广东省云浮市2024-2025学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

云浮市2024一2025学年第二学期高中教学质量检测 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册，不等式，函数与导数。 國 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 蜘 1.集合A={-2,-1,0,1,2},B={xx2+x-6<0},则A∩B A.{0,1} B.{0,1,2 邮 C.{-2,-1,0,1 D.{-2,-1,0,1,2} 数 2.曲线y=x3十ax在x=1处的切线斜率为2，则a= 长 A.-1 B.1 C.0 D.e 3.在(1+x)”的展开式中，含x2的项的系数为 A.84 B.42 C.21 D.7 4.已知a=log,21,b=1og618,c=1og515,则 都 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a ax“,x≥1， 5.已知a≠0，函数f(x)= (2-a)x-1,x<1 在R上是单调函数，则a的取值范围是 菌 A.(0,1) A[) C.(1,2) D[,2 6.已知一组样本点(x:y:)(i=1,2,3,,10)组成一个样本，得到的经验回归方程为y=2x十 1,且其平均数x=3.5,若增加两个样本点(0,3)和(1,4)，得到新样本的经验回归方程为y= 2.5x十a,则a= A.0.25 B.-0.25 C.0.5 D.-0.5 7.假设某厂包装食盐的生产线，生产出来的食盐质量服从正态分布N(500,52)(单位：g),该生 产线上的检测员某天随机抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低于500g的概率为 A号 B c n吉 器 8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x十y)>f(x)·f(y),且f(1)=2,则下列结论一定 正确的是 A.f(10)>10 B.f(20)>105 C.f(10)<10 D.f(20)<10 【高二数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.小张同学收集了某商品销售收入y(单位：万元)与相应的广告支出x(单位：万元)共10组数 据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合.她将图中10个点中的A点 去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是 ↑销售收人y/万元 601 50 40 30F ●A 20 01.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5广告支出x/万元 A.决定系数R2变大 B.残差平方和变大 C.相关系数r的值变大 D.去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数R2=1 10.已知函数fx)=专-4z十4，则 A.f(x)的图象关于点(0,4)对称 B.f(x)的极大值点为(-2，)》 Cfx)在区间[0,3]上的值域为[-号，4] D.若关于x的方程f(x)十t=0有两个不相等的实数根，则实数t的值为号 11.已知函数f(x)=x2十asin x十2，则下列说法正确的是 A.存在实数a,使得f(x)的图象关于y轴对称 B.存在实数a∈[-2,2]，使得f(x)有零点 C当a=-2时，f(x)在[0，]上的最小值小于4 D当a=-2时，Vx∈[0，]，fx)> 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若函数f(1-)=2,则f(2=△ 13.已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数，当x1,x2∈R且x1≠x2时，都有 fx)-fx:0成立，则不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为 x1一x2 14.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列. ①某信号是由3个1和3个0组成，则3个0不相邻的信号有 ▲种； ②某信号是一个6位的序列，则含有连续子序列101的序列有 ▲个.（例如 101001,110100符合题意) 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某工厂生产了两批次某种产品，现从这两批次产品中共抽取8O0件进行检测，其中第一批次 的产品占了号检测数据如下，第一批次的次品件数与第二批次的次品件数相同，在合格品 中，第二栽次的合格品占了景 (1)根据题中信息，完成下面列联表； 单位：件 产品检测结果 生产批次 合计 次品 合格品 第一批次 第二批次 合计 800 (2)根据小概率值α=0.005的X独立性检验，能否认为产品检测结果与生产批次有关联？ n(ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n-a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.005 0.001 Ta 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 已知函数f(x)=2ax2十3ln. 1)当a=一时，求fx)的极大值： (2)讨论f(x)的单调性： ③若f-昌a 一8，求实数a的取值范围。 17.(15分) 已知甲袋子装有编号分别为1,2,3的三个红球和编号分别为1,2,3的三个白球（小球除编 号、颜色外完全相同) (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记事件A为“摸到的两个小球颜色相同”，事件B为“摸 到的两个小球的编号之和大于4”，判断A,B是否相互独立，并说明理由. (2)现从甲袋中不放回地摸球，直到摸出所有白球，则停止摸球. (1)若每次摸出一个小球，求恰好摸四次就停止摸球的概率； (ⅱ)若每次摸出两个小球，求恰好摸两次就停止摸球的概率. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 小明参加答题闯关游戏，需要从A,B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺 序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A,B两个题库 21 中题目的概率依次为了，2，每次回答问题是否正确相互独立。 (1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的 概率为子 (1)求小明恰好获得100元奖金的概率； (Ⅱ)求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率 (2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大， 第一题应该回答哪个题库中的题目？ 进 烯 19.(17分) 我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数之=f(x,y),若存在正数m, n(m≠n)满足f(m,n)=f(n,m),f(m,n)+f(n,m)>2f(1,1),则称f(x,y)具有性质 T.已知二元函数f(x,y)=x十lny. (1)若f(一x,x)≤a恒成立，求a的取值范围. (2)已知正数m,n(m≠n)满足f(m,n)=f(n,m). (1)证明：mn<1 (iⅱ)证明：f(x,y)具有性质T. 【高二数学第4页（共4页）】 云浮市2024一2025学年第二学期高中教学质量检测 高二数学参考答案 1.C由题意得B={x|x2十x一6<0}={x|-3x<2},所以A∩B={-2,-1,0,1}. 2.A由y'=3.x2十a,得曲线y=x十ax在x=1处的切线斜率为3十a,所以3十a=2,得a= -1. 3.C在(1十x)的展开式中，含x2的项的系数为C号=21. 4.Aa-log221-1十log23,b=log618-1十1og63,c-log15=1十1og3,所以a<b<c. 5.D因为当a>0时，a.x“在[1，十∞)上单调递增，当a<0时，a.x“在[1，十o∞)上单调递增，所 2-a>0, 以f(x)在R上是单调的增函数.故{ 2-a-1≤a, 解得)<a<2 6.B由题可知原数据y=2X3.5十1=8，则新样本的平均数7=10X3.5+0+1=3,y 12 8X10+8+4=7.25,所以a=7.25-2.5×3=-0.25. 12 7.A每包食盐的质量不低于500g的概率为)，抽取了四包食盐，则恰有两包食盐的质量不低 于50g的概率为c(分)(1-》°-是 8.B令y=1,则f(x+1)>f(x)·f(1)=2f(x),所以f(10)>2f(9)>2f(1)=20= 1024,故A,C错误； 令x=y=10,则f(20)>[f(10)]>1024×1024>10°，故选B. 9.ACD由散点图可知，A点较其他点偏离直线更远，去掉A点后，回归效果更好，残差平方和 变小，决定系数R变大；自变量x与因变量y的相关性变强，又x与y正相关，所以相关系 数r的值变大：当所有散点都在一条直线上时，残差平方和为0，决定系数R=1.故ACD 正确. 10.AC因为函数g(x)=3x-4虹为奇函数，其图象关于原点(0,0)对称，把函数y=g(x) 的图象向上平移4个单位长度得到y=f(x)的图象，所以A正确， 因为fx)=子2-4r十4，所以f'x)=x2-4=(x+2x-2》, 令f'(x)=0,解得x=一2或x=2, 当x<一2时，f'(x)>0,f(x)单调递增，当一2<x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 当x>2时，f(x)>0,f(x)单调递增，故f(x)的极大值点为x=一2，B错误. 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 又fc)的极大值为(-2)-极小值为f2)=-音，f(0)=4,f8)=1, 所以f)在区间[o.3]上的值域为[-专，4]，C正确 画出函数了x)=子-红十4的图象，如右图所示， 由f(x)+t=0得f(x)=-t, 若关于x的方程f(x)十t=0有两个不相等的实数根，则函数y =f(x)的图象与直线y=一t有两个交点， 由图象知一1=一 或号所以1的值为或罗，D结误。 28 11.ACD当a=0时，f(一x)=f(x),此时f(x)的图象关于y轴对称，A正确， 一asin x≤a≤2，又x+2≥2，当且仅当x=0时，等号成立，所以关于x的方程x2十2= 一asin z无解，B错误. 当a=-2时，f(x)=x2-2sinx+2,其中0<x≤，则f'(x)=2x-2c0sx 因为函数y=2x,y=一2c0sx在[0，]上均为增函数，所以函数f'(x)在[0，]上为增 函数.因为f()=号-20s吾-号5<0f()=受2os=受2>0， 所以存在x∈（石，T）,使得f(x)=2x。一2c0sx0=0,则cosx=x 当0≤x<,时，f(x)<f(x)=0,当xo<x≤时，f(x)>f'(x)=0, 所以f(x)在[0，x)上单调递减，在(x,]上单调递增， 所以f(x)m=f(xn)=xi-2 sin zo+2=cos2xn-2sinx0十2=1-sinx0-2 sin o十2= -sino-2sin xo+3=-(sin zo+1)2+4. 因为E(倍)所以时，<号则号<n十11+号 2 所以<(sm+1)<+厄，所以f)=-(n+1)+4(号-厄，)，且 (号-E,)(号，)，CD正确， 12.号令x=-1,则f2)=2 13.(一，一1D当1x,∈R且，≠，时，都有)f>0成立，则f(x)在R上单 xI-x2 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 调递增.又f(x+1)是定义在R上的奇函数，所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.由不 等式f(-3x)+f(2x+1)>0,可得-3.x+2x+1>2,解得x<-1,故不等式f(-3x)+ f(2x十1)>0的解集为(-o∞，-1). 14.4:27①3个0不相邻的信号有C=4种. ②考虑出现子序列101时，可能出现的位置有4个，依次对应的序列放入集合A1,A2,A, A,中(101XXX,X101XX,XX101X,XXX101),记|A,为集合A,中元素的个数，则|A, =23=8(i=1,2,3,4),再考虑重复的序列，A,∩A,41|=0(i=1,2,3),A,∩A+2=2(i= 1,2),|A∩A,|=1,任意多于2个集合的交集均为空集，所以含有连续子序列101的序列 有4×8-2×2-1=27个. 5.解：()从第-批次的产品中抽取了800X号=320件，…1 从第二批次的产品中抽取了800一320=480件.…2分 设第二批次的合格品有5x件，则第一批次的合格品有3x件，…3分 故320-3.x=480-5.x,解得x=80. …4分 列联表如下： 单位：件 产品检测结果 生产批次 合计 次品 合格品 第一批次 80 240 320 第二批次 80 400 480 合计 160 640 800 6分 (2)提出零假设H。:产品检测结果与生产批次没有关联. 由X:_800X(80X400-240X80) 160×640×480×320 ≈8.333>7.879=x0.005,…10分 根据小概率值α=0.005的X独立性检验，推断H。不成立， 即产品检测结果与生产批次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.…13分 当a=时，f(x)三号72+3nx, f(x)的定义域为(0，十o∞)，f'(x)=-x+3=二r2+3 …2分 令f'(x)=0,得x=√5. 当0<x<3时，f'(x)>0,当x>√3时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0，√3)上单调递增，在(3，十o∞)上单调递减.…4分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 故当x=3时，f(x有极大值，且极大值为f3)=-多+多1n3.…5分 2 2 (2)f(x)的定义域为(0，十oo),f'(x)=4ax+ 3_4ax2+3 …6分 x 当a≥0时，f'(x)>0,f(x)在(0，十0∞)上单调递增.…7分 当a<0时，令f'(x)=0,得x= 3或x=√ 3 4a (舍去). 当ze(o)时>0,当xe(品+时fx0 所以f(x)在(0y 高)上单，在（+上单调 9分 综上，当a≥0时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0 3 Aa )上单调递 增，在（√厂十o)上单调递减… 10分 (3)由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增，当x→十o∞时，f(x)·十∞， 故)<多。器不成立 …11分 当a<0时f=f√厂)=+3n√厂=+n(-). …12分 13分 令ga)-a+是+n(-）.则g(-)=0,故ga)g-) …14分 易知函数ga)=a+子+ln(-)在(-o,0)上单调递增，故a≤- 综上，实数a的取值范围是(-○，一是] …15分 C+C 2 17.解：(1)P(A)= C …2分 P(B)= CC+C 1 C哈 3 …4分 P(AB)= 22 15' …6分 因为P(AB)=P(A)P(B),所以A,B相互独立.…7分 CCA 3 (2)(ⅰ)若每次摸出一个小球，则恰好摸四次就停止摸球的概率为 A 20 …11分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 (ⅱ)若每次摸出两个小球，则恰好摸两次就停止摸球的概率为 CC:+CC_1 。。。 CC 15分 18.解：1(1)小明恰好获得100元奖金的概率为×号×1-)+子××(1-号)- …4分 (ⅱ)记事件A为“小明答对第一题”，事件B为“小明答对第二题”， …6分 PAB)=x号x+×号- ,21 …8分 小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率为P(BA)= P(AB)8 P(A)15 …10分 (2)若小明第一题回答A题库中的题目，则最后获得奖金X的所有取值可能为0,100,300. px-0-X-1o0-号x1)-pX-0-号x- 所以E0X)=0X号+100×号+30X号-409 3-3 …13分 若小明第一题回答B题库中的题目，则最后获得奖金Y的所有取值可能为0,100,300. PY=0)=2,PY=10)=含×(1-号)=6PY=80)=号×号-含 所以EYm=0X号+10×8+300×3-30. …16分 3 因为E(X)>E(Y),所以小明第一题应该回答A题库中的题日.…17分 19.(1)解：f(-xx)=-x+lnx,令g(x)=lnx-x,则g'(x)=1-1=1 …1分 令g'(x)=1二2<0，得>1，令g(x)=12>0,得0<x<1, 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十○)上单调递减，…2分 所以g(x）mx=g(1)=1,…3分 所以a≥一1，即a的取值范围为[一1，十0∞).…4分 (2)证明：(1)正数m,n满足f(m,n)=f(n,m),则m十lnn=n十lnm,故lnn一n=lnm m,g(n)=g(m).…5分 不妨设m<n,则由(1)知0<m<1<n,0<1<1. 构造函数Fx)=g(）-gx)=x--2n, 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 则F'6)=1计}兰-1少≥0.所以函数F)在0，十∞)上单调送增，…7分 所以当x>1时，F(x)>F(1)=0,即当x>1时，g()>g(x),… …8分 所以gm)=g()<g(月)， 又g(x)在(0,1)上单调递增，所以0<m<<1,即mn<1.…10分 】 (i)正数m,n满足f(m,n)=f(n,m),则m十lnn=n十lnm, 要证f(m,n)十f(n,m)>2f(1,1),只需证(m+lnn)+(n十lnm)>2,即证n十lnm>1. …11分 不妨设m<n,则m一lnm=n一lnn, 两边取指数得eh"=e,化简得S一￡ 设h(x)=g,则h(m)=h(n). 由'(x)=eD,得h(x)在(-0,0,0,1D上单调递减，在(1， 十∞)上单调递增（如图所示），要使h(m)=h(n)且m≠n, 则0<m<1,n>1,即0<m<1<n,从而n>1,1-lnm>1.…12分 要证n十lnm>l,只需证n>1-lnm. 由于h(x)在(1，+o)上单调递增，因此只需证h(n)>h(1-lnm), 又h(m)=h(n),所以只需证h(m)>h(1一lnm),…13分 e 所以”、enm n-nm1-nm,则e1-nm)>e 77 …14分 设ea)=e1-lnx)0<r<1D,则g'(x)=e(1-lnx-）. 设1x)=1-nx是则r(x)=+->04x)在0,1D上单调递增. 所以x)1)=0,从而p'(x)=e(1-lhx-）<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递减，从而g(x)>g(1)=e,则o(m)=e"(1一lnm)>e, 所以n十lnm>l,故f(x,y)具有性质T.…17分 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】