94 5.若一组数据5,1，a,6,1,7,4,5的第75百分位数是6，则a=() A.3 B.4 C.6 D.7 6.已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为() B. C.√2元 D.√元 7.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1,2,3,4，连续抛掷这个正四 面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数 字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列结论正确的是() 1 A.P(A)= B.事件A与事件B互斥 4 C.事件A与事件B相互独立 D.P(AUB)= 1 8.如图，在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱BC,CC1的中点，点P在正方形 ABBA内，若AB=2,AP∥平面AEF,则C,P的最小值是() D A.2V30 B.4V30 B 5 9 c.5 D. 6W5 5 D 试卷第1页共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正方体ABCD-AB,CD,则() A.BC1与AD所成的角为30 B.BC,与DC是异面直线 C.BC1⊥BD D.直线BC1与平面BB,DD所成的角为45 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3c·cosA,a=4,则下列说法 正确的是() A.tanA=2tanC B.b2=3ad2-c2） C.a>2c D.△ABC面积的最大值为6 11.己知平面向量ab,c满足|d==1,a1(a-2b),(c-2a(c-b)=0,则的可 能值为() A.1 B.2 c.+5 D.√6 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在正四棱台ABCD-AB,CD中，AB=4,AB=2,A4=√5，则该棱台的体积为 ,玉，5飞的平均数为3，方差为)，在此基础上加入新数据8，则x,玉 的平均数为 一，方差为 14.已知直四棱柱ABCD-AB,C,D的棱长均为2，∠BAD=60,以A1为球心，√5为半径 的球面与侧面BCC,B,的交线长为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.某校为了提高学生的反诈骗意识，举办了反诈骗知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图 (1)求频率分布直方图中a的值 (2)估计所抽取的100份成绩的平均数与中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)； (3)用分层抽样的方法从[70,80)和[90,100]两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随 机抽取2名学生进行交流分享，求这2名进行交流 频率/组距 分享的学生成绩均在区间70,80)的概率： 0.025 0.020 0.010 0.005 AA 0405060708090100成绩/分 试卷第2页共4页 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，己知底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD, PA=AB,E,F,G分别为线段AD,BC,PB的中点 (I)求证：AG⊥平面PBC: (2)求证：PE∥平面AFG. G 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,C,b=a+1,c=a+2 (1)若4 sin Asin C=3-3cos2A,求cosC: (2)若△ABC为钝角三角形，且a为正整数，求△ABC的面积 18.如图，直三棱柱ABC-AB,C1的体积为4，△ABC的面积为2√2. C B B (1)求A到平面ABC的距离： (2)设D为AC的中点，A4=AB,平面ABC⊥平面ABBA (i)求证：BC⊥AB (i)求二面角A-BD-C的大小. 试卷第3页共4页 19.我们知道，复数可以用a+bi(a,b∈R)的形式来表示，复数a+bi与复平面内的点 Z(a,b)是一一对应的，与平面向量OZ=(a,b)也是一一对应的.一般地，任何一个复数 z=a+bi都可以表示成r(cosO+isin0)的形式.其中，r是复数z的模；日是以x轴的非 负半轴为始边，向量Oz所在射线（射线OZ)为终边的角，叫做复数z=α+bi的辐角，规 定在0≤O<2π范围内的辐角日的值为辐角的主值.r(cos0+isin8)叫做复数z=a+bi的 三角形式，简称三角形式. 由复数的三角形式可得出，若OZ=i(cose+isin8),OZ,=5(cos0,+isin6),则 h(cos8+isin6)5(cos6,+isin8)=rcos(8+8)+isin(e+6),其几何意义是把向量 OZ,绕点O按逆时针方向旋转角6，（如果6<0，就要把OZ,绕点O按顺时针方向旋转角 %),再把它的模变为原来的倍 己知在复平面的上半平面内有一个菱形OABC,其边长为1，∠AOC=120,点A,B,C所对应 的复数分别为21,22,23 Q)诺三-5+i,将，表示成三角形式，并直接写出，)（代数形式与三角形式均可）： 22 (2)如图，若P(3,O),以PA为边作正方形APMN YA -10 -3 (i)若M,N在AP下方，是否存在复数3使得OM长度为√19-6√2，若存在，求出复数 z1;若不存在，说明理由： (i)若M,N在AP上方，且向量√yPM=xOA+yOC,求兰+的范围. xV 试卷第4页共4页20252026学年第二学期期末考试 高一数学试卷（参考答案) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D2.B3.A4.C5.C6.B7.C8,A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ABD 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2. 28W3 38 13.4, 14. -π 3 5 4 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(1)由频率分布直方图的性质，可得(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)×10=1, 解得a=0.030, .2 （2)所以样本成绩的平均数为： x=45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1=74分. 4 [40,50),[50,60),[60,70)的频率之和为0.35，所以中位数在[70,80)之间，设中位数为x, 则0.05+0.1+0.2+(x-70)×0.3=0.5,得x=75 6 (3)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在[70,80)的频率为0.03×10=0.3， 答卷成绩在[90,100]的频率为0.01×10=0.1，所以样本答卷成绩在[70,80)和[90,100]的人数比 为3：1，即从答卷成绩在[70,80)和[90,100]中分别抽取3人和1人 .7 记为A,B,C,a,从这4人中随机抽取2名依次交流，则样本空间为： 2={(A,B),(A,C),(A,a),(B,C),(B,a),(C,)},共有6种情形，即N=610 设事件M=“2名进行交流分享的学生成绩均在区间[70,80)”，则事件 M={(A,B),(A,C),(B,C)},共有3种，即m=3, 由古典概型的概率计算公式，可得P0=”=3-】 N62 12 所以2名进行交流分享的学生成绩均在区间[70,80)的概率为} .13 16.(I)因为底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB,又PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD, 所以PA⊥BC,因为AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB .4 AGC平面PAB,所以BC⊥AG,又PA=AB,G为PB中点，则AG⊥PB,BC,PBC平面 PBC,BC∩PB=B,所以AG⊥平面PBC .8 高一数学第1页共4页 (2)连接BE交AF于点H,连接GH, 由四边形ABCD为矩形，E,F分别为AD,BC中点，所以△AHE≌△FHB, 则BH=HE,即H为BE中点，又因为G为BP中点，有GH∥PE 12 GHc平面AFG,PEC平面AFG,所以PE∥平面AFG .15 17.(1)解：因为4 sin Asin C=3-3c0s2A, 所以4 sin Asin C=3(1-cos2A)=6sin°A 2 因为A∈(0，π)，所以sinA>0,所以，2sinA=3sinC,根据正弦定理可知 2c=2(a+2)=3a,解得a=4,故b=a+1=5,c=6 .4 在△1BC中，由余弦定理可得：cosC=+b-c2_1 2ab 8 .6 (2)因为b=a+1,c=a+2,所以c>b>a,所以若△ABC为钝角三角形 则C为钝角 .8 在△1BC中，由余弦定理可得：cosC-+b-c=a+(a+1-(a+2 am2-2a-3 2a(a+1) 0, 2ab 2a(a+1) 又a>0,则只需a2-2a-3<0,即(a+1)(a-3)<0,解得-1<a<3, 则0<a<3 .11 由三角形三边关系可得a+a+1>a+2,可得a>1,即1<a<3, 因为aeZ,故a=2,此时b=3,c=4 .13 wc:mc-c.店 2ab 4 4 所以SABc bsinc=35 1 4 .15 18.(1)在直三棱柱ABC-ABC1中，设点A到平面ABC的距离为h, 1 4 .ARG-3 .3 解得h=√2，所以点A到平面ABC的距离为√2： 4 (2)取AB的中点E,连接AE,因为A4=AB,所以AE⊥AB,又平面ABC⊥平面ABB,A, 高一数学第2页共4页 平面ABC⌒平面ABBA=AB,且AEC平面ABB,A,所以AE⊥平面ABC 7 在直三棱柱ABC-AB,C中，BB,⊥平面ABC,由BCC平面ABC,BCc平面ABC可得 AE⊥BC,BB⊥BC,又AE,BB,C平面ABBA且相交，所以BC⊥平面ABBA, 又ABC平面ABB,A,所以BC⊥AB .9 (3)由(1)得AB=√2，所以A4=AB=2,AB=22,由(2)得BC1平面ABB4, 又ABC平面ABB,A,所以BC⊥AB,所以BC=2,所以BC=AB,又AD=CD, BD=BD,所以△ABD=ACBD,过点A作AH⊥BD,交BD于点H,连接CH,因 为△ABD=ACBD,所以CH⊥BD, 所以∠AHC即为二面角A-BD-C的平面角 13 在△Ac中.AH=Cm_26.4C=2W万，所以 cos∠AHC= AH+CH-AC? 又∠AHC∈(0，π)，所以∠AHC=120°， 2AH.CH 故二面角A-BD-C的大120 17 π 19. (1)21=cos二+isin分 6 6 2 z2=i,23= 3,1 i 221 4 设PA对应的复数为24，则z4=(cosa-3)+isin 5 (i)设PM对应的复数为二5， 35=24 cos[(+isin]co3) π 2 7 设OM对应的复数为6，所以z6=3-sina+i(cosa-3) =(3-sina)+(cosa-3)=19-6(sina+cosa), 由己知可得V19-6(sin&+cosa)=19-62 9 所以muta=ina骨到-5，又0sas号 所以a= 41 高一数学第3页共4页 所以=52. 22 10 -1O12 N M 3 (i)设PM对应的复数为， 所以=coe》+im》-[【(coea-3hima]-i)-a+ig-cosa, 所以-ema3oa吵.又ai(cz血.oc-oea+ma+》 xyPM=xOA+yOC, n--oa- 所以wao-6ae=f+v+2 a+}aaa: 所以xy(10-6cosa)=x2+y2-xy .14 所以+-I-6cosa,又25cosa≤1， 所以5≤+之≤8，所以之+的范围为5,8] x V .…17 -1O 高一数学第4页共4页