精品解析：山西省临汾市i部分学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

山西省临汾市部分学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请接题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. “是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，是水平放置的的直观图，，则（   ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 5 7. 如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据从小到大排列如下：1，2，m，6，7，且这组数据的中位数等于平均数，则（ ） A. B. 这组数据的分位数为1.5 C. 这组数据的方差为 D. 如果在这组数据中加入4这个数，得到的一组新数据的平均数不变 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（不包括端点），点是线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 若点是的中点，点是的中点，则平面 C. 若过直线PQ的平面平面，且平面与棱相交于点，则的面积的最大值为 D. 若，则且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，.若，则____________. 13. 已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 14. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数（其中为实数）为纯虚数. （1）求实数的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 16. 运动员小王进行两次射击训练，每次中靶的概率均为，若两次射击都中靶的概率为. （1）求的值； （2）求恰有一次中靶的概率； （3）求至少有一次中靶的概率. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边的中点，的面积为，求CD. 18. 2025年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于2025年5月～11月主办的赛事，赛事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”.苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和分位数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （3）在参赛成绩在和的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的参赛成绩都在内的概率. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省临汾市部分学校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请接题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式后可得，再利用补集定义计算即可得. 【详解】由可得，则， 则. 故选：B. 2. 下列函数中，是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数定义逐项判断即可得. 【详解】对A：令，则定义域为，， 故是奇函数，故A错误； 对B：令，则定义域为， ，故是奇函数，故B错误； 对C：令，则定义域为，， 故是偶函数，故C正确； 对D：令，则定义域为，， 故既不是奇函数也不是偶函数，故D错误. 故选：C. 3. “是有理数”是“是有理数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】借助充分条件与必要条件的定义判断即可得. 【详解】若是有理数，则是有理数， 若是有理数，如，此时不为有理数， 故“是有理数”是“是有理数”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 如图，是水平放置的的直观图，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法中的原图形与直观图之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意可知，，， 将直观图还原后如图， 则，，. 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和差正切公式计算即可求解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B 6. 若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能. 故选：D. 7. 如图，在中，为BC的中点，是线段AD上的一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，借助向量线性运算与可得，结合题目所给条件计算即可得. 【详解】设，则 ， 则有，解得. 故选：C. 8. 已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据从小到大排列如下：1，2，m，6，7，且这组数据的中位数等于平均数，则（ ） A. B. 这组数据的分位数为1.5 C. 这组数据的方差为 D. 如果在这组数据中加入4这个数，得到的一组新数据的平均数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可得. 【详解】对A：这组数据的中位数为，平均数为， 则，解得，故A错误； 对B：，，故这组数据的分位数为1.5，故B正确； 对C：， 故这组数据的方差为，故C正确； 对D：新的平均数为，故D正确. 故选：BCD. 10. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若为钝角，则 C. 当时，若，且是钝角三角形，则 D. 若，则满足条件的三角形有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：利用三角形内角性质结合余弦函数单调性计算即可得；对B：借助三角形内角性质与诱导公式计算即可得；对C：借助余弦定理的推论计算即可得；对D：借助余弦定理计算可得有两解，即可得解. 【详解】对A：由题意可得，又在上单调递减， 若，则，故A正确； 对B：若为钝角，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则，故， 设，则，，， 故， 即，化简得， 则，又，有，则，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 即，解得， 即有两解，故满足条件的三角形有两个，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点（不包括端点），点是线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 正方体的内切球的半径为 B. 若点是的中点，点是的中点，则平面 C. 若过直线PQ的平面平面，且平面与棱相交于点，则的面积的最大值为 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：正方体内切球的半径为棱长一半；对B：连接、，借助中位线的性质及线面平行判定定理即可得；对C：借助面面平行的性质定理可得、，则可得且，再表示出面积后借助基本不等式计算即可得；对D：连接点与线段上靠近点的三等分点，连接、，借助勾股定理计算可得、. 【详解】对A：由正方体的棱长为1，则其内切球的半径为，故A正确； 对B：连接、，则为线段的中点，故， 又平面，平面，故平面，故B正确； 对C：由平面平面，平面平面， 平面平面，则，则，即， 由平面平面，平面平面，则， 又，则，故，即， 又，即有， 又，故， 则， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对D：连接点与线段上靠近点的三等分点，连接、， 则，且， 由平面，则， 又平面，故， ， 则， ， 则有，，， 则，故， ， 则，又，， 则，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，.若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量坐标运算及数量积公式计算即可得. 【详解】，则，即. 故答案为：. 13. 已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设该圆台的高为，母线长为，上下底面半径分别为、， ，则， ，，则，， 则，故圆台的侧面积. 故答案为：. 14. 已知函数有3个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数性质得在上有一个零点，进而分析函数在有两个零点，然后利用二次函数零点分布列不等式组，即可求解. 【详解】当时，由，得，则在上有一个零点； 若有3个零点，则在时函数必有两个零点， 因为，所以函数在有两个零点， 当时，无零点，不合题意， 当时，由题意在有两个零点，且， 则需满足，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数（其中为实数）为纯虚数. （1）求实数的值； （2）若复数在复平面内所对应的点位于第三象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用复数乘法运算化简，再应用复数的列式求参； （2）代入得出复数，因为复数对应点在第三象限列出不等式，应用一元二次不等式计算求参. 【小问1详解】 复数为纯虚数. 即可得出； 【小问2详解】 复数，在复平面内所对应的点为， 因为点位于第三象限，所以，所以， 则. 16. 运动员小王进行两次射击训练，每次中靶的概率均为，若两次射击都中靶的概率为. （1）求的值； （2）求恰有一次中靶的概率； （3）求至少有一次中靶的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，即可求解； （2）分两种情况进行讨论，第一次中靶但第二次不中靶，第一次不中靶但第二次中靶，即可求解； （3）先求出两次都不中的概率，然后利用事件的对立关系即可求解. 【小问1详解】 由题知：两次射击都中靶的概率为， 则，又，解得. 故的值为. 【小问2详解】 恰有一次中靶分为两种情况：第一次中靶但第二次不中靶；第一次不中靶但第二次中靶 则恰有一次中靶的概率为：. 故恰有一次中靶的概率为：. 【小问3详解】 至少有一次中靶的对立事件为两次都不中靶， 两次都不中靶的概率为：， 则至少有一次中靶的概率为：. 故至少有一次中靶的概率为：. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边的中点，的面积为，求CD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，在结合余弦定理即可得解； （2）利用三角形的面积和余弦定理可得到和，再结合向量即可求解. 【小问1详解】 ，利用正弦定理得， 化简得，， ，； 【小问2详解】 的面积为，，， 在中，，由余弦定理得， 即，， 为边的中点，， ， . 18. 2025年江苏省城市足球联赛是由江苏省体育局和各设区市人民政府于2025年5月～11月主办的赛事，赛事主题口号为“城市荣耀，绿茵争锋”.苏州某高中为了通过比赛彰显地域特色与足球魅力，组织学生进行江苏城市特色和足球知识竞赛，根据参赛学生的成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求学生参赛成绩的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据频率分布直方图，求本次学生参赛成绩的平均数和分位数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （3）在参赛成绩在和的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生的参赛成绩都在内的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，分位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助众数定义计算即可得； （2）借助平均数与百分位数定义计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名学生中参赛成绩在与的人数，再借助列举法即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，参赛学生的成绩位于中的人数最多， 故学生参赛成绩的众数为； 【小问2详解】 ； 设本次学生参赛成绩的分位数为， 则由， ， 故分位数位于之间， 则有，解得； 【小问3详解】 ，， 则这6名学生中参赛成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名学生中参赛成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名学生的参赛成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名学生的参赛成绩都在内的概率为. 19. 如图，在三棱柱中，平面，，是棱AB上的一点，且满足与相交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：， ，则 ， 则，故， 由平面，，则平面， 又平面、平面，故，， 又，则，故四边形为正方形，则， 又，、平面，故平面， 又平面，故， 又、平面，且，故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理于勾股定理的逆定理可得，再来利用线面垂直的性质定理与正方形的性质可得、，则可得平面； （2）作出二面角的平面角，结合三角函数定义与勾股定理算出各边长度，最后借助余弦定理的推论计算即可得解； （3）取线段上靠近点的三等分点，则等于直线与平面所成角，再计算、后可得，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，过点作，交于点， 则即为二面角的平面角， 由，则， 则，则有， ，则有， ，则有， ，则有， ， 则， 故， 即二面角的余弦值为； 【小问3详解】 取线段上靠近点的三等分点，连接，连接， 由，则，由（1）知平面， 故等于直线与平面所成角， 由平面，则， ， ， 则， 则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $