专题10 “同构法”妙解导数题讲义——2025届高三数学二轮复习

专题10：“同构法”妙解导数题 <<<专题综述>>> 在高中阶段，数学中的同构一般表示结构或形式相同，同构式是指除了变量不同;而结构相同的两个表达式，同构思想是通过等价变形使得两边的式子结构相同，从而将两边看成是同一个函数的两个函数值，借助该函数的单调性研究函数的零点、不等式恒成立、证明不等式.应用同构思想求解相关问题，能够培养数学抽象和转化化归的思维能力. <<<专题探究>>> 在应用导数研究函数的问题中，应用同构思想与方法的常见题型一般有比较数或式的大小，研究函数的零点，不等式恒成立问题，证明不等式等； 常见的同构型：； ； ； ， 同构的常见变形技巧：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、 ，有时也需要对两边同时加、乘某式等. ③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，. 题型一：比较数、式的大小与同构法 题设情境是数的大小比较问题.应用数学建模构造函数，然后应用差值法和导数与函数单调性基本知识比较数的大小. 例1设，则（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】 由联想，可知构造函数比较的大小.由联想，可知构造函数比较的大小.由此确定的大小. 【规范解析】 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以. 故选C. 练1下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【规范解析】 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则. 对于A选项，，即，即， 可得，又因为，所以，，故A正确； 对于B选项，，即，即，可得， 在中，令，则，化简得， 故， 所以，即，所以，，故，故B正确； 对于C选项，因为，则，故，故，故C错误； 对于D选项，因为，即，则，即， 所以，，又，因此，，故D正确. 故选ABD 练2（多选）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【规范解析】 因为正数，满足， 所以，构造函数，， 令，恒成立， 所以在上单调递增，且， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以在上单调递增，由，可得， 对于，由，可得，所以，故A正确； 对于，由，可得，则，故错误； 对于，，所以，故C正确； 对于，由，可得，，所以，所以，故D正确. 故选ACD. 题型二：不等式恒成立与同构法 题设情境是函数的切线及三角形面积问题和不等式恒成立问题.第（1）问应用导数几何意义求得函数在定点处的切线方程，然后求得切线与坐标轴的交点而计算相关三角形的面积；第（2）问通过数学抽象，应用同构法、换元同构法、先猜后证法、最值法求解由不等式恒成立求参变量的范围. 例2已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【思路点拨】 第（1）问利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；第（2）问方法一：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；方法三：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可；方法四：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法. 【规范解析】 （1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］【最优解】：同构法 由得，即， 而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知， 所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法二］：换元同构法 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于， 而在时为增函数，故， 即，即． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法三］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． ［方法四］：通性通法,，且. 设,则∴g(x)在上单调递增， 即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时， 当时，,， 因此 >1 ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 练3已知定义在上的函数． 若，讨论的单调性； 若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【规范解析】 解：函数，，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，由得，由得，则在上递增，在上递减； 因为，且当时，不等式恒成立， 当时，，恒成立，因此， 当时，，即， 即， 令，原不等式等价于恒成立， 而，即函数在上单调递增，因此， 即， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，因此，综上得， 所以实数的取值范围是． 题型三：不等式证明与同构法 题设情境是讨说常系数函数的单调性和不等式证明问题.第（1）问应用导数与函数的单调性基本知识，判定函数的单调性；第（2）问通过对题设条件的恰当等价变形，应用同构法构造函数，然后应用极值点偏移、切割线放缩和转化化归思想证明不等式. 例3已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【思路点拨】 第（1）问首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.第(2)问构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.同时比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 【规范解析】 (1)的定义域为．由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间(内为减函数， (2)[方法一]：【最优解】：同构法:由变形为， 所以．令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ．令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证．因为， 所以． 要证，只需证. 令，所以， 故在区间内单调递增． 所以．故，即．综合可知． [方法二]：同构构造函数法 由已知得，令，不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证．证明同方法一． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． [方法三]等价转化法 由得，即．由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以．又由，可得， 所以．② 由①②得． 练4已知函数． （1） 当时，求的单调区间与极值； （2）当时，证明：． 【规范解析】 （1）时，，则， 又与都是增函数，故在上单调递增， 又，故时，；故时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值1，无极大值． （2）方法一：当，时，， 故只需证明当时，． 当时，在上单调递增， 又，，故在上有唯一零点． 当时，；当时，． 从而时，取得最小值．由得：，即， 故， 综上，当时，． 方法二：先证不等式与， 设，则， 可得在上单调递减，在上单调递增， ，即； 设，则， 可得在上单调递增，在上单调递减， ，即． 于是，当时，， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为：，它们无法同时取等， 所以，当时，，即． 练5已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）设，求证：当时，. 【规范解析】 （1）的定义域为.由题意得. 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令得， 所以当时，，可知在区间上单调递增； 当时，，可知在区间上单调递减. 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由题意得，当时，， 所以， 所以 . 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， 所以.所以， 所以， 所以. 题型四：函数零点与同构法 题设情境为开放性试题，探究函数的极小值的存在性，已知函数存在零点求参数范围问题.第（1）问应用导数与函数的极值基本知识，通过二次求导，应用函数零点定理先确定极值点的存在性，然后由函数的单调性确定极小值点的存在性；第（2）问通过同构法等和换元法价转化函数及解析式，然后应用导数研究“新”函数的单调性和最值，最后应用数形结合思想求得参数的取值范围. 例4已知函数（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； （2）已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【思路点拔】 第（1）问选择条件后,应用导数研究函数极值的基本方法求解;第（2）问由题设条件得到,应用同构思想两边同除得,然后通过，构造函数，推理在区间上存在零点的充分条件而求得实数的取值范围. 【规范解析】 （1）若选①：，则函数， 所以，， 因为单调递增，且，所以在上单调递减，上单调递增， 则，故在上单调递增，所以不存在极小值点； 若选②：，则，所以，， 由单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，又， 所以存在极小值点． （2）令，则，又， 所以， 令，故有解，设，则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以有唯一的零点，若在区间上存在零点， 即在上有解，整理可得， 令， 则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，解得， 所以的取值范围为． 练6已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围. 【规范解析】 (1)，，. ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，得， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，的单调递减区间为. (2)依题意可知：方程，即有两个不同的实根. 由可得：. 令 ，，所以在上单调递增， 要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，. ①若，则，没有零点； ②若，则且仅当时取等号，只有一个零点； ③若，则，，. 令，则当时，， 即在上单调递增，所以，即. 故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件. 综上可知，实数的取值范围是. <<<专题训练>>> 1.已知，且、、，下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】 由题得 即，即，即， 设，则， ，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 故，即 因为，所以，故选C. 2.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【解析】 解：由 ，且， 得， 又，， 令，，则， 当时，，时，， 在上单调递减， 在上单调递增， 且时，，时， 而等价于，且， ，即在上恒成立， 令，，则，  在时，，单调递增； 在时，单调递减， 最大值为，． 故选： 3.已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【解析】 解：，对恒成立， 即，化为：， 令，， ， ，可得时，函数取得极小值即最小值，， 恒成立， 函数在上单调递增， 而， ，，即， 令，， ，可得时，函数取得极大值即最大值． ． 故选：． 4.已知函数，若存在，使得，则实数的最小值为          ． 【解析】 解：令，则，由得， 由得，所以函数在上单调递增， 由得，所以函数在上单调递减，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 可知， 当且仅当时等号成立，原条件等价于方程有实根， 令，则，由得， 由得，所以函数在上单调递增， 由得，所以函数在上单调递减， 所以，所以的最小值为． 故答案为： 5.已知函数． 讨论函数的单调性； 若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】 解：函数，， 当时，； 当时，当时，；当时，， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 原不等式为，等价于， 令，上述不等式等价于， 显然为单调递增函数， 又等价于，即， 令，则， 在上，，单调递增； 在上，，单调递减， ，，即， 实数的取值范围是．  6.函数，是的导函数． (1)若，，求函数的最小值． (2)对，且，证明：恒成立． 【解析】 (1)证明：，当时，， 令， 则，， ∴在单调递增，∴，在上单调递增． ∴时，， ∵，∴为偶函数，即时，，∴的最小值为2． (2) ①， 令， 则①式等价于，， 当时，， 又∵，，∴，， ∴， 令，则，∴在上单调递减， ∴，故． 综上所述，对，且，恒成立 7.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，在时恒成立，求实数的最小值. 【解析】 (1)由题意， 令，得， 当时，若，则，所以， 若，则，，所以； 当时，若，则，所以， 若，则，，所以； 综上在上单调递减，在上单调递增. (2) 当时，即， 即， 构造函数，即有对时恒成立， ，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，时，， 所以只需要对时恒成立即可， 两边取对数，有对时恒成立， 又时，，所以对时恒成立， 令,，令，则，令，则, 则在单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以的最小值为. 8.已知函数， （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间． （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分． ①若恒成立，求的取值范围； ②若仅有两个零点，求的取值范围． 【解析】 （1）函数，则的定义域为， 且，因为在处取得极值，所以，即，解得； 此时，所以在上单调递增， 则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）若选①：因为恒成立，则恒成立， 整理可得恒成立， 即恒成立， 令，则恒成立， 因为恒成立，为单调递增函数，所以恒成立， 即恒成立，令， 则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，故，解得， 所以的取值范围为； 若选②：因为仅有两个零点，即在上有两个根， 整理可得，即， 令，则， 因为恒成立，则为单调递增函数， 所以，即在上有两个根， 令，则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 要想在上有两个根， 只需，解得，所以的取值范围为． 9.已知函数. (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个实根，求证：. （注：是自然对数的底数） 【解析】 (1)， ①当时，恒成立，所以的递增区间为， 所以，所以. ②当时，的递增区间为，递减区间为. （i）即时，，所以， （ii）即时，，所以， 综上所述：，即实数的取值范围为. (2)因为，所以， 所以， 令，所以，在R上恒成立， 所以在R上递增，所以，即有两个实根， 即有两个实根， 令函数，，令，解得，令， 解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，作出函数的图像如下所示： 要使有两个实根，则. 令，，所以， 令，所以有两个实根，， 接下来先证. 因为，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，上单调递减， 要证，即证， 因为，在上单调递减，只需证，即证.令， ， 因为，此二次函数开口向下，对称轴为， 所以此函数在单调递增，所以，所以， 所以，即在恒成立， 所以在上递增，所以，所以成立， 即 成立，又，，且在上单调递减， 所以，所以，即，所以， 所以. 共20页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10：“同构法”妙解导数题 <<<专题综述>>> 在高中阶段，数学中的同构一般表示结构或形式相同，同构式是指除了变量不同;而结构相同的两个表达式，同构思想是通过等价变形使得两边的式子结构相同，从而将两边看成是同一个函数的两个函数值，借助该函数的单调性研究函数的零点、不等式恒成立、证明不等式.应用同构思想求解相关问题，能够培养数学抽象和转化化归的思维能力. <<<专题探究>>> 在应用导数研究函数的问题中，应用同构思想与方法的常见题型一般有比较数或式的大小，研究函数的零点，不等式恒成立问题，证明不等式等； 常见的同构型：； ； ； ， 同构的常见变形技巧：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、 ，有时也需要对两边同时加、乘某式等. ③与为常见同构式：，；与为常见同构式：，. 题型一：比较数、式的大小与同构法 题设情境是数的大小比较问题.应用数学建模构造函数，然后应用差值法和导数与函数单调性基本知识比较数的大小. 例1设，则（ ） A. B. C. D. 【思路点拨】 由联想，可知构造函数比较的大小.由联想，可知构造函数比较的大小.由此确定的大小. 练1下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 练2（多选）已知正数，满足，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 题型二：不等式恒成立与同构法 题设情境是函数的切线及三角形面积问题和不等式恒成立问题.第（1）问应用导数几何意义求得函数在定点处的切线方程，然后求得切线与坐标轴的交点而计算相关三角形的面积；第（2）问通过数学抽象，应用同构法、换元同构法、先猜后证法、最值法求解由不等式恒成立求参变量的范围. 例2已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式恒成立，求的取值范围． 【思路点拨】 第（1）问利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；第（2）问方法一：利用同构思想将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法即可求出，是本题的最优解；方法二：通过先换元，令，再同构，可将原不等式化成，再根据函数的单调性以及分离参数法求出；方法三：由特殊到一般，利用可得的取值范围，再进行充分性证明即可；方法四：利用导数判断函数的单调性，求出其最小值，由即可求出，解法虽稍麻烦，但是此类题，也是本题的通性通法. 练3已知定义在上的函数． 若，讨论的单调性； 若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 题型三：不等式证明与同构法 题设情境是讨说常系数函数的单调性和不等式证明问题.第（1）问应用导数与函数的单调性基本知识，判定函数的单调性；第（2）问通过对题设条件的恰当等价变形，应用同构法构造函数，然后应用极值点偏移、切割线放缩和转化化归思想证明不等式. 例3已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【思路点拨】 第（1）问首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.第(2)问构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.同时比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可. 练4已知函数． （1） 当时，求的单调区间与极值； （2）当时，证明：． 练5已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）设，求证：当时，. 题型四：函数零点与同构法 题设情境为开放性试题，探究函数的极小值的存在性，已知函数存在零点求参数范围问题.第（1）问应用导数与函数的极值基本知识，通过二次求导，应用函数零点定理先确定极值点的存在性，然后由函数的单调性确定极小值点的存在性；第（2）问通过同构法等和换元法价转化函数及解析式，然后应用导数研究“新”函数的单调性和最值，最后应用数形结合思想求得参数的取值范围. 例4已知函数（1）选择下列两个条件之一：①；②；判断在区间是否存在极小值点，并说明理由； （2）已知，设函数．若在区间上存在零点，求实数的取值范围． 【思路点拔】 第（1）问选择条件后,应用导数研究函数极值的基本方法求解;第（2）问由题设条件得到,应用同构思想两边同除得,然后通过，构造函数，推理在区间上存在零点的充分条件而求得实数的取值范围. 练6已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围. <<<专题训练>>> 1.已知，且、、，下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 2.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，，函数，若，对恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数，若存在，使得，则实数的最小值为          ． 5.已知函数． 讨论函数的单调性； 若恒成立，求实数的取值范围． 6.函数，是的导函数． (1)若，，求函数的最小值． (2)对，且，证明：恒成立． 7.已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，在时恒成立，求实数的最小值. 8.已知函数， （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间． （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择．如果多写按第一个计分． ①若恒成立，求的取值范围； ②若仅有两个零点，求的取值范围． 9.已知函数. (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个实根，求证：. （注：是自然对数的底数） 共9页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 “同构法”妙解导数题--答案解析 【专题探究】 例1【解析】设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以，故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又，所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以. 故选C. 练1【解析】构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，则. 对于A选项，，即，即， 可得，又因为，所以，，故A正确； 对于B选项，，即，即，可得， 在中，令，则，化简得， 故， 所以，即，所以，，故，故B正确； 对于C选项，因为，则，故，故，故C错误； 对于D选项，因为，即，则，即， 所以，，又，因此，，故D正确. 故选ABD 练2（多选）【解析】因为正数，满足， 所以，构造函数，， 令，恒成立， 所以在上单调递增，且， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以在上单调递增，由，可得， 对于，由，可得，所以，故A正确； 对于，由，可得，则，故错误； 对于，，所以，故C正确； 对于，由，可得，，所以，所以，故D正确. 故选ACD. 例2【解析】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． （2）［方法一］【最优解】：同构法 由得，即， 而，所以． 令，则，所以在R上单调递增． 由，可知， 所以，所以． 令，则． 所以当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以，则，即． 所以a的取值范围为． ［方法二］：换元同构法 由题意知，令，所以，所以． 于是． 由于， 而在时为增函数，故， 即，即． 令，所以． 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以当时，取得最大值为．所以． ［方法三］： 因为定义域为，且，所以，即． 令，则，所以在区间内单调递增． 因为，所以时，有，即． 下面证明当时，恒成立． 令，只需证当时，恒成立． 因为，所以在区间内单调递增，则． 因此要证明时，恒成立，只需证明即可． 由，得． 上面两个不等式两边相加可得，故时，恒成立． 当时，因为，显然不满足恒成立． 所以a的取值范围为． ［方法四］：通性通法,，且. 设,则∴g(x)在上单调递增， 即在上单调递增， 当时，,∴,∴成立. 当时， ，，, ∴存在唯一，使得，且当时， 当时，,， 因此 >1 ∴∴恒成立； 当时， ∴不是恒成立. 综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞). 练3【解析】解：函数，，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，由得，由得，则在上递增，在上递减； 因为，且当时，不等式恒成立， 当时，，恒成立，因此， 当时，，即， 即， 令，原不等式等价于恒成立， 而，即函数在上单调递增，因此， 即， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，因此，综上得， 所以实数的取值范围是． 例3【解析】 (1)的定义域为．由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间(内为减函数， (2)[方法一]：【最优解】：同构法:由变形为， 所以．令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 令，则有，不妨设． 由（1）知，先证． 要证： ．令， 则， 在区间内单调递增，所以，即． 再证．因为， 所以． 要证，只需证. 令，所以， 故在区间内单调递增． 所以．故，即．综合可知． [方法二]：同构构造函数法 由已知得，令，不妨设，所以． 由（Ⅰ）知，，只需证．证明同方法一． 再证明．令． 令，则． 所以，在区间内单调递增． 因为，所以，即 又因为，所以， 即． 因为，所以，即． 综上，有结论得证． [方法三]等价转化法 由得，即．由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， ①令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以．又由，可得， 所以．② 由①②得． 练4【解析】（1）时，，则， 又与都是增函数，故在上单调递增， 又，故时，；故时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值1，无极大值． （2）方法一：当，时，， 故只需证明当时，． 当时，在上单调递增， 又，，故在上有唯一零点． 当时，；当时，． 从而时，取得最小值．由得：，即， 故， 综上，当时，． 方法二：先证不等式与， 设，则， 可得在上单调递减，在上单调递增， ，即； 设，则， 可得在上单调递增，在上单调递减， ，即． 于是，当时，， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为：，它们无法同时取等， 所以，当时，，即． 练5【解析】（1）的定义域为.由题意得. 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令得， 所以当时，，可知在区间上单调递增； 当时，，可知在区间上单调递减. 综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）由题意得，当时，， 所以， 所以 . 令，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， 所以.所以， 所以， 所以. 例4【解析】（1）若选①：，则函数， 所以，， 因为单调递增，且，所以在上单调递减，上单调递增， 则，故在上单调递增，所以不存在极小值点； 若选②：，则，所以，， 由单调递增，且， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，又， 所以存在极小值点． （2）令，则，又， 所以， 令，故有解，设，则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以有唯一的零点，若在区间上存在零点， 即在上有解，整理可得， 令， 则，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 故，所以，解得， 所以的取值范围为． 练6【解析】(1)，，. ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，得， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当，的单调递增区间为，的单调递减区间为. (2)依题意可知：方程，即有两个不同的实根. 由可得：. 令 ，，所以在上单调递增， 要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，. ①若，则，没有零点； ②若，则且仅当时取等号，只有一个零点； ③若，则，，. 令，则当时，， 即在上单调递增，所以，即. 故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件. 综上可知，实数的取值范围是. 【专题训练】 1. 【解析】由题得 即，即，即， 设，则， ，当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 故，即 因为，所以，故选C. 2.【解析】解：由 ，且， 得， 又，， 令，，则， 当时，，时，， 在上单调递减， 在上单调递增， 且时，，时， 而等价于，且， ，即在上恒成立， 令，，则，  在时，，单调递增； 在时，单调递减， 最大值为，． 故选： 3.【解析】解：，对恒成立， 即，化为：， 令，， ， ，可得时，函数取得极小值即最小值，， 恒成立， 函数在上单调递增， 而， ，，即， 令，， ，可得时，函数取得极大值即最大值． ． 故选：． 4. 【解析】解：令，则，由得， 由得，所以函数在上单调递增， 由得，所以函数在上单调递减，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 可知， 当且仅当时等号成立，原条件等价于方程有实根， 令，则，由得， 由得，所以函数在上单调递增， 由得，所以函数在上单调递减， 所以，所以的最小值为． 故答案为： 5. 【解析】解：函数，， 当时，； 当时，当时，；当时，， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 原不等式为，等价于， 令，上述不等式等价于， 显然为单调递增函数， 又等价于，即， 令，则， 在上，，单调递增； 在上，，单调递减， ，，即， 实数的取值范围是．  6. 【解析】(1)证明：，当时，， 令， 则，， ∴在单调递增，∴，在上单调递增． ∴时，， ∵，∴为偶函数，即时，，∴的最小值为2． (2) ①， 令， 则①式等价于，， 当时，， 又∵，，∴，， ∴， 令，则，∴在上单调递减， ∴，故． 综上所述，对，且，恒成立 7. 【解析】(1)由题意， 令，得， 当时，若，则，所以， 若，则，，所以； 当时，若，则，所以， 若，则，，所以； 综上在上单调递减，在上单调递增. (2) 当时，即， 即， 构造函数，即有对时恒成立， ，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，时，， 所以只需要对时恒成立即可， 两边取对数，有对时恒成立， 又时，，所以对时恒成立， 令,，令，则，令，则, 则在单调递增，在上单调递减，最大值为， 所以的最小值为. 8. 【解析】（1）函数，则的定义域为， 且，因为在处取得极值，所以，即，解得； 此时，所以在上单调递增， 则当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）若选①：因为恒成立，则恒成立， 整理可得恒成立， 即恒成立， 令，则恒成立， 因为恒成立，为单调递增函数，所以恒成立， 即恒成立，令， 则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，故，解得， 所以的取值范围为； 若选②：因为仅有两个零点，即在上有两个根， 整理可得，即， 令，则， 因为恒成立，则为单调递增函数， 所以，即在上有两个根， 令，则， 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 要想在上有两个根， 只需，解得，所以的取值范围为． 9. 【解析】(1)， ①当时，恒成立，所以的递增区间为， 所以，所以. ②当时，的递增区间为，递减区间为. （i）即时，，所以， （ii）即时，，所以， 综上所述：，即实数的取值范围为. (2)因为，所以， 所以， 令，所以，在R上恒成立， 所以在R上递增，所以，即有两个实根， 即有两个实根， 令函数，，令，解得，令， 解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，作出函数的图像如下所示： 要使有两个实根，则. 令，，所以， 令，所以有两个实根，， 接下来先证. 因为，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，上单调递减， 要证，即证， 因为，在上单调递减，只需证，即证.令， ， 因为，此二次函数开口向下，对称轴为， 所以此函数在单调递增，所以，所以， 所以，即在恒成立， 所以在上递增，所以，所以成立， 即 成立，又，，且在上单调递减， 所以，所以，即，所以， 所以. 共15页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$