2025届广东省深圳市二模数学第18题最后一问的别解与推广 讲义

2025深圳二模第18题最后一问的别解与推广 【出题背景】牛顿法的几何解释：方程的根可解释为：曲线与轴的交点的横坐标。设是根的某个近似值，曲线在点处的切线（如图1）与轴的交点是，将作为新的近似值。 ( 图1 ) 注意到切线方程为：；求得的值，，本题就是以此为背景命制而成的。给定在区间上单调递增的下凸函数，且， 设，曲线在点处的切线与轴的交点是，由图1可知：；该命题还可以进一步推广为：已知函数在区间上具有2阶导数，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明：. 对于第18题第二问（ii）小问的出题背景“不动点迭代收敛原理”，数学书上，没有提及。深圳数学教研员出题时，给的参考答案也避开了这一定理。这让我陷入纠结：如何通俗地写出来，让高三学生读懂，而且还会应用呢？ 是写好呢？还是不写好呢？在2025年6月29日提交稿件的时候，我没有把第二问（ii）小问的出题背景写进去，并且将以下第二问的（ii）小问的解法2删去了。但解法2揭示了出题人的思路，是最贴近题目本质内涵的，所以我选择把解法2及其思考过程呈现出来： （2025深圳二模卷第18题）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． （1）写出与的递推关系式；（简略答案：） （2）记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 第（ii）问解法2： 预备工作：证明有唯一的零点，其中 当时，（） 当时，，单调递增， 又 所以有唯一的零点，其中． 由“，其中，”，我们想到记 第1步：首先证明方程的根存在且唯一，即存在唯一的不动点 方程等价于，即：， 则方程在区间存在唯一的根，即在区间存在不动点. 第2步：从欲证结论出发 要证“对于任意的，都有”， 即证：对于任意的，都有 【至此，我们想：如果我们可以证明到：，再利用不等式放缩，即： ， 命题就得证了】 下面证明 第3步：进一步分析 由微分中值定理：， 【至此，我们想：如果我们可以证明到：，命题就得证了】 第4步：证明， 又，即证， 通过计算可以发现：当时， 命题得证. 而这里的“通过计算”，你要把其过程完整的写出来，也是一道中档小题。 这也是我纠结的地方，解法2揭示题目本质，但未必简单。 【第18题第2小题第（ii）小问一般性命题】 当时，，的零点为；迭代数列，且在上存在唯一的根，即有唯一的不动点，则对于任意的，都有，其中初值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$