精品解析：安徽省阜阳第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

2022级高二年级期末考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集运算即可求解. 【详解】根据题意， ，则， 故选：B 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，然后用共轭复数的定义即可. 【详解】由已知有，故. 故选：A. 3. 已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明是上的偶函数且在上递增，即可将原不等式等价转化为，即，然后解之即可. 【详解】由于的定义域为，且，故是偶函数. 而对，有，故. 所以在上递增. 从而不等式等价于，即. 此即，即，解得. 故选：D. 5. “”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将用的表达式表示，再代入，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为，球心为，在中，求出球的半径，然后求出球的表面积． 【详解】解：如图底面三角形的外心是，， 在中，， 可得， 由正弦定理可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，在中， 易得球半径， 故此球的表面积为 故选：B． 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ） A. 36 B. 42 C. 72 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递减，在上单调递减增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若和在上单调递减，在上单调递增， 则，此时有序数对的个数有：个； 若、和在上单调递减， 则，此时有序数对的个数有：个； 综上所述：共有个. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于恰当的进行分类，做到不重不漏，由此即可顺利得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 的最大值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数量积为是否为0，是否存在一个实数使得，直接用向量模长公式进行计算，根据函数的性质及辅助角公式的应用求最值． 【详解】解：A．，故，选项正确，符合题意； B．当，则，有，故，选项正确，符合题意； C．，则，选项错误，不符合题意； D．， 当时，的最大值为3，选项正确，符合题意； 故选：ABD． 10. 已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为圆的一部分 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理证明线面平行；根据面面垂直判定定理证明面面垂直；三棱锥等体积变换计算体积；根据抛物线定义判断动点轨迹； 【详解】 对于A，在棱长为2正方体中，分别是的中点， 平面，平面,所以平面，A正确； 对于B，在正方形中，，又，所以， 在正方体中，平面,因为，所以， 又因为是平面内两条相交直线，所以平面 因为平面，因此平面平面，B正确； 对于C，连接，则三棱锥的体积为 ，C错误； 对于D，点为正方形内（包括边界）的动点，点到直线与到直线的距离相等， 转化为当点到的距离与点到直线的距离相等，则点的轨迹是抛物线的一部分，D错误； 故选：AB. 11. 已知函数及其导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】从题设等式判断函数和的对称性，可判断A，推导出函数的周期为4，分别求出，和的值，利用函数的以上性质即可判断B,C. 【详解】由取，即得，故A正确； 又由，可得，即，则有， 将其两边求导得，，把代入可得，（*）， 即，从而，即函数为周期函数，周期为4. 又由可得，关于直线对称，由（*）可得，，即得， 又，即得，，于是，即B错误； 因，故，即C正确； 对于D，由无从求得的具体函数值，故得不到，即D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题解题思路为，通过题设等式，考虑函数的轴对称性或中心对称性，考虑函数的有无周期性，有时还需要将函数等式两边求导配合条件推导结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解． 【详解】解：，且， ， 估计该企业生产的1000个该种零件中合格品的个数为． 故答案为：． 13. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】由平移变换得到，再根据是偶函数，得到，然后由，得到，根据在上恰有4个零点，由求解. 【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度得到， 函数， 因为是偶函数，所以，即， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为在上恰有4个零点， 所以，即， 所以当时，， 故答案为：4 14. 已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，，表示出，在中求出，再结合椭圆的定义可得，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率. 【详解】设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得， 所以，， 因为，所以， 所以，解得， 所以离心率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值，极大值 【解析】 【分析】（1）直接根据导数的几何意义得到结果； （2）先确定的单调区间，再相应确定极值. 【小问1详解】 由，得. 从而，. 故曲线在处的切线经过点，且斜率为，从而方程为，即. 【小问2详解】 由于对有，对有， 故在和上递减，在上递增. 所以的所有极值为：极小值，极大值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先得出，过点作交于点，说明就是二面角的平面角，结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为的中点，所以， 又因为底面为矩形，，所以， 又因为，所以， 因为为的中点，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为，所以， 因为为等边三角形，，所以， 又因为，所以， 过点作交于点， 因为，所以， 又因为，平面，平面，平面平面， 所以就是二面角的平面角， 因为点是中点，， 所以点是中点，， 因为，，， 所以， 因为在三角形中，，， 所以， 在三角形中，，，， 从而由余弦定理有，，即， 在三角形中，， 从而由余弦定理有，， 所以， 所以二面角的正弦值为. 17. 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解； （2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积. 【小问1详解】 抛物线焦点的坐标为， 当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，，显然， 设，则， 则 ，解得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程， 化简并整理得，显然， 所以， 又，所以， 因为， 所以 ， 所以，则， 设的面积为， 则， 所以的面积为. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7879 10.828 【答案】（1）认为参数调试与产品质量无关联 （2）的分布见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故， 则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 由可解得， 即当时，． 故当事件“”的概率最大时，． 19. 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”. （1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”； （2）若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当； （3）如果各项均为正整数的无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）， 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的性质求解即可； （2）利用等差数列的性质结合题目的定义求解即可； （3）利用枚举法，结合题目的新定义求解即可. 【小问1详解】 解得：则即 且 若则 则当对任意正整数，都存在正整数使得 则等比数列满足性质. 【小问2详解】 因为数列具有“性质”， 则 若数列具有性质则， 则， 又则 则， ， 则， 又，则当时上式成立， 当时.， 则， 若，且，时，，不合题意，所以 所以数列具有“性质”，则需要， 反之，若则则上面各式成立，则数列具有“性质” 综上数列具有“性质”，当且仅当. 【小问3详解】 从这四个数中任选两个，共有以下6种情况：，；，； ，; ，; ，; ，. ①对于， 因为为正整数，可以认为是等比数列中的项，，首项的最小值为1. 下面说明此数列具有性质P： =，=，任取，，则， 为正整数，因此此数列具有性质P， ②对于，.因为为正整数，认为是等比数列中的项，， 首项的最小值为，下面说明此数列不具有性质P： ，，若不为等比数列中的项， 因此此数列不具有性质P， 同理可得，；，；，；， 每组所在等比数列不具有“性质P’’ 【点睛】方法点睛：1.求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 2.对于新型数列，首先要了解数列的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将新定义的数列类比已经学习了的等比、等差数列求解.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高二年级期末考试卷 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线被圆截得的弦长为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 6. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，且，，则此球的表面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递减的有序数对的个数是（ ） A. 36 B. 42 C. 72 D. 84 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 的最大值为3 10. 已知在棱长为2的正方体中，分别是的中点，点为正方形内（包括边界）的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 若点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为圆的一部分 11. 已知函数及其导函数，若，则（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分析，且，则估计该企业生产的1000个零件中合格品的个数为__________． 13. 已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若是偶函数，在上恰有4个零点，则__________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数的极值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等边三角形，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 17. 过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，. （1）求抛物线的方程； （2）已知点，若，求的面积（为坐标原点）. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得”，则称数列具有“性质”. （1）若等比数列的前项和为，且公比，求证：数列具有“性质”； （2）若等差数列的首项，公差，求证：数列具有“性质”，当且仅当； （3）如果各项均为正整数无穷等比数列具有“性质”，且四个数中恰有两个出现在数列中，求的所有可能取值之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $