精品解析：广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

罗湖区高二期末 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写答题卡各题目的指定区域相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合对数不等式求解集合，再求. 【详解】由题意可得集合， 集合， 所以. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数除法求出复数，再根据共轭复数概念和复数加法求解. 【详解】根据题意，， 则. 故选：A. 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，从里到外进行计算. 【详解】根据题意，. 故选：B 4. 已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（ ） 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 A. 0.5 B. C. 0.6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据经验回归方程求出3号观测的预测值，再由残差的定义求解. 【详解】根据经验回归方程为， 3号观测的预测值为， 则3号观测的残差为. 故选：C 5. 记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式结合二次函数值域计算求解. 【详解】等比数列的前项和为，若，设等比数列公比为， 则 ， 当时，则的最小值为. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角函数的二倍角公式求出的值，再根据三角函数的诱导公式将转化为与有关的形式，进而求出的值. 【详解】已知，根据二倍角公式，令，则可得： 根据三角函数诱导公式，对进行变形可得： 令，则 由，所以 故选：A. 7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 8. 设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期性可得，，注意到，可知或为的零点，进而代入运算即可得结果. 【详解】因为，则的最小正周期为，可知， 又因为，可得， 即，且， 且，可知或为的零点， 若为的零点，则， 可得，且，可得， 若为的零点，则， 可得，这与矛盾； 综上所述：. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ） A. 的焦距小于的焦距 B. 可能为等轴双曲线 C. D. 与恰有四个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】求出与的焦距，离心率即可判断AC；由等轴双曲线的概念判断B；根据曲线中的取值范围判断D. 【详解】根据题意，椭圆，半焦距， 的焦距为， 双曲线，半焦距， 的焦距为，显然，A正确； 因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误； ，则，C正确； 因为椭圆中， 双曲线中， 则与只有和两个交点，D错误. 故选：AC 10. 已知事件，满足，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AB：根据事件的运算求解；对于C：根据独立事件的性质分析求解；对于D：根据条件概率公式运算求解. 【详解】因为，， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于选项B：若，则，故B正确； 对于选项C：若与相互独立，则与相互独立， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，可得， 又因为， 所以，故D错误. 11. 已知函数，则（ ） A. 当，且时，没有零点 B. 曲线是中心对称图形 C. 当时，在定义域内是单调函数 D. 当时，函数既有极大值，又有极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由对数的性质判断A；当时，曲线为直线，显然是中心对称图形，当时，证明即可得证B；利用导数研究函数单调性和极值判断CD. 【详解】考察选项A：当，且时，， ，，函数没有零点，故A选项正确； 考察选项B：当时，，曲线为直线，显然是中心对称图形； 当时，，，记的定义域为， 不难知道，当时，必有，且当时，必有， 又，， 曲线是中心对称图形，对称中心为，故B选项正确； 考察选项C：， 当，时，的定义域为，恒有， 在区间和上单调递增，在内单调递减； 同理可知当，时，在区间和上单调递减，在内单调递增. 在定义域内非单调函数，故C选项错误； 考察选项D：， 当，时，令， ∵，解得定义域为或. ，存在，使得， ，，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数既有极大值，又有极小值， 同理，当，时，可知亦既有极大值，又有极小值，故D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，若，则，的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直可得，代入夹角公式运算求解即可. 【详解】因为，，则， 又因为，则，即，可得， 则， 且，可得， 所以，的夹角为. 故答案为：. 13. 若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有________个. 【答案】1013 【解析】 【分析】依次求出当，，…，当时的递减数，再根据二项式系数和的性质求和. 【详解】由题意，当时，从0到9共10个数字中任取2个数均可组成1个递减数， 当时，共有个递减数；同理当时，有个递减数； 当时，有个递减数…当时，有个递减数； 故共有个递减数. 故答案为：1013 14. 已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，分别分析球与三棱柱表面的交线求解. 【详解】由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为， 在等边中，为的中点， 在正三棱柱中，平面， 平面，， ，，平面，平面， 连接，取的中点，连接，，平面， 点到平面的距离为， 在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上， 又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动， 点在侧而的运动轨迹为，其长度为， 同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为， 点在上底面的运动轨迹为，其长度为， 点在下底面的运动轨迹为，其长度为， 综上，的轨迹长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，在边上，的面积为. （1）求： （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求出，再结合三角形面积公式从而可求解； （2）由（1）可知，从而得到为直角三角形，求出，再结合余弦定理求出，从而可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， ，， 又，， 又的面积， 解得， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 为直角三角形， 在中，， ， 在中，由余弦定理，得， ， 的周长为. 故的周长为：. 16. 已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； （2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 【答案】（1）能 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）完成联表，计算卡方与临界值比较即可判断相关性； （2）应用二项分布列出概率及分布列，再应用公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 列联表如下： 优质品 非优质品 合计 甲生产线 450 150 600 乙生产线 400 200 600 合计 850 350 1200 零假设：产品是否优质与生产线无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关. 【小问2详解】 由已知得，甲生产线中产品的优质品率为， 所有可能取值为0，1，2，3，4，. 所以，则，， 故的分布列为 0 1 2 3 4 . 17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件及面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，进而可求解. 【小问1详解】 连接，交于点，连接，， 在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点， 又，是等边三角形， ，， 又，，平面，平面， 平面，， ，又是的中点，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面； 【小问2详解】 在边长为2的菱形中，，， 以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设，， ，解得， 又折叠过程中，，，解得， ， ，， 由（1）知平而， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，则，，， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. （1）求的渐近线方程： （2）求面积S的最小值： （3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 【答案】（1） （2）16 （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）先判断出不经过点，将，代入双曲线方程，得到方程组，求出双曲线方程，进而求出渐近线方程； （2）设，，根据，得到，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案； （3）表达出直线，变形得到，求出点到直线的距离为，故直线与定圆相切. 【小问1详解】 由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点， 将，代入得：，解得， ，的渐近线方程为； 【小问2详解】 设，，则， 由于，则， 显然，可得，且，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为16； 【小问3详解】 显然，直线， 即， 其中，， 即，， 故点到直线的距离为 ， 存在定圆与直线相切. 19. 已知函数. （1）证明：当时，直线与曲线相切； （2）若是增函数，求实数的取值范围； （3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）由题设得恒成立，利用导数分和时单调递增的条件，从而得解； （3）易得直线的方程为，联立方程组，得，即证明函数有异于的零点，利用导数证明. 【小问1详解】 由题设得， 不难知道，且， 曲线在点处的切线方程为， 即直线与曲线相切. 【小问2详解】 由题设得， 令， ①若，则， 故在区间单调递增， 令，则，或， 当时，；当时，. 当时，；当时，. 当且仅当， ，故，即. ②若，则， 恒成立， ， 当时，；当时，， 在区间单调递减，在区间单调递增， ， ，解得. ③时，由题设得， 当时，，单调递减，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）可知，，且或 由（2）不难知道，当时，，， 直线的方程为，即， 由得（*）， 显然，是方程（*）的两个相异实数解，且. 下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点， 易知，令，则， 在区间单调递增， ，， 在区间有唯一零点，不妨设该零点为， 当时，，即；当时，，即. 在区间单调递减，在区间单调递增. ，，，又，， 在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点， 方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗湖区高二期末 数学 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 3.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 4.非选择题的答案必须写答题卡各题目的指定区域相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 5.考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 2 C. 4 D. 3. 已知函数则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（ ） 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 A. 0.5 B. C. 0.6 D. 5. 记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（ ） A. 的焦距小于的焦距 B. 可能为等轴双曲线 C. D. 与恰有四个公共点 10. 已知事件，满足，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 当，且时，没有零点 B. 曲线是中心对称图形 C. 当时，在定义域内是单调函数 D. 当时，函数既有极大值，又有极小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，若，则，的夹角为________. 13. 若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有________个. 14. 已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，，在边上，的面积为. （1）求： （2）求的周长. 16. 已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件. （1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关； （2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望. 附：，. 17. 如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点. （1）证明：平面平面： （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且. （1）求的渐近线方程： （2）求面积S的最小值： （3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程. 19. 已知函数. （1）证明：当时，直线与曲线相切； （2）若是增函数，求实数的取值范围； （3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $