4.1认识三角形　暑假巩固复习练习　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第四章《三角形》 1.认识三角形 知识点复习 认识三角形 1. 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 3. 三角形分类： 按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 按边分：等腰三角形、等边三角形 4. 直角三角形性质：两个锐角互余 5. 三角形三边关系： 任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 6. 三角形的重要线段： 高：顶点到对边的垂线段 中线：顶点到对边中点的线段 角平分线：平分内角的射线与对边交点之间的线段 7. 三角形的重心：三条中线的交点 知识点练习 一、选择题练习 1．小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意，作AB边上的高即过点C向边AB引垂线，垂足为D，作图正确的是： 故选：D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【解答】解：A、∵3+4＝7＞5， ∴3，4，5三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵5+4＝9， ∴4，5，9三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵5+12＝17＜18， ∴5，12，18三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵7+15＝22＜23， ∴7，15，23三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 3．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形． 故选：C． 4．若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（　　） A．4 B．5 C．8 D．13 【解答】解：设三角形第三边的边长是x， 由三角形三边关系定理得到：9﹣4＜x＜9+4， ∴5＜x＜13， ∴三角形第三边的边长可以是8． 故选：C． 5．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，则∠BEF＝（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 【解答】解：如图，过G作GQ∥CD， ∵GQ∥CD，∠MNP＝45°， ∴∠QGN＝∠MNG＝45°， ∵AB∥CD， ∴GQ∥AB； ∴∠AEG＝∠EGQ， ∵∠EGF＝90°， ∴∠EGQ＝∠EGF﹣∠QGN＝45°， ∴∠AEG＝∠EGQ＝45°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于点E，∠ABE＝25°， ∴∠ABD＝2∠ABE＝50°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°， 故选：A． 7．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 8．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 【解答】解：如图，连接BD， 在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm， 在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm， 所以5cm＜BD＜11cm． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．若∠AEC＝80°，∠DFC＝52°，则∠ABC的度数是（　　） A．28° B．38° C．42° D．62° 【解答】解：由条件可知∠FDC＝90°， ∴∠FCD＝90°﹣∠DFC＝90°﹣52°＝38°， 由条件可知∠ECB＝∠DCF＝38°， ∴∠ABC＝∠AEC﹣∠ECB＝80°﹣38°＝42°， 故选：C． 10．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【解答】解：∵将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合， ∴由折叠可知：∠PDE＝∠ADE，∠PED＝∠AED， ∴∠1+2∠ADE＝180°，∠2+2∠AED＝180°． ∴∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED）＝360°， 又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A， ∴∠1+∠2+2（180°﹣∠A）＝360°，即， ∵，，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题练习 11．如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 　2＜x＜12　 ． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：7﹣5＜x＜7+5， ∴2＜x＜12． 故答案为：2＜x＜12． 12．在△ABC中，若∠C＝60°，∠B＝2∠A，则∠A＝　40　 °． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝2∠A， ∴∠A+∠B+∠C＝∠A+2∠A+60°＝180°， ∴∠A（180°﹣60°）＝40°． 故答案为：40． 13．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC＝　70°　 ． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝40°， ∴∠B+∠ACD＝140°， ∴∠EAC∠FAC（∠B+∠ACD）＝70°． 故答案为：70°． 14．如图，直线a∥b，点A在直线a上，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝25°，∠1＝75°，则∠2的度数为 　40°　 ． 【解答】解：如图所示： ∵∠B＝90°，∠C＝25°， ∴∠BAC＝90°﹣25°＝65°， ∵∠1＝75°， ∴∠GAC＝180°﹣65°﹣75°＝40°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠GAC＝40°， 故答案为：40°． 15．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|的结果为 　2a　 ． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a| ＝a+b﹣c+[﹣（b﹣c﹣a）] ＝a+b﹣c﹣b+c+a ＝2a． 故答案为：2a． 16．如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝35°，∠C＝75°，则∠DAE＝ 　20°　 ． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝35°，∠C＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣75°＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC70°＝35°． ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝180°﹣∠AEB﹣∠B＝180°﹣90°﹣35°＝55°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣35°＝20°． 故答案为：20°． 17．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm． 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 18．如图，将△ABC沿DE折叠，使A点落在点F处． 嘉嘉认为此题∠A与∠1，∠2的关系为：∠1+∠2＝2∠A 淇淇认为此题∠A与∠1，∠2的关系为：∠1+∠2＝∠A 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为∠A与∠1，∠2的关系是 　∠1﹣∠2＝2∠A　 ． 【解答】解：如图，由折叠可得，∠F＝∠A， 由条件可知∠AGD＝∠2+∠A， 由条件可知∠1＝∠A+∠2+∠A， 即∠1﹣∠2＝2∠A， 故答案为：∠1﹣∠2＝2∠A． 19．若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　2（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∵a、b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝3，b＝2， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5， ∴第三边长c可能是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 20．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　35　 °． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴Rt△ABD中，90°﹣∠B＝∠BAD， 又∵90°﹣∠FCB＝∠BAD， ∴∠FCB＝∠B， ∴EF∥AB， ∴∠ECG＝∠BGC＝70°， ∵∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N， ∴∠BCN∠BCE，∠BCM∠BCG， ∴∠MCN＝∠BCN﹣∠BCM（∠BCE﹣∠BCG）∠ECG70°＝35°， 故答案为：35． 三、解答题练习 21．△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数． 【解答】解：设∠A＝4x，∠B＝5x， 则∠C＝180°﹣4x﹣5x＝180°﹣9x， ∵∠B+∠C＝2∠A， ∴5x+180°﹣9x＝2×4x， 解得x＝15°， ∴∠A＝4×15°＝60°，∠B＝5×15°＝75°，∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°， 综上所述，三角形中各角的度数为∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°． 22．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数． （1）求△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状． 【解答】解：（1）由题意得：5﹣2＜AC＜5+2， 即：3＜AC＜7， ∵AC为奇数， ∴AC＝5， ∴△ABC的周长为5+5+2＝12； （2）∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 23．如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2＝180°，求证：∠AGF＝∠ABC． 【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AFB＝∠AED＝90°， ∴BF∥DE， ∴∠2+∠3＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3， ∴GF∥BC， ∴∠AGF＝∠ABC． 24．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：b﹣a＜c＜b+a， ∵a＝6，b＝7， ∴7﹣6＜c＜7+6， ∴1＜c＜13． （2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c ＝2c﹣2a． 25．如图，在三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为D，点E在AB边上，EF⊥AC，垂足为F，∠1＝∠2，G是BC边上一点． （1）判断AB与DG是否平行，并说明理由． （2）如果∠A＝40°，∠3＝100°，求∠CBD的度数． 【解答】解：（1）AB∥DG，理由如下： ∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴BD∥EF， ∴∠ABD＝∠1， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABD＝∠2， ∴AB∥DG； （2）∵EF⊥AC， ∴∠AFE＝90°， ∴∠1＝180°﹣∠AFE﹣∠A＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠2＝∠1＝50°． ∵∠3是△BDG的外角， ∴∠CBD＝∠3﹣∠2＝100°﹣50°＝50°． 26．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝3+AD+CD，△ACD的周长＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴△BCD的周长﹣△ACD的周长＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． 故答案为：1． （2）CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE∠ABC62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 27．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 【解答】（1）证明：∵FG∥AE， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD． （2）解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D＝180°， ∵∠D＝100°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝80°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4∠ABD＝40°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣40°＝50°． 28．如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝　15　 °； （2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝　30　 °； （3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）； （4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 　∠AOC＝2∠DOE　 ． 【解答】解：∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝15°． 故答案为：15； （2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝30°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝30°． 故答案为：30； （3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α（90°＜α＜180°）， ∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝α﹣90°， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴； （4）设∠AOC＝x（0°＜x＜180°）， ①如图1，图2，当0°＜x≤90°时， ∵∠AOB＝90°，∠AOC＝x， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣x， ∵OE平分∠BOC， ∴， ∵∠COD＝45°， ∴， 即∠AOC＝2∠DOE； ②如图3，当90°＜x＜180°时， 同（3）可得：， 则∠AOC＝2∠DOE； 综上，∠AOC与∠DOE的数量关系为∠AOC＝2∠DOE， 故答案为：∠AOC＝2∠DOE． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第四章《三角形》 1.认识三角形 知识点复习 认识三角形 1. 三角形的定义：由 的三条线段 组成的图形 2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 。 3. 三角形分类： 按角分： 、 、 。 按边分： 、 。 4. 直角三角形性质：两个锐角 。 5. 三角形三边关系： 任意两边之和 第三边 任意两边之差 第三边 6. 三角形的重要线段： 高：顶点到对边的 。 中线：顶点到对边 的线段 角平分线：平分内角的射线与 之间的线段 7. 三角形的重心：三条 的交点 知识点练习 一、选择题练习 1．小涵求△ABC的面积时，作了AB边上的高，下列作图正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 3．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 4．若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（　　） A．4 B．5 C．8 D．13 5．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°，则∠BEF＝（　　） A．60° B．75° C．80° D．85° 6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 7．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 8．如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，CE是∠ACB的平分线，BD，CE交于点F．若∠AEC＝80°，∠DFC＝52°，则∠ABC的度数是（　　） A．28° B．38° C．42° D．62° 10．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合，若∠1+∠2＝80°，则∠BPC的度数是（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 二、填空题练习 11．如果△ABC的两边长分别为5和7，那么第三边x的取值范围是 　 　 ． 12．在△ABC中，若∠C＝60°，∠B＝2∠A，则∠A＝　 　 °． 13．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，则∠EAC＝　 　 ． 14．如图，直线a∥b，点A在直线a上，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝25°，∠1＝75°，则∠2的度数为 　 　 ． 15．已知a，b，c是△ABC的三边长，化简|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|的结果为 　 　 ． 16．如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝35°，∠C＝75°，则∠DAE＝ 　 　 ． 17．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 18．如图，将△ABC沿DE折叠，使A点落在点F处． 嘉嘉认为此题∠A与∠1，∠2的关系为：∠1+∠2＝2∠A 淇淇认为此题∠A与∠1，∠2的关系为：∠1+∠2＝∠A 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为∠A与∠1，∠2的关系是 　 　 ． 19．若a，b，c为三角形三边长，且a，b满足|a﹣3|+（b﹣2）2＝0，则第三边长c可能是 　 　 ． 20．如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，直线EF过点C，且90°﹣∠FCB＝∠BAD，点G为线段AB上一点，连接CG，∠BCG与∠BCE的角平分线CM、CN分别交AD于点M、N，若∠BGC＝70°，则∠MCN＝　 　 °． 三、解答题练习 21．△ABC中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数． 22．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝2，且AC为奇数． （1）求△ABC的周长； （2）判断△ABC的形状． 23．如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∠1+∠2＝180°，求证：∠AGF＝∠ABC． 24．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 25．如图，在三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为D，点E在AB边上，EF⊥AC，垂足为F，∠1＝∠2，G是BC边上一点． （1）判断AB与DG是否平行，并说明理由． （2）如果∠A＝40°，∠3＝100°，求∠CBD的度数． 26．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 27．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2． （1）求证：AB∥CD； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠1的度数． 28．如图，已知∠AOB＝90°，三角形COD是含有45°角的三角板，∠COD＝45°，OE平分∠BOC． （1）如图1，当∠AOC＝30°时，∠DOE＝　 　 °； （2）如图2，当∠AOC＝60°时，∠DOE＝　 　 °； （3）如图3，当∠AOC＝α（90°＜α＜180°）时，求∠DOE的度数（用α表示）； （4）由前三步的计算，当0°＜∠AOC＜180°时，请直接写出∠AOC与∠DOE的数量关系为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$