精品解析：福建省厦门市莲花中学2024-2025学年下学期八年级数学期末考试卷

2024-2025学年（下）厦门市莲花中学初二数学期末考试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 3，4，5 C. 3，5，8 D. 1，1， 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，线段是某小区甲乙两栋楼间的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，保安队长小李提出监控不合理，存在盲区，则盲区的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 在平行四边形中，如果，那么的度数是_________． 12. 若关于的一元二次方程的一根为2，则的值为__________． 13. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 14. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 15. 如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④对于一次函数（），无论取何值，始终有； 则其中正确的是__________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表： 月阅读册数（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 5 14 14 10 7 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生月阅读册数的众数是_________，中位数是_________； （2）求被调查的学生月平均阅读册数； （3）若该中学有学生1000人，小莲估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的人数超过600人，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 21. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 如图，在正方形中，为的延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使； （2）在（1）的条件下，求证：． 23. 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义． （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______． 问题解决 汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 x/万人 1.4 1.1 1.1 1.3 1.4 1.4 1.4 经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由 24. 如图，在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点在上且，连接并延长，交于点． （1）求的度数； （2）连接． ①当时，画出示意图，求证：，，三点在同一直线上； ②当时，画出示意图，求的值． 25. 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线于点P． （1）如图1，当时，求点P的坐标________； （2）当时，记点，点Q是y轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点M在直线x=3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连．在运动过程中，直线交x轴于点N，求出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）厦门市莲花中学初二数学期末考试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可． 【详解】A．2，此选项错误； B．是最简二次根式，此选项正确； C．2，此选项错误； D．，此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断． 2. 下列长度的三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2， B. 3，4，5 C. 3，5，8 D. 1，1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解题的关键．根据勾股定理的逆定理求解作答即可． 【详解】解：A中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； B中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； C中，三条线段不能构成直角三角形，故符合要求； D中，三条线段能构成直角三角形，故不符合要求； 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 4. 如图，在中，，的平分线交于，交的延长线于点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，结合角平分线的性质推出∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF，得到AE=AB=3，即可求出DE=DF=AD-AE=5-3=2． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABF=∠F，∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE=∠F=∠DEF， ∴AE=AB=3， ∴DF=DE=AD-AE=5-3=2， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5. 学校篮球场上初三（1）班5名同学正在比赛，将场上五名队员的身高绘制成如图所示的统计图，其中“△”是换人前五名队员的身高，“●”是换人后五名队员的身高，与换人前相比，换人后场上队员的身高( ) A. 平均数不变，方差变小 B. 平均数不变，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出换人前后的平均数和方差进行比较即可． 【详解】解：换人前平均身高为：， 换人后平均身高为：， 换人前的方差为： ， 换人前的方差为： ， ∵，， ∴平均数不变，方差变大，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了方差和平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． 6. 用尺规在一个平行四边形内作菱形,下列作法中错误的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论． 详解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°． ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确； B．由作图可知：AD=AB=BC． ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确； C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误； D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG． ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC． ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形． ∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确． 故选C． 点睛：本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，分和两种情况，讨论出直线经过的象限，再作出选择即可． 【详解】解：当时，的图象过一、二、三象限；的图象过二、四象限； 当时，的图象过二、三、四象限；的图象过一、三象限； 可见，符合条件的只有B． 故选：B． 8. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，   故选：C ． 9. 如图，线段是某小区甲乙两栋楼间的一条主干道，计划在绿化区域的点C处安装一个监控装置，对主干道进行监控，已知，，，监控的半径为，保安队长小李提出监控不合理，存在盲区，则盲区的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，等腰三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理是解题的关键．设为盲区的长，过点作于，先由勾股定理求出，再根据等面积法求出，然后在中，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质得到，即可由求解． 【详解】解：如图，设为盲区的长，过点作于， ，，， ， ，即， ， 在中，由勾股定理得：， 监控的半径为， ， ， ， ， 故选：B． 10. 已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 在平行四边形中，如果，那么的度数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行结合平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程的一根为2，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一根为2， ∴， ∴； 故答案为：6． 13. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，写出函数图象在下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，直线经过点，则关于x的不等式的解集是 故答案为：． 14. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 15. 如图，菱形中，是对角线上的一点，连接，，，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题通过连接菱形对角线 ，利用菱形性质构建特殊三角形（等边三角形、等腰直角三角形 ），结合直角三角形边角关系，设未知数列方程求解 长度． 【详解】解：连接 ，交 于点 ． 四边形 是菱形， ， 是等边三角形，，，． ． 又 是等腰直角三角形，设 ． 在 中， ，． ，，，且 ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形性质、等边三角形判定与性质、等腰直角三角形判定与性质，熟练掌握菱形对角线垂直且平分一组对角，以及利用特殊角度（、 ）在直角三角形中建立边的数量关系是解题关键． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象为直线，在下列结论中： ①无论取何值，直线一定经过某个定点； ②过点作，垂足为，则的最大值是； ③若与轴交于点，与轴交于点，为等腰三角形，则； ④对于一次函数（），无论取何值，始终有； 则其中正确的是__________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考一次函数与一元一次不等式，等腰三角形的性质，充分掌握一次函数的图象和性质是解答本题的关键．