精品解析：河南省开封市2024-2025学年下学期期末调研检测八年级数学试卷

2024—2025学年第二学期期末调研检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数据3，5，6，6，7的众数是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义，众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：数据3，5，6，6，7中，3出现1次，5出现1次，6出现2次，7出现1次． 因此，出现次数最多的数是6，故众数为6， 故选：C 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A． ： 二次根式相加不能直接合并，，而，显然不等，故A错误． B． ： 根据二次根式乘法法则，，故B正确． C． ： ，而二次根式的值非负，故C错误． D． ： 根据二次根式除法法则，，故D错误． 故选：B 3. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题及判断命题的真假，熟练掌握求一个命题的逆命题及判断命题的真假是解题的关键．先求出每一个命题的逆命题，再逐个判断真假即可． 【详解】解：A.、原命题：“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”，逆命题成立，符合题意； B. 原命题：“两个正实数的积是正数”，逆命题为“若两实数的积是正数，则它们都是正数”，但两个负数的积也是正数，逆命题不成立，不符合题意； C. 原命题：“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形全等”，对应角相等无法保证全等，所以逆命题不成立，不符合题意； D. 原命题：“等边三角形是锐角三角形”，逆命题为“锐角三角形是等边三角形”，锐角三角形只需三个角均为锐角，不一定是等边三角形，所以逆命题不成立，不符合题意． 故选：A． 4. 下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数． 【详解】解：由图象得D的图象y不能有唯一的值与之对应，故D错误； ABC三个选项均符合函数的定义， 故选D． 【点睛】本题考查函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 5. 如图，小明能用一根绳子检查一个书架侧边与上、下底垂直，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：小明用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故选：C． 6. 已知是整数，则n的最小正整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，由题意可知，为整数，故必为完全平方数．设（为非负整数），则，根据k的值得出n的值即可． 【详解】解：根据题意可知必为完全平方数． 设（为非负整数）， 则，（因而） 则当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 所有可能的值为，其中最小正整数值为， 故选：D 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、 ∴两个空白小正方形的边长是、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是． 故选：B 8. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某数学兴趣小组进行了以下的试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间 0 5 10 15 20 25 30 水量 0 30 60 90 120 150 180 以横轴表示时间t，纵轴表示水量w，建立直角坐标系，描出以上述试验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布规律，估算这种漏水状态下一天的漏水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意建立直角坐标系，得出w和t之间近似的符合一次函数关系．利用待定系数法求出，再求出当时，w的值即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 平面直角坐标系中描出这些数值所对的点，发现这些点大致位于同一条直线上，可知w和t之间近似的符合一次函数关系． 设，将，代入得： ， 解得：， 则， 一天，即， 代入中， ， 故这种漏水状态下一天的漏水量为． 故选：D． 9. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的利用，根据题意可知：，，，，先利用勾股定理求出，进而得出，再利用勾股定理得出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据题意可知：，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A 10. 观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（ ） ；；；⋯ A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式规律探究，分式的乘法与加减混合运算观察各等式左边为带分数的平方根，右边为整数乘以分数部分的平方根．通过分析整数部分、分子、分母与n的关系，确定通式． 【详解】解：观察左边结构：每个等式左边为，其中整数部分为，分数部分分子为，分母为．例如： 当时，； 当时，． 验证右边结构：右边为，展开后与左边相等． 例如：当时，； 当时，． 则， 故选：A 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，则， 故答案为：． 12. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的，那么光线与纸板左上方所成的_______． 【答案】73 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质可得求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为________．（写一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．根据一次函数的性质，y随x的增大而增大，则，取值即可． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，且），y随x的增大而增大， ∴， 则k的值可以为， 故答案为：（答案不唯一） 14. 如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，图形与坐标等知识， 过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得. 【详解】如图，过点作轴于， 顶点的坐标为， ， 在中，，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ∵轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 故答案为：． 15. 矩形中，，，点E是边上一动点，M、N分别是的中点，在点E运动过程中，的最大值为________，最小值为________． 【答案】 ①. 2.5 ②. 1.5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，连接，根据题意易证为的中位线，由矩形的性质得到，当，即两点重合时，有最小值，即有最小值，由，当最大，即两点重合时，有最大值，即有最大值，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴为的中位线， ∴， 当，即两点重合时，有最小值，即有最小值， 此时，， 则的最小值为； ∵， 当最大，即两点重合时，有最大值，即有最大值， 此时，， ∴， 则的最大值为． 故答案为：，． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算加法即可； （2）先计算乘除法，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 【答案】木杆折断之前高度为 【解析】 【分析】本题考查是勾股定理的应用，利用勾股定理先求解，再进一步求解即可. 【详解】解：由已知得，，， ， ∴， ， ， 即木杆折断之前高度为. 18. 某校开展“节约每一滴水”的活动，分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生了解各自家庭一周的节水情况，收集了相关数据，并进行了整理和分析，部分信息如下： 信息一：八年级学生一周家庭节水量平均数据计算过程如下： 信息二：九年级学生一周家庭节水量的频数分布直方图如下： 信息三： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级 82.5 80 n 118.75 八年级 80.5 m 70 174.75 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）你认为哪个年级学生家庭节水量更加稳定？并说明理由； （3）若九年级甲同学和八年级乙同学一周家庭节水量均为，两人在各自年级中谁的家庭节水量排名更靠前？请说明理由． 【答案】（1）75，80 （2）九年级学生家庭节水量更加稳定，见解析 （3）八年级乙同学的一周家庭节水量在自己年级排名更靠前，见解析 【解析】 【分析】本题考查统计表，平均数，中位数，众数，方差，掌握相关统计量的确定方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可； （3）根据中位数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：九年级学生一周家庭节水量中，出现次数最多，则众数分， 八年级生一周家庭节水量中，将数据从小到大排列，排在第的两个数据数据为， 则中位数， 故答案为：75、80； 【小问2详解】 解：九年级学生家庭节水量更加稳定，理由如下： 九年级学生节水量的方差为118.75，八年级学生节水量的方差为174.75， 因为， 所以九年级学生家庭节水更加稳定． 【小问3详解】 解：八年级乙同学的一周家庭节水量在自己年级排名更靠前．理由如下： 因为九年级一周家庭节水量的中位数为，八年级一周家庭节水量的中位数为， 甲同学一周家庭节水量等于九年级一周家庭节水量的中位数，乙同学一周家庭节水量大于八年级一周家庭节水量的中位数， 所以八年级乙同学的一周家庭节水量在自己年级排名更靠前． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，折叠的性质及勾股定理，把所求线段转化在同一直角三角形中是解题关键．由折叠可知，设，则，求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可知， ， ，， 设，则， 是的中点， ， 中，， ， 解得． 答：的长为． 20. 如图，已知直线与直线相交于点．直线与x轴交于， （1）分别求出直线，的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）点M在x轴上，当时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，三角形的面积，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解不等式即可； （3）设，结合，，，求出，解绝对值方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 解得， ； 把代入中，得， 解得， ， 直线的解析式分别为，； 【小问2详解】 解：∵直线的解析式分别为，； 令， 解得：， ∴当时，； 【小问3详解】 解：设， ，，， ， ∴，即， 解得：或， 或． 21. 已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； （2）从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】（1）从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 （2）从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 22. 水拓丝巾是一种融合非遗技艺与现代创意的独特手工艺品，具有独特的艺术价值和历史文化价值．某商店有甲、乙两种水拓丝巾格外畅销．甲种水拓丝巾每件的进价比乙种水拓丝巾每件进价多15元，用960元购进甲种水拓丝巾的件数与用780元购进乙种水拓丝巾的件数相同． （1）求每件甲、乙两种水拓丝巾进价各为多少元； （2）若甲种水拓丝巾每件售价100元，乙种水拓丝巾每件售价80元．为迎接旅游旺季，该商店计划投入不超过7400元的资金，购进甲、乙两种水拓丝巾共100件．若所有丝巾都能全部售出，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）每件甲种水拓丝巾进价为80元，每件乙种水拓丝巾进价为65元 （2）购进甲种水拓丝巾60件，购进乙种水拓丝巾40件时利润最大，最大利润为1800元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出分式方程和函数表达式成为解题的关键． （1）设每件甲种水拓丝巾进价为元，则每件乙种水拓丝巾进价为元．然后根据用960元购进甲种水拓丝巾的件数与用780元购进乙种水拓丝巾的件数相同．列分式方程求解即可； （2）设购进甲种水拓丝巾件，则购进乙种水拓丝巾件总利润为元，列不等式求得m的取值范围，然后列出该商店获得利润W的函数表达式，最后运用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设每件甲种水拓丝巾进价为元，则每件乙种水拓丝巾进价为元． 由题意，列方程得 解得． 检验：当时，是原分式方程得解． （元） 答：每件甲种水拓丝巾进价为80元，每件乙种水拓丝巾进价为65元． 【小问2详解】 解：设购进甲种水拓丝巾件，则购进乙种水拓丝巾件总利润为元． 根据题意，得， 解得：， ，则随的增大而增大， 当时，最大为（元） （元） 答：购进甲种水拓丝巾60件，购进乙种水拓丝巾40件时利润最大，最大利润为1800元． 23. 数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形直角顶点C在直线l上，过点A作．于点D，过点B作于点E，易证得：（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究： （1）如图②，在平面直角坐标系中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为________； 问题深化： （2）如图③，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作于点C，且，作直线，求直线的解析式； 拓展应用： （3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或 【解析】 【分析】（）作轴于，根据得出，，进而得出结果； （）作轴于，根据（）知：，设直线的解析式为，将，两点坐标代入，进一步得出结果； （）设，分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】解：（）如图，作轴于， 由材料得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）存在， 如图，作轴于， 由得，当时，；当时，； ∴，， ∵， ∴， ∵， 同理（）知：， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）∵，，，点E为线段中点， ∴， 设， ∵以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，求一次函数的解析式等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 24. 数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． （1）特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． （2）深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 【答案】（1）； （2），见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，利用直角三角形的性质即可得到答案；再连接，由折叠的性质得到，结合，易证，即可得出结论； （2）同理（1）得，即可得出结论； （3）分点P在点上方和下方两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵矩形纸片，，， ∴，， ∵， 由折叠的性质可得， 在中， ∴； 连接， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接， 同理（1）得， ∴； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得，， 当点P在点上方时，如图： ∵， ∴，， ∴， 设，则， 由（2）知， 在中，， ∴， 解得：，即； 当点P在点下方时，如图： 同理得：， 设，则， 由（2）得， 在中，， ∴， 解得：，即； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期末调研检测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分100分，考试时间100分钟； 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 数据3，5，6，6，7的众数是（ ） A 3 B. 5 C. 6 D. 7 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各命题的逆命题成立的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是锐角三角形 4. 下列各图象中，不能表示y是x函数的是（　　 ） A. B. C. D. 5. 如图，小明能用一根绳子检查一个书架的侧边与上、下底垂直，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 6. 已知是整数，则n的最小正整数值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某数学兴趣小组进行了以下的试验与研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，并填写下表． 时间 0 5 10 15 20 25 30 水量 0 30 60 90 120 150 180 以横轴表示时间t，纵轴表示水量w，建立直角坐标系，描出以上述试验所得数据为坐标的各点，观察它们的分布规律，估算这种漏水状态下一天的漏水量为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，梯子底端B到墙底部O的距离为，如果将梯子顶端A沿墙下滑到C处，梯子底端B将外移的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 观察下列各式，发现其中的规律，并用含有字母n的式子表示这一规律，正确的是（ ） ；；；⋯ A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方所成的，那么光线与纸板左上方所成的_______． 13. 一次函数（k为常数，且），y随x增大而增大，则k的值可以为________．（写一个即可） 14. 如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点的坐标为________． 15. 矩形中，，，点E是边上一动点，M、N分别是的中点，在点E运动过程中，的最大值为________，最小值为________． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 一竖直的木杆在离地面的C处折断，木杆顶端B落在离木杆底端的A处．求木杆折断之前高度． 18. 某校开展“节约每一滴水”的活动，分别从八年级和九年级随机抽取各40名学生了解各自家庭一周的节水情况，收集了相关数据，并进行了整理和分析，部分信息如下： 信息一：八年级学生一周家庭节水量平均数据计算过程如下： 信息二：九年级学生一周家庭节水量的频数分布直方图如下： 信息三： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 九年级 82.5 80 n 118.75 八年级 80.5 m 70 174.75 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）你认哪个年级学生家庭节水量更加稳定？并说明理由； （3）若九年级甲同学和八年级乙同学一周家庭节水量均为，两人在各自年级中谁的家庭节水量排名更靠前？请说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．现将折叠，使点B落在的中点E处，折痕为，C在x轴上，D在边上，求的长． 20. 如图，已知直线与直线相交于点．直线与x轴交于， （1）分别求出直线，解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． （3）点M在x轴上，当时，求点M的坐标． 21. 已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； （2）从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 22. 水拓丝巾是一种融合非遗技艺与现代创意的独特手工艺品，具有独特的艺术价值和历史文化价值．某商店有甲、乙两种水拓丝巾格外畅销．甲种水拓丝巾每件的进价比乙种水拓丝巾每件进价多15元，用960元购进甲种水拓丝巾的件数与用780元购进乙种水拓丝巾的件数相同． （1）求每件甲、乙两种水拓丝巾进价各为多少元； （2）若甲种水拓丝巾每件售价100元，乙种水拓丝巾每件售价80元．为迎接旅游旺季，该商店计划投入不超过7400元的资金，购进甲、乙两种水拓丝巾共100件．若所有丝巾都能全部售出，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形的直角顶点C在直线l上，过点A作．于点D，过点B作于点E，易证得：（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究： （1）如图②，在平面直角坐标系中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为________； 问题深化： （2）如图③，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作于点C，且，作直线，求直线的解析式； 拓展应用： （3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 数学活动课上，兴趣小组以“矩形折叠”为主题开展探究活动，矩形纸片，，． 操作一：对折矩形纸片，使与重合，折痕为； 操作二：再次对折，使矩形纸片的边与重合，展开纸片，得到两条折痕和； 操作三：在上取一点P，把沿折叠，使点A落在矩形内部点R处，把纸片展平，连接． （1）特例探究 如图①，当时，与的数量关系为________． 延长交于点Q，如图②，与的数量关系为________． （2）深入探究 如图③若改变点P在上的位置，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，请判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 当时，把沿折叠，点A的对应点为点R，延长交于点Q，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$