精品解析：浙江省杭州市开元中学2024-2025学年下学期期中考试七年级数学试卷

杭州市开元中学2024学年第二学期七年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 如图，的同旁内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同旁内角的定义．直接根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：的同旁内角， 故选：B． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可得四个选项中只有D选项中的方程是二元一次方程， 故选：D． 3. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】是绝对值小于1的正数，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此可得． 【详解】0.00000065=6.5×10−7 故选：B 【点睛】本题考查的是绝对值小于1的正数如何用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可，能理解公式的特点是解此题的关键． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即（1）同位角相等两直线平行，（2）内错角相等两直线平行，（3）同旁内角互补两直线平行． 根据平行线的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵(同旁内角互补，两直线平行)，不符合题意； B、∵(内错角相等，两直线平行)，不符合题意； C、∵(同位角相等，两直线平行)，不符合题意； D、∵(同位角相等，两直线平行)，不能证出，符合题意； 故选：D． 6. 若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据关于的多项式的结果中不含项，可得含项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式的结果中不含项， ∴， 解得． 故选：D． 7. 将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据三角板的特点得到，，再由平行线的性质得到，然后由平角的定义可得答案． 【详解】解：如下图， 由题意得，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设用张铁皮做盒身，张做盒底，共有铁皮180张，因此第一个方程为：；盒底数量是盒身的2倍，则第二个方程为，据此可得答案． 【详解】解：设用张铁皮做盒身，张做盒底， 由题意得，， 故选：B． 9. 如图，在中，，把沿射线方向平移4.5个单位至处，与交于点M．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得到，，，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵沿射线方向平移4.5个单位至处， ∴，，， ∴， 即， ∴． 故选：A． 10. 如图，已知长方形，将三个完全相同的长为、宽的长方形放入其中，其中他们的重叠部分是两个相同的正方形，则阴影部分①周长与阴影部分②的周长之和为（ ） A. B. C. D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示的长． 设两个相同的小正方形正方形边长为，由图可得，而，即可得，求出①的周长为，②的周长为，即可得到答案． 【详解】解：设两个相同的小正方形正方形边长为， 由图可知，， ， ， ， ， ， ∴①的周长为， ②的周长为， ∴阴影部分的周长为， 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代入消元法．将x看成已知数，变形即可． 【详解】解：移项，整理得： ， 故答案为：． 12. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，∠1=40°，则∠2= °. 【答案】70° 【解析】 【分析】由平行线的性质可知∠AEF=∠1，由折叠的性质可知,∠HEG=∠GEB,再根据∠AEF +∠FEB=180°，求出∠FEG，在△EFG中由三角形内角和定理得到∠2的值． 【详解】如图，由平行线的性质，得∠AEF=∠1=40°， 由折叠的性质，得∠HEG=∠GEB， ∵∠AEF+∠FEB=180°， ∴∠FEB =140°， ∴∠HEG=70°， ∴∠2=70°. 故答案为70°． 【点睛】此题考查折叠的性质，平行线的性质．解题关键是明确∠CBD与∠ABD的互补关系． 13. 若是关于x，y的二元一次方程，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：一是方程中只含有2个未知数；二是含未知数的项的最高次数为一次；三是方程是整式方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故答案为：1． 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据多项式除单项式乘的运算法则计算即可． 【详解】解：∵一个多项式乘以所得的结果是， ∴这个多项式， 故答案为：． 16. 图1是一盏可折叠台灯。图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB，BC为固定支撑杆，∠A是∠B的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节.现把灯体CD从水平位置旋转到CD’位置(如图2中虚线所示)，此时，灯体CD’所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD-∠DCD’=126°，则∠DCD’=_________. 【答案】36° 【解析】 【分析】延长OA交CD于点F，延长交AB于点G，则，得到，在四边形ABCF中，利用四边形的内角和为360°，列出等式，即可求出的度数． 【详解】解：延长OA交CD于点F，延长交AB于点G，如图： ∵CD//OE， ∴OA⊥CD， ∵AO⊥OE，⊥AB， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在四边形ABCF中，有 ， ∴， 解得：； 故答案为：36°．∴OA⊥CD 【点睛】本题考查了四边形的内角和的应用，同角的补角相等，邻补角的定义，几何图形中角度的和差关系，解题的关键是正确的作出辅助线，利用四边形的内角和为360°进行解题． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 得：， 得：， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得， 故原方程组的解是：． 19. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算即可，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 20. 如图所示，、相交于点，是上一点，是上一点，且． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据可得，进一步推得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）过点F作，由（1）可知，，推出，进而得到，由即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作， 由（1）可知，， ， ， ，即的度数为． 21. 在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若，，求的值． 解：，， ，． 即． ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，则的值为______；的值为______； （2）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形，若，两正方形面积的和为25，设，，求的面积； （3） 【答案】（1）13，17 （2）14 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据题意，，，代入计算即可解答； （2）根据题意可知，，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ，， ∴，． 故答案为：13，17； 【小问2详解】 解：设，， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 23. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 【答案】任务1：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元； 任务2：在大家初步意向下所需花费的最少门票总额960元； 任务3：共有2种购买方案，方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票；方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数混合运算的应用、二元一次方程的应用等知识点，正确建立方程组和代数式是解题关键． 任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据两种购买方案所需金额列出方程组求解即可； 任务2：直接根据意义列式，然后根据有理数的四则混合运算计算即可； 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票，根据预算可得，最后根据n为正整数进行列举分析即可解答． 【详解】解：任务1：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元， ，解得：． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价40元． 任务2： 任务3：设购买A场馆门票m张，B场馆门票n张，则购买C场馆门票， 依题意得： ， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或． ∴共有2种购买方案， 方案1：购买10张A场馆门票，4张B场馆门票，6张C场馆门票； 方案2：购买5张A场馆门票，8张B场馆门票，12张C场馆门票． 24. 综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． （1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） （2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】（1） （2） （3）存在，射线与相交所夹锐角的度数为或 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）由，得，再由得，由此根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点作，依题意得，，证，根据平行线的性质得，，进而得，由此可求出，然后根据邻补角的定义可得的度数； （3）分两种情况讨论如下：①当点在上方时，设交于点，设，则，根据得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数；②当点在下方时，延长交于点，设，则，进而得，由得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数，综上所述即可得出射线与相交所夹锐角的度数． 【小问1详解】 解：，， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （邻补角概念）； 【小问3详解】 解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市开元中学2024学年第二学期七年级期中教学质量检测 数学学科问卷 考生须知： 1．试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．本卷答案必须做在答题卷（卡）相应的位置上，做在试卷上无效． 3．请用2B铅笔、钢笔或圆珠笔将相关内容填涂在答题卷（卡）的相应位置上． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分） 1. 如图，的同旁内角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度减小，在芯片上的某种电子元件大约只占，将用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4. 下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5 7. 将一副三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则图中的大小为（　　） A. B. C. D. 8. 现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，把沿射线方向平移4.5个单位至处，与交于点M．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知长方形，将三个完全相同的长为、宽的长方形放入其中，其中他们的重叠部分是两个相同的正方形，则阴影部分①周长与阴影部分②的周长之和为（ ） A. B. C. D. 400 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知方程，用含的代数式表示，则________． 12. 如图，将一条两边沿互相平行的纸带按如图折叠，∠1=40°，则∠2= °. 13. 若是关于x，y的二元一次方程，则______． 14. 若，则______． 15. 已知一个多项式乘以所得的结果是，那么这个多项式________． 16. 图1是一盏可折叠台灯。图2为其平面示意图，底座AO⊥OE于点O，支架AB，BC为固定支撑杆，∠A是∠B的两倍，灯体CD可绕点C旋转调节.现把灯体CD从水平位置旋转到CD’位置(如图2中虚线所示)，此时，灯体CD’所在的直线恰好垂直支架AB，且∠BCD-∠DCD’=126°，则∠DCD’=_________. 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，，． 20. 如图所示，、相交于点，是上一点，是上一点，且． （1）试说明：； （2）若，，求的度数． 21. 在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22. 完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如： 若，，求的值． 解：，， ，． 即． ． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）若，，则的值为______；的值为______； （2）如图，是线段上的一点，分别以为边向两边作正方形，若，两正方形面积的和为25，设，，求的面积； （3） 23. 根据以下素材，探索完成任务： 如何设计购买方案？ 素材1 某校30名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为A，B，C三个场馆，且购买1张A场馆门票和2张B场馆门票共需130元，购买3张A场馆门票和1张B场馆门票共需190元．C场馆门票为每张15元． 素材2 由于场地原因，每位同学只能选择一个场馆参观，且每个场馆都需要有人参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票． 问题解决 任务1 确定场馆门票价格 求A场馆和B场馆的门票价格． 任务2 探究经费的使用 在出发前，某同学初步统计了大家的参观意向，其中有12位同学想参观A场馆，9位同学想参观C场馆，其余同学想参观B场馆，求在大家初步意向下所需花费的最少门票总额． 任务3 拟定购买方案 到达展览馆后，实际参观三个场馆的人数均有变化，若最终参观C场馆的同学人数多于参观A场馆的同学人数，且最终购买三种门票共花费了750元，请你写出符合条件的所有购买方案． 24. 综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． （1）观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） （2）类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； （3）解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $