精品解析：陕西省西安市碑林区铁一中2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024-2025-2八年级期末数学试题 （时间：110分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A ， B. ， C ， D. ， 7. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A. x B. y C. D. 8. 如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ） A. 若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B. 若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C. 若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D. 若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 9. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④若，，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是_____． 12. 如图，直线与正五边形的和两边相交得到和，则_____． 13. 如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，则______． 14. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 15. 若关于的分式方程（为常数）有增根，则_____． 16. 如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为______． 三、解答题（共72分） 17 因式分解： （1）； （2）． 18. 解不等式组：． 19. 如图，已知在中，，请用尺规在边上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 解分式方程：． 22. 如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： （1）在图中画出，，且面积为5，点E在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以为一腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上．请直接写出线段的长． 24. 西安大明宫“建筑系列”国潮文创商品栩栩如生地运用艺术语言让辉煌历史再度“活化”．某文旅中心在售A，B两种文创商品，已知每个B种商品的价格是每个A种商品价格的，用300元购买B种的数量比用200元购买A种的数量多7个． （1）求每个A种商品的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种文创商品，且购买B种商品数量比A种商品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种商品． 25. 求知学习小组的同学将两个全等的平行四边形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点逆时针旋转一周，进行旋转性质的探究．已知和，，，，和分别是两个平行四边形的对角线．固定，将绕点B在平面内逆时针旋转一周． （1）小组成员A同学提出问题：如图1，绕点B旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，的长为_______． （2）小组成员B同学进一步提出思考问题：如图2，在绕点B旋转过程中，连接，线段是否存在最大值和最小值？如果存在，请分别计算出的最大值和最小值；如果不存在，请说明理由． （3）小组成员C提出探究问题：在绕点B旋转过程中，G，D，E三点能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有直角的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025-2八年级期末数学试题 （时间：110分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，进行判断即可. 【详解】A、，分母为常数3，不含字母，属于整式； B、，分母为圆周率π（常数），不含字母，属于整式； C、，分母为，含字母，符合分式定义； D、，分母为（均为常数），不含字母，属于整式； 故选C. 2. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 3. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式，即可. 【详解】A、 是整式乘法，不是因式分解，错误； B、 右边为“整式加减”形式，不是因式分解，错误； C、 展开后为，与原式不等，错误； D、 是因式分解，正确； 故选D 4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 6. 如图，下列条件中能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，举反例证明假命题，熟练掌握平行四边形的判定及举反例证明假命题是解题的关键．根据平行四边形的判定定理及举反例证明假命题的方法，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、如图，，，但四边形不是平行四边形，所以选项A不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知选项B符合题意； C、和关于直线轴对称，且，，则，但四边形不是平行四边形，所以选项C不符合题意； D、如图，在等腰梯形中，，，显然四边形不是平行四边形，所以选项D不符合题意． 故选：B． 7. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ） A x B. y C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确说法正确的是（ ） A. 若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B. 若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C. 若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D. 若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质逐项判定可求解． 【详解】解：A．∵∠BAC=90°， ∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°， ∵∠BAP=∠B， ∴∠CAP=∠C， ∴AP=PC， 只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误； B．∵∠BAC=90°， ∴∠BAP+∠CAP=90°， ∵∠BAP=∠C， ∴∠C+∠CAP=90°， ∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°， 即AP⊥BC，故正确； C．∵AP⊥BC，PB=PC， ∴AP垂直平分BC， 而∠BAC不一定等于90°，故错误； D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 9. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可． 【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得： ， 故选：C． 10. 如图，在中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，若，则下列结论：①四边形是平行四边形；②；③；④若，，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的平判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据平行四边形的性质得，进而可证和全等，从而得，据此可对命题①进行判断；②证，，再根据得，进而得，从而得，据此可对命题②进行判断；③根据是边的中点，得，再根据得，据此可对命题③进行判断；④根据为直角三角形，，，利用勾股定理得，进而得，据此可对命题④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形为平行四边形，如图所示： ， ， ，， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故①正确； ②四边形为平行四边形， ，，，， ，，， 是边中点， ， ， ， ，， ，， ，， ， 即， ， 即， 故②正确； ③是边的中点，， ， ， ， ， 故③正确； ④， 为直角三角形， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， 故④不正确． 综上所述：正确的命题是①②③， 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 若分式有意义，则满足的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，是解题的关键． 根据分式有意义，分母不等于0，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12. 如图，直线与正五边形的和两边相交得到和，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据公式求出正五边形的内角和，进而求出其每个内角的度数，再利用四边形的内角和，求出的值即可解决问题； 【详解】解： 根据多边形内角和公式：n边形内角和=​​（且n为整数），对于正五边形，，则其内角和为​​， 因为正五边形的5个内角都相等，所以它的每个内角的度数为，即. 根据四边形的内角和为，可得， 所以. 故答案为： 13. 如图，在四边形中，，，，点E，F，G分别是的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用三角形的中位线的判定与性质是解题的关键． 由三角形的中位线可证明、，；同理可得、，．继而证明．在中运用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵点E，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴． ∴ ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5）， ∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6， 即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3． 故答案为：x＞3 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 若关于的分式方程（为常数）有增根，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 先将分式方程两边同乘，化为整式方程，再根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，得，代入计算即可． 【详解】解：分式方程两边同乘，得 ， ∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， ∴， 解得． 故答案为：1． 16. 如图，已知中，，，点E是的中点，连接，将沿翻折，的对应边所在直线交于点F，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，三线合一，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点M，过点E作点P，证明四边形是菱形，继而证明，则，，由折叠，得，可证是的高，根据，，可得，即可解答． 【详解】解：延长交于点M，过点E作点P，延长到点N，使得，连接，如图， 有， ∵中，，，点E是的中点，， ∴四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， 由折叠，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）用提公因式方法分解因式即可； （2）先去括号，合并同类项，然后用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，已知中，，请用尺规在边上找一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-垂直平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于中考常考题型． 作出的垂直平分线，与的交点，即为点P，即可解答． 【详解】解：作出的垂直平分线，与的交点，即为点P，如图 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边都乘，得 ， 解得 ， 当时，， ∴原分式方程的解是． 22. 如图，在中，对角线相交于O点，E，F在对角线上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算： （1）在图中画出，，且面积为5，点E在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以为一腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上．请直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，作等腰三角形， 对于（1），根据勾股定理可知，作，则，可得，即； 对于（2），根据等腰直角三角形的定义作出图形，可得，可得，即可得是等腰三角形． 【小问1详解】 解：如图所示，就是所求作的三角形； 【小问2详解】 如图所示，就是所求作的三角形． 24. 西安大明宫“建筑系列”国潮文创商品栩栩如生地运用艺术语言让辉煌历史再度“活化”．某文旅中心在售A，B两种文创商品，已知每个B种商品的价格是每个A种商品价格的，用300元购买B种的数量比用200元购买A种的数量多7个． （1）求每个A种商品的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种文创商品，且购买B种商品的数量比A种商品的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种商品． 【答案】（1）每个A种商品的价格为25元； （2）该游客最多购买11个A种商品． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种商品的价格为x元，则每个B种商品的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种商品，则购买个B种商品，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种商品的价格为x元，则每个B种商品的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种商品的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种商品，则购买个B种商品， 由（1）得每个B种商品的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种商品． 25. 求知学习小组的同学将两个全等的平行四边形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点逆时针旋转一周，进行旋转性质的探究．已知和，，，，和分别是两个平行四边形的对角线．固定，将绕点B在平面内逆时针旋转一周． （1）小组成员A同学提出问题：如图1，绕点B旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，的长为_______． （2）小组成员B同学进一步提出思考问题：如图2，在绕点B旋转过程中，连接，线段是否存在最大值和最小值？如果存在，请分别计算出的最大值和最小值；如果不存在，请说明理由． （3）小组成员C提出探究问题：在绕点B旋转过程中，G，D，E三点能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有直角的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最小值为，最大值为 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先由旋转性质得，，，再证明是等边三角形得，，利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质推导出，进而利用勾股定理求得，然后证明是等边三角形可求解； （2）先判断出点F在以点B为圆心，6为半径长的圆上运动，则当点F、B、D共线时，取得最值，进而结合图形可求解； （3）根据题意，将问题可以转化为保持不动，让绕点B旋转一周，则点D在以点B为圆心，为半径的圆上运动，分，，三种情况，分别画出图形，通过图形分析，结合相关知识计算求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转性质得，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：存在最大值和最小值． ∵和是两个全等的平行四边形， ∴， ∴点F在以点B为圆心，6为半径的圆上运动，则当点F、B、D共线时，存在最值， 其中，当点F在处时，取得最大值，最大值为； 当点F在处时，取得最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：能构成直角三角形． 根据题意，问题可以转化为保持不动，让绕点B旋转一周， 由（1）知，， ∴点D在以点B为圆心，为半径圆上运动， 若G，D，E三点能构成直角三角形，有三种情况： 当时，如图，点D在点处，即， 由（1）知，， 由题意，，，，，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 当时，如图，点D在点或处，即， 则，、E、共线， 过B作于K，则，， ∵， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， ； 当时，如图，点D在点处，即，取的中点O，连接，，延长交于N， ∵， ∴，又， ∴垂直平分，， ∴，，， ∴， ∴，， 则， ∴， ∴， 综上，满足条件的直角三角形的面积为或或或． 【点睛】本题考查旋转性质、平行四边形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、圆的定义等知识，涉及知识点较多，综合性强，是难度和计算量极大的压轴题，熟练掌握相关知识的联系及综合运用，利用数形结合思想和分类讨论思想，以及转化的思想方法解决问题是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$