精品解析：安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题

安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为的复数根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ） A. 12或4 B. 12或-4 C. 16或4 D. 16或-4 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某封闭圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，一个半径为1的小球在容器内可以自由运动，则小球不能触碰到的容器内壁面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C 方差不变 D. 极差变小 10. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的对称中心为 D. 的单调递减区间为 11. 我们知道，方程表示的曲线是椭圆，它有很多优美的性质，对于曲线的性质，以下说法正确的是（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 若为曲线上一动点，则的最小值为4 C. 直线与曲线只有一个公共点 D. 若直线与曲线没有公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为______. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为_____________. 14. 如图，在正八面体EABCDF中，有一质点每次从正八面体某一顶点等可能地跳到相邻的4个顶点，则次后质点回到初始位置时的概率为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 16. 如图1，在直角梯形ABCD中，.沿BD将翻折到的位置，如图2所示，得到三棱锥，且. （1）证明：平面PAD. （2）求直线PB与平面ABD所成角正弦值. 17. 为更好地服务群众，结合本地实情制定“焕新”补贴实施细则，阜阳市商务局对广大市民的需求进行问卷调查.已知热心参与问卷的市民有名，商务局决定专门为他们设置两次网上抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名市民中抽取20名市民，被抽中的市民会被赠送礼品，记两次抽中的市民总人数为（不重复计数）. （1）若甲是这名市民中的一人，且甲被抽中的概率为，求； （2）求使取得最大值时的整数. 18. 设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. （1）已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； （2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； （3）证明：. 19. 已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省阜阳市2024-2025学年高二下学期教学质量统测（7月期末）数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 2. 已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义与向量数量积运算即可得解. 【详解】对于A，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同， 所以不一定成立，故A错误； 对于B，，显然不一定成立，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 若为的复数根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的三次方结合已知条件计算求解. 【详解】因为为的复数根，则，即得， 则. 故选：A. 4. 函数零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负得出函数的单调性结合零点存在定理得出零点个数. 【详解】函数，， 当单调递减； 当单调递增； ， ， 所以；； 所以函数的零点个数为2. 故选：C. 5. 圆与圆的公共弦长为，则的值为（ ） A. 12或4 B. 12或-4 C. 16或4 D. 16或-4 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 6. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用切化弦方法，结合使用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即得. 详解】 . 故选：A 7. 某封闭圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，一个半径为1的小球在容器内可以自由运动，则小球不能触碰到的容器内壁面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不能触碰到的内壁分为底面与侧面，分别求出底面与侧面的面积相加即可. 【详解】圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，圆柱的高为4，底面半径为2， 则一个半径为1的小球在容器内可以自由运动，则小球不能触碰到的容器内壁底面为以外半径为2，内半径为1的圆环，故， 侧面不能触碰的为高为1，底面半径为2的一个圆柱侧面，，由于圆柱上下两个面是对称的，故， 故选：C 8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质及迭代法求出且时，，然后结合组合数的概念，利用二项式系数的性质求解即可. 【详解】函数为上的奇函数，，且， 所以当且时，，，所以， 所以， 所以 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，由平均数，中位数，方差以及极差的计算公式，逐一检验，即可得到结果. 【详解】对于A，的平均数为， 若去掉首末两项，则平均数为，故A正确； 对于B，的中位数为，若去掉首末两项， 则中位数为，故B正确； 对于C，设公差为，则，的平均数为， 则方差为 ， 若去掉首末两项，平均数为， 方差为 ， 因为，所以，故C错误； 对于D，设公差为，则，的极差为， 的极差为，因为，所以， 极差变小，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数，则以下说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 的对称中心为 D. 的单调递减区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即余弦的二倍角公式将化简，再利用周期公式计算周期判断A选项；根据的定义域求出值域判断B选项；利用整体代入法求出对称中心判断C选项；利用整体代入法求出单调递减区间判断D选项. 【详解】，定义域为， 的最小正周期为，故A正确； 的定义域为，值域为，故B错误； 令，则， 的对称中心为，故C错误； 令，则， 的定义域为，的单调递减区间为，故D正确. 故选：AD. 11. 我们知道，方程表示的曲线是椭圆，它有很多优美的性质，对于曲线的性质，以下说法正确的是（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 若为曲线上一动点，则的最小值为4 C. 直线与曲线只有一个公共点 D. 若直线与曲线没有公共点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.根据点在曲线上，即可判断；B.利用消元，代入的方法，转化为函数在的最小值，利用单调性，即可判断；C.联立方程，转化为函数零点个数的判断，利用导数分析函数的单调性和性质，即可判断；D.联立方程，参变分离为，转化为值域问题，即可判断. 【详解】A.设点在曲线上，点也满足，所以点也在曲线上，所以曲线关于原点对称，故A正确； B.，由方程可知，，当时，设，在上单调递增，当时，取得最小值3，故B错误； C.联立直线与曲线，得，设， ，当和，，在和上单调递减，当时，，单调递增，所以当时函数取得最小值，所以只有一个实数解2， 所以直线与曲线只有1个公共点，故C正确； D.联立直线与曲线，得，整理， 令，则，因为直线与曲线没有公共点，所以此方程无解. 当或时，方程为，无解，满足条件. 当时，， 如方程无解，则，即， 综上可知，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的准线过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的准线求出椭圆的焦点坐标，即得，然后求出，即可得解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为抛物线的准线为，所以椭圆的一个焦点，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 13. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为_____________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据函数关于对称可得，代入即可求解. 【详解】已知函数的图象关于直线对称，则， 代入函数得：， 即，移项整理得：, 则，解得. 故答案为： 14. 如图，在正八面体EABCDF中，有一质点每次从正八面体的某一顶点等可能地跳到相邻的4个顶点，则次后质点回到初始位置时的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】质点S移动次后仍在平面ABCD上的概率为题意归纳出的递推式子，进而构造数列，求解进而根据. 得解. 【详解】设质点S点E处时，移动一次可以到四个位置的其中一个， 记质点S移动次后质点回到初始位置时的概率为，仍在平面ABCD上的概率为 易知移动1次后，， 当质点移动第二次时，质点仍在平面ABCD上的概率， 因此，即， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，公比的等比数列， 故，即， 故， 因此， 时也成立，故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题目中的已知条件，结合余弦定理，即可求解；（2）根据正弦定理算出，利用这一性质算出，最后再利用面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 在中，，即，解得， 又，故， ， . 16. 如图1，在直角梯形ABCD中，.沿BD将翻折到的位置，如图2所示，得到三棱锥，且. （1）证明：平面PAD. （2）求直线PB与平面ABD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角梯形以及等边三角形的几何性质，结合勾股定理，以及线面垂直的判定，可得答案； （2）法一：由三棱锥的体积公式，求得体高，根据线面角的定义，可得答案；法二：由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 在直角梯形ABCD中，因为， 易得为边长为2的等边三角形， 所以，则， 又，平面，则平面. 【小问2详解】 法一：因为， 记点到平面ABD的距离为， 由得， 记PB与平面ABD所成的角为，则. 法二： 因为平面PAD，且平面ABD，则平面平面PAD， 过点作AD的垂线，垂直足为，则平面ABD.如图建立空间直角坐标系. 在中，因为，则， 所以，则， 而平面ABD的法向量， 则， 即PB与平面ABD所成的角的正弦值为. 17. 为更好地服务群众，结合本地实情制定“焕新”补贴实施细则，阜阳市商务局对广大市民的需求进行问卷调查.已知热心参与问卷的市民有名，商务局决定专门为他们设置两次网上抽奖活动，每次抽奖都是由系统独立、随机地从这名市民中抽取20名市民，被抽中的市民会被赠送礼品，记两次抽中的市民总人数为（不重复计数）. （1）若甲是这名市民中的一人，且甲被抽中的概率为，求； （2）求使取得最大值时的整数. 【答案】（1）100 （2）或 【解析】 【分析】（1）用组合数表示出甲未被抽中的概率，得到一个关于的方程，解方程即可；（2）根据规则用组合数表示出，将表示后的式子含的部分记为函数表达式，将问题转化为在何时取到最大值. 【小问1详解】 记“甲被抽中”，“第次被抽中”，则 ， 解得. 【小问2详解】 由于， 记，即求在何时取到最大值，下面讨论的单调性： ， 解得，即当时，，，单调递增， 因此在时取得最大值， 可得在时取得最大值， 又有时，，即， 综上，当或时，取到最大值. 18. 设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. （1）已知，求过点A且与曲线相切直线方程； （2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； （3）证明：. 【答案】（1） （2）凹函数，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导并切点，进而得切线方程，将点A代入切线方程求出即可得解； （2）换元和变形构造并结合导数工具计算分析差值的正负情况即可得证； （3）先由是凹函数且是它的切线得到，接着记，求证即可得证. 【小问1详解】 ，令切点， 则过点的切线方程， 因为切线过点，则，解得， 所以切线方程为. 【小问2详解】 是凹函数.证明如下： 令，则 不妨令，则， 记， 则 因为，所以，则，所以在单调递减， 则， 所以， 从而，所以是凹函数. 【小问3详解】 证明：由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则， 记，则， 即.所以. 19. 已知双曲线是双曲线右支上的一个动点，且到双曲线的两条渐近线的距离之积为. （1）求双曲线的标准方程. （2）过点作直线交双曲线的左支于点，分别交两条渐近线于点A,B. （i）是否存在直线，使得为PQ的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. （ii）当时，直线与圆相切，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）不存在，理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题干中的条件求出长轴长与短轴长即可得到答案. （2）（i）利用点差法求出直线方程再与双曲线联立即可得到是否存在. （ii）联立直线与双曲线得到直线的弦长，即可化简原式即可求出取值范围. 【小问1详解】 设，由于两条渐近线为，则有 到两条渐近线为的距离之积为 则解得 所以双曲线C的方程为 【小问2详解】 （i）设，且， 因为在双曲线上， 所以，两式相减可得 所以， 若点为线段AB的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率 所以直线l的方程为，即 将直线l与双曲线联立，可得，. ，故方程无解. 所以不存在这样直线l，综上，点不能是线段PQ的中点. （ii）设切点，则切线的方程为，且 由，解得，所以 设， 由，消去得，所以, 由，消去y得，所以； 所以， 所以 ， 又，所以， 因为，所以，所以，所以， 即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$