根据一次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想分别判断即可． 【详解】解：一次函数， 当时，， 函数图象过定点， ①正确； ，垂足为， ∵图象过定点， 当点与点重合时，最大， 此时． ②正确； 在中，当时，， 当时，， ，， ，是等腰三角形， ， 或， 或（不合题意，舍去）， ③错误； 一次函数的图象过定点， 一次函数过定点， ∴两个一次函数图象平行， ∴当时，如图， 当时，如图， 则： ④错误． 故答案为：①②． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先进行乘除运算，化简二次根式，再进行合并即可； （2）配方法，解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ， ， ， ∴， ∴． 18. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法运算，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. 4月23日是“世界读书日”，某中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放50份调查问卷，并全部收回，根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如表： 月阅读册数（本） 1 2 3 4 5 被调查的学生数（人） 5 14 14 10 7 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）被调查的学生月阅读册数的众数是_________，中位数是_________； （2）求被调查的学生月平均阅读册数； （3）若该中学有学生1000人，小莲估计四月份该校学生阅读课外书籍不少于3本的人数超过600人，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）2和3；3 （2）被调查的学生月平均阅读册数为3册 （3） 小莲的说法正确，理由如下： ； 故小莲的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数，利用样本估算总体，熟练掌握中位数，众数，平均数的计算方法，是解题的关键： （1）根据众数和中位数的确定方法进行求解即可； （2）根据平均数的计算方法进行求解即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，月阅读册数为2册和3册的人数最多，故众数为2和3； 数据排序后，第25和第26个数据均为3，故中位数为3； 【小问2详解】 （册）； 答：被调查的学生月平均阅读册数为3册； 【小问3详解】 略 21. 花果山是连云港景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中，两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： 价格 A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） （1）第一次小李用元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）款玩偶购进个，款玩偶购进个 （2）按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （2）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润． 【小问1详解】 解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意，得， 解得：， ∴（个）． 答：款玩偶购进个，款玩偶购进个； 【小问2详解】 设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得， ∵款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴随的增大而增大． ∴当时，（元）， ∴款玩偶为：（个）． 答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查列一元一次方程解实际问题的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键． 22. 如图，在正方形中，为的延长线上一点，连接，过点作，交的延长线于点． （1）尺规作图：在线段上求作一点，使； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 由题意，作图如下： （2） 证明：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，连接交于，证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题 问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少．近期有一条运营线路处于亏损运营状态． 问题探究 （1）公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图像如图1所示），写出图1中点A和点B的实际意义． （2）汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨扭亏方案．在讨论中，有乘客代表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本．客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能扭亏． 你认为图2和图3两个图示中，反映乘客代表意见的是_______，反映客运公司行政代表意见的是_______． 问题解决 汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内每天的乘客数量如下表所示： 星期 一 二 三 四 五 六 日 x/万人 1.4 1.1 1.1 1.3 1.4 1.4 1.4 经过讨论，得到三种扭亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元． 你认为哪种方案更有利于汽车客运公司扭转亏损？请说明理由 【答案】（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）图3，图2； （3）方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损， 该线路一周内乘客数量为（万人），每天乘客数量平均为（万人）， 设原来与的函数关系式为，把，代入， 得，解得， 原来与的函数关系式为； 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.8万元，此时与的函数关系式为， 令得， 客运公司平均每天利润为万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.8万元，此时， 令得， 客运公司平均每天利润为0.04万元； 方案3：将运营成本降低到0.9万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时， 令得， 客运公司每天平均利润为0.075万元； ， 方案3更有利于汽车客运公司扭转亏损． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出相关的函数关系式． （1）根据图像可得，的实际意义； （2）根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图像可得答案； （3）分别求出3中方案的利润，再比较即可． 【详解】解：（1）点的实际意义是客运公司的运营成本为1万元，点的实际意义是乘客有1.5万人时客运公司利润为0元； （2）观察图像可知，反映乘客代表意见的是图3，反映客运公司行政代表意见的是图2； 故答案为：图3，图2； （3） 略 24. 如图，在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，点在上且，连接并延长，交于点． （1）求的度数； （2）连接． ①当时，画出示意图，求证：，，三点在同一直线上； ②当时，画出示意图，求的值． 【答案】（1） （2） 解：①由题意，画图如下： ∵， ∴， ∵正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A，E，C三点在同一直线上； ②如图，作于点G，于点H，则 ， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，均为的长， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，则，所以，则，所以 ； （2）①由得到，根据平行线的性质得到，推出，进而得到，即可得到结论A，E，C三点在同一直线上； ②作作于点G，于点H，则 ，而 ，所以，则 ，可证明，得，可证明，得到平分，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 25. 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点．设直线交x轴于点D，过点B作AB垂线交直线于点P． （1）如图1，当时，求点P的坐标________； （2）当时，记点，点Q是y轴负半轴上一点，且，连接．试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． （3）动点M在直线x=3上，从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向上运动，连．在运动过程中，直线交x轴于点N，求出与的数量关系． 【答案】（1） （2）直线经过定点． （3）当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）先求得，得出，在y轴正半轴上取点，过点E作轴，使，且点F在第一象限，利用待定系数法得直线的解析式为即可解答； （2）过点P作轴于K，可证得，得出,即，由题意得，运用待定系数法可得直线的解析式为,由于时，，故直线经过定点； （3）设点M的运动时间为t秒，则，运用待定系数法可得直线的解析式为，可得，当时，点N在点D的右侧，可得，故；当时，点N在点D的左侧，可得，故． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， 如图1：在y轴正半轴上取点，过点E作轴，使，且点F在第一象限， ∴， 设直线的解析式为,把，代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：直线经过定点．理由如下： ∵直线与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 如图2：过点P作轴于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意知点P的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴， ∵点Q是y轴负半轴上一点，且， ∴， 设直线的解析式为,把代入， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵时，， ∴直线PQ经过定点． 【小问3详解】 解：如图，OB=OD=3，设点M的运动时间为t秒，则， 设直线的解析式为，则, ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴； 如图：当时，点N在点D的右侧， ∴, ∴， ∴ 又∵, ∴, ∴,即：； 如图：当时，点N在点D的左侧， 则， ∴， ∵， ∴，即． 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法、一次函数的图象和性质、一次函数与坐标轴的交点、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $