专题9 导数与三角函数交汇问题讲义——2025届高三数学二轮复习

专题9：导数与三角函数交汇问题 <<<专题综述>>> 导数与三角函数交汇问题是指，应用导数的基础知识与方法，研究问题情境中含有三角函数的函数问题.函数的特征是：全三角函数型、三角函数与多项式函数组合型、三角函数与指数函数组合型、三角函数与对数函数组合型等. <<<专题探究>>> 导数与三角函数交汇问题的题型常见的有：函数零点问题、不等式恒成立问题、不等式证明问题、极值点偏移问题等，分析求解时既要充分应用导数的工具性作用，又要充分应用三角函数的性质与三角恒等变换技巧，关健是灵活应用正弦函数和余弦函数的有界性. 题型一：三角函数与多项式函数组合型 题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和不等恒成立求参变量取值范围问题.第（1）小问应用导数求函数的最值证明不等式；第（2）小问应用“参变分离”法，应用数学建模构造函数，然后应用导数和换元法求新构造函数的极值点，最后应用分类与整合思想探究参数的取值范围。 例1已知函数. （1）若，当时，证明：； （2）若当时，，求实数的取值范围. 【思路点拨】 第（1）问注意到，因此应用导数推导函数在上单调递增即可；第（2）问题设情境为不等式恒成立问题，注意到的导数为而因此由参变分离技巧将，等价为，然后构造函数，通过分类辨析求解实数的取值范围. 【规范解析】 （1）由，得，， .令，. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 的最小值为，所以，即， 所以在上单调递增，所以，故. （2）. 令，， . 令，，，， 所以在上单调递增，所以，即. ①当，即时，，在上单调递增，所以满足条件. ②当，即时，，显然不满足条件. ③当，即时，若，， 令，，，， 故存在，使时，，即在上单调递减， 所以，即，，故不满足条件. 综上，的取值范围是. 练1已知函数． （1）若曲线在点处的切线与x轴平行． ①求实数的值：②证明：函数在内只有唯一极值点； （2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有． 【规范解析】 （1）①由题意得，, ∵,∴即, ②证明：由①可知，，则, 当时，,函数单调递减， 当时，, 函数单调递增， 又, 所以存在唯一的,使得, 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增, 所以函数在内只有唯一极值点，且取得极小值故原命题得证. （2）要证对于区间内的一切实数，都有，即证, 由（1）可知，在上单调递增，且, 所以因为，所以, 当，即时，由在上单调递增， 则．所以在上单调递减， 所以，即得证； (ii)当，即时， 由（1）②可知：,所以得证 综上，当时，对于区间内的一切实数，都有． 练2已知函数，且. （1）求实数的值； （2）求证：存在唯一的极小值点，且； （3）设，.对，恒成立，求实数的取值范围. （参考结论：，） 【规范解析】 （1）由题意，函数，可得其定义域为， 因为，且，可得， 令，可得， 因为，且，可得，解得， 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，符合题意. 所以实数的值为. （2）由函数， 可得， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，，， 所以，使得， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以存在唯一极小值点. 因为，所以， 又因为，所以，设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因为，所以， 综上可得：. （3）对，恒成立，即恒成立， 即不等式恒成立. 当时，不等式对任意实数b都成立； 当时，，所以，令， 可得， 令， 则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，单调递减，所以，所以，单调递减， 又由当时，，所以， 所以，即实数的取值范围是. 题型二：三角函数与指数函数组合型 题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和已知函数零点个数求参变量取值范围问题.第（1）小问应用放缩法判定导函数取值的正负情形，应用函数的单调性确定函数的最值，从而证明不等式；第（2）小问利用第（1）问的结论找到参数的取值范围，然后通过二次求导及零点定理证明，当参数在该范围内取值时，原函数有且仅有两个零点。 例2已知函数，． （1）当时，求证：； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【思路点拨】 第(1)问注意到联想函数在上单调递增,连续2次求导后,应用当时，，推导2阶导数大于零,从而推导,得函数在上单调递增而证明.第(2)问由第(1)问可推导当时，恒成立,由，可知函数仅有个零点不合题设,从而猜想实数的取值范围应在内,然后应用导数工具分析推导． 【规范解析】 （1）当时，， 则设， ．因为，所以， 因此所以即在上单调递增， 于是，因此函数在上单调递增，所以． （2）由（1）知，当时， 当且仅当时取等号，此时函数仅有个零点． 当时，因为，所以， 设，． 当时，所以即单调递增． 当时，设， ． 因为，所以 所以即单调递增．又， 因此在上存在唯一的零点，且． 当时，，所以即单调递减； 当时，，所以即单调递增． 又， 因此在上存在唯一的零点， 且．当时，所以单调递减； 当时，所以单调递增． 又所以在上存在唯一零点， 因此在上有两个零点．综上，的取值范围是． 练3已知函数，其中, 为自然对数的底数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求证：对任意的，. 【规范解析】 解：当时，， 则， ，， 故，则在上单调递减； 当时，， 要证明对任意的，． 则只需要证明对任意的，． 设，看作以为变量的一次函数， 要使，则，即， 恒成立，恒成立， 对于，令，则， 设时，，即． ，，在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 则当时，函数取得最大值 ， 故式成立， 综上对任意的，．  练4已知函数． 若，求的最小值； 若有且只有两个零点，求实数的取值范围． 【规范解析】 解：当时，， 则  当时，， 所以， 所以． 又，所以，故， 所以在区间上单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 则在区间上有且只有个零点． ， 令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故，． 当时，， 则在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去； 当时，，则在区间上单调递减， 所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；    当时，， 则在区间上只有个零点，设为． 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，所以． 综上，实数的取值范围是． 题型三：三角函数与对数函数组合型 题设情境是含参变量函数的极值问题和有关函数零点的不等式证明问题.第（1）小问应用导数与函数极值的基本知识，通过分类讨论求函数的极值；第（2）小问由题设条件“当时，”，应用方程思想，通过比值代换技巧，数学建模构造函数，应用导数证明不等式。 例3已知函数． （1）求函数的极值； （2）若存在，且当时，，当时，求证：． 【思路点拨】 第(1)问应用导数研究函数极值的基础知识与基本方法求函数的极值;第(2)问由题设情境因为“”，所以“”联想极值点偏移和比值代换推理论证，同时注意利用判定取值的正负确定函数的单调性. 【规范解析】 （1）由,∴, 当时，，在上为增函数，无极值， 当时,当时，；时，， 在上为减函数，在上为增函数， ∴，有极小值，无极大值， 综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值． （2）证明：令，∴， ∵,且，∴， 所以当时，在上为增函数， 所以当时，恒有，即成立； 当，在上为增函数，当，在上为增函数， 这时，在上为增函数， 所以不可能存在，满足当时，，所以有． 设，得：， ∴①， ∵, ∴②， 由①②式可得：，即， 又，，∴③， 要证④，所以由③式知，只需证明：，即证， 设，只需证，即证：， 令 由，在上为增函数， ∴，∴成立，所以由③知，成立． 练5已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【规范解析】 （1）依题意知：，， ，， 有两个极值点，在上有两个变号零点， 令得：①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即：解得：， ， 故的取值范围为：. （2）依题意，要证：， ①当时，，故原不等式成立， ②当时，要证：， 即要证：， 令 则， ，先证：，即要证：， 令 ，则， 当时，，在单调递增，， 即：，当时，，， ， 在单调递减，， 在单调递减，， 即：，故原不等式成立. 练6已知函数，为的导数. 证明：(1)在区间存在唯一极大值点； (2)有且仅有2个零点． 【规范解析】 （1）设，则，． 当时，单调递减，而， 可得在有唯一零点，设为，故． 则当时，；当时，． 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点， 即在存在唯一极大值点． （2）的定义域为． （i）当时，由（1）知，在单调递增，而， 所以当时，，故在单调递减，又， 从而是在的唯一零点． （ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减， 而，， 所以存在，使得， 且当时，；当时，． 故在单调递增，在单调递减． 又，，所以当时，． 从而在上没有零点． （iii）当时，，所以在单调递减．而，， 所以在有唯一零点． （iv）当时，，所以 <0，从而在没有零点． 综上，有且仅有2个零点． <<<专题训练>>> 1.已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，，求实数的取值范围． 【解析】 解：当时，， 设切线斜率为，因为，所以， 又， 所以，切线方程是． 当时，因为，所以，所以 记，则，令， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 所以，， 所以，在区间上单调递增， 所以，，所以． 当时，，令， 因为当时，，所以， 所以在区间上单调递增． 因为，， 所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意． 综上可知，  2.已知函数． （1）若为的极小值点，求a的取值范围； （2）若有唯一的极值，证明：，． 【解析】 (1). ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ②当时，由得或． （ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点； （ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以为的极小值点； （ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚， 在上单调递增，所以为的极大值点，综上，a的取值范围是． (2)根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以． 所以即证，．设，则， 设，则， 设，则，当时，,, 当时，,， 当时，所以，所以在上单调递增． ，，又， 所以，所以，使． 因此当时，，当时，． 得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因此当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，得， 所以，从而原命题得证． 3.已知函数． （1）若，求函数的零点个数； （2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？说明理由． 【解析】 （1）时，， 当时,； 当时,单调递增,,, ∴存在，使得；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴有两个零点． （2），， 显然是的极小值点的必要条件为，即, 此时，令， 则, 又在上单调递增，且，， 当时,,,,∴， 当时,,,,∴， 故存在唯一的零点，且， ∴在上单调递减，上单调递增， ，，又当时， ∴即在存在唯一的零点，在上的零点为0； ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，是的极小值点． 4.已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【解析】 所以，当时，，所以在单调递增， 又因为，所以在上无零点    当时，使得，所以在单调递减，在单调递增， 又因为，， 所以若，即时，在上无零点，  若，即时，在上有一个零点，   当时，在上单调递减，在上无零点，       综上当时，在上有一个零点  （2）由，即，即， 则有,令,,则， ，所以函数在上递增， 所以，则有， 即,,因为关于的方程有两个不同的实数解， 则方程,有两个不同的实数解，令，则， 当时，，当时,， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，当时，，所以． 5.已知函数． 当时，讨论在区间上的单调性； 设在区间上存在两个极值点，． 求 的取值范围； 若，求的值． 【解析】 解：当  时，  ，  ． 当  时，  ，  ，  ， 所以  在  上单调递增． 又 ， 所以  为偶函数，所以  在  上单调递减． 综上，  在  上单调递减，在  上单调递增． 由题意可得  ，不妨设  ． 当  时，  ， 函数  在  上单调递增，值域为  ． 当  时，存在唯一实数  ，使得  ． 又  ，所以当  时，  ，  单调递减， 当  时，  ，  单调递增． 所以当  时，  在  上存在极小值点  ； 当  时，  ， 函数  在  上单调递增，值域为  ． 当  时，存在唯一实数  ，使得  ． 又  ，所以当  时，  ，  单调递增， 当  时，  ，  单调递减． 所以当  时，  在  上存在极大值点  ． 又  ， 综上，若  在区间  上存在两个极值点，则的取值范围为  ． 由  ，得  ． 所以  ． 同理可得  ． 由  ， 整理，得  ． 又  ，所以  ， 所以  ， 解得  舍去或  ， 所以   ． 6.已知函数． 判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； 证明：． 【解析】 解：  ， 当  时，易证：  ，所以  ，故  在  上单调递增； 当  时，设  ，则  ，  又设， 则 ，由于  和  在  上单调递减，所以  在  上单调递减，因为  ，所以存在  使得  ， 当  时，  ，单调递增，即 单调递增； 当  时，  ，单调递减，即  单调递减； 因为  ，所以存在  使得  ， 当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减； 因为  ，所以  时，  ，所以  单调递增； 综上所述，函数  在  上单调递增 由知：当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减； 因为  ，所以，当  时，  恒成立，即  ，所以  ． 令  ，则  ， 所以  ， 设  ，  ，则  ， 所以函数  在  上单调递减，则  ， 即  ，  ，所以  ， 所以  ， 综上可知，当时， 成立． 7.已知函数，． 若恒成立，求的取值范围； 判断的单调性，并说明理由； 证明：，证明时可使用下列结论：当时，，成立． 【解析】 解：，，， ，， 令， 则，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增，， 若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意； 若，即，此时，， 又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在， 使得，且当时，，在上单调递减， 所以，与题意矛盾，舍去． 综上所述，实数的取值范围是； ， 令， 则，即，， ， 所以在上单调递增，， 即当时，， 所以在单调递增； 由得，当时，， 所以当时， 又当时，，成立， 所以当时，， 即． 所以当时，．  共18页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9 导数与三角函数交汇问题—答案解析 【专题探究】 例1【解析】（1）由，得，， .令，. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 的最小值为，所以，即， 所以在上单调递增，所以，故. （2）. 令，， . 令，，，， 所以在上单调递增，所以，即. ①当，即时，，在上单调递增，所以满足条件. ②当，即时，，显然不满足条件. ③当，即时，若，， 令，，，， 故存在，使时，，即在上单调递减， 所以，即，，故不满足条件. 综上，的取值范围是. 练1【解析】（1）①由题意得，, ∵,∴即, ②证明：由①可知，，则, 当时，,函数单调递减， 当时，, 函数单调递增， 又, 所以存在唯一的,使得, 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增, 所以函数在内只有唯一极值点，且取得极小值故原命题得证. （2）要证对于区间内的一切实数，都有，即证, 由（1）可知，在上单调递增，且, 所以因为，所以, 当，即时，由在上单调递增， 则．所以在上单调递减， 所以，即得证； (ii)当，即时， 由（1）②可知：,所以得证 综上，当时，对于区间内的一切实数，都有． 练2【解析】（1）由题意，函数，可得其定义域为， 因为，且，可得， 令，可得， 因为，且，可得，解得， 当时，，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，符合题意. 所以实数的值为. （2）由函数， 可得， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又由，，， 所以，使得， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以存在唯一极小值点. 因为，所以， 又因为，所以，设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因为，所以， 综上可得：. （3）对，恒成立，即恒成立， 即不等式恒成立. 当时，不等式对任意实数b都成立； 当时，，所以，令， 可得， 令， 则， 令，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，单调递减，所以，所以，单调递减， 又由当时，，所以， 所以，即实数的取值范围是. 例2【解析】（1）当时，， 则设， ．因为，所以， 因此所以即在上单调递增， 于是，因此函数在上单调递增，所以． （2）由（1）知，当时， 当且仅当时取等号，此时函数仅有个零点． 当时，因为，所以， 设，． 当时，所以即单调递增． 当时，设， ． 因为，所以 所以即单调递增．又， 因此在上存在唯一的零点，且． 当时，，所以即单调递减； 当时，，所以即单调递增． 又， 因此在上存在唯一的零点， 且．当时，所以单调递减； 当时，所以单调递增． 又所以在上存在唯一零点， 因此在上有两个零点．综上，的取值范围是． 练3【解析】当时，， 则， ，， 故，则在上单调递减； 当时，， 要证明对任意的，． 则只需要证明对任意的，． 设，看作以为变量的一次函数， 要使，则，即， 恒成立，恒成立， 对于，令，则， 设时，，即． ，，在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 则当时，函数取得最大值 ， 故式成立， 综上对任意的，．  练4【解析】解：当时，， 则  当时，， 所以， 所以． 又，所以，故， 所以在区间上单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 则在区间上有且只有个零点． ， 令， 则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增， 故，． 当时，， 则在区间上单调递增，所以在区间上无零点，不符合题意，舍去； 当时，，则在区间上单调递减， 所以在区间上无零点，不符合题意，舍去；    当时，， 则在区间上只有个零点，设为． 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，，要使在区间上有且只有一个零点，则，所以． 综上，实数的取值范围是． 例3【解析】（1）由,∴, 当时，，在上为增函数，无极值， 当时,当时，；时，， 在上为减函数，在上为增函数， ∴，有极小值，无极大值， 综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值． （2）证明：令，∴， ∵,且，∴， 所以当时，在上为增函数， 所以当时，恒有，即成立； 当，在上为增函数，当，在上为增函数， 这时，在上为增函数， 所以不可能存在，满足当时，，所以有． 设，得：， ∴①， ∵, ∴②， 由①②式可得：，即， 又，，∴③， 要证④，所以由③式知，只需证明：，即证， 设，只需证，即证：， 令 由，在上为增函数， ∴，∴成立，所以由③知，成立． 练5【解析】（1）依题意知：，， ，， 有两个极值点，在上有两个变号零点， 令得：①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即：解得：， ， 故的取值范围为：. （2）依题意，要证：， ①当时，，故原不等式成立， ②当时，要证：， 即要证：， 令 则， ，先证：，即要证：， 令 ，则， 当时，，在单调递增，， 即：，当时，，， ， 在单调递减，， 在单调递减，， 即：，故原不等式成立. 练6【解析】（1）设，则，． 当时，单调递减，而， 可得在有唯一零点，设为，故． 则当时，；当时，． 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点， 即在存在唯一极大值点． （2）的定义域为． （i）当时，由（1）知，在单调递增，而， 所以当时，，故在单调递减，又， 从而是在的唯一零点． （ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减， 而，， 所以存在，使得， 且当时，；当时，． 故在单调递增，在单调递减． 又，，所以当时，． 从而在上没有零点． （iii）当时，，所以在单调递减．而，， 所以在有唯一零点． （iv）当时，，所以 <0，从而在没有零点． 综上，有且仅有2个零点． 【专题训练】 1.【解析】解：当时，， 设切线斜率为，因为，所以， 又， 所以，切线方程是． 当时，因为，所以，所以 记，则，令， 因为当时，，所以在区间上单调递增， 所以，， 所以，在区间上单调递增， 所以，，所以． 当时，，令， 因为当时，，所以， 所以在区间上单调递增． 因为，， 所以，存在，使得， 所以，当时，，即在区间上单调递减， 所以，不满足题意． 综上可知，  2. 【解析】(1). ①当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． ②当时，由得或． （ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点； （ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以为的极小值点； （ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚， 在上单调递增，所以为的极大值点，综上，a的取值范围是． (2)根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以． 所以即证，．设，则， 设，则， 设，则，当时，,, 当时，,， 当时，所以，所以在上单调递增． ，，又， 所以，所以，使． 因此当时，，当时，． 得在上单调递减，在上单调递增， 又，， 因此当时，，当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增，得， 所以，从而原命题得证． 3. 【解析】（1）时，， 当时,； 当时,单调递增,,, ∴存在，使得；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∵，，， ∴有两个零点． （2），， 显然是的极小值点的必要条件为，即, 此时，令， 则, 又在上单调递增，且，， 当时,,,,∴， 当时,,,,∴， 故存在唯一的零点，且， ∴在上单调递减，上单调递增， ，，又当时， ∴即在存在唯一的零点，在上的零点为0； ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，是的极小值点． 4. 【解析】所以，当时，，所以在单调递增， 又因为，所以在上无零点    当时，使得，所以在单调递减，在单调递增， 又因为，， 所以若，即时，在上无零点，  若，即时，在上有一个零点，   当时，在上单调递减，在上无零点，       综上当时，在上有一个零点  （2）由，即，即， 则有,令,,则， ，所以函数在上递增， 所以，则有， 即,,因为关于的方程有两个不同的实数解， 则方程,有两个不同的实数解，令，则， 当时，，当时,， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，当时，，所以． 5.【解析】解：当  时，  ，  ． 当  时，  ，  ，  ， 所以  在  上单调递增． 又 ， 所以  为偶函数，所以  在  上单调递减． 综上，  在  上单调递减，在  上单调递增． 由题意可得  ，不妨设  ． 当  时，  ， 函数  在  上单调递增，值域为  ． 当  时，存在唯一实数  ，使得  ． 又  ，所以当  时，  ，  单调递减， 当  时，  ，  单调递增． 所以当  时，  在  上存在极小值点  ； 当  时，  ， 函数  在  上单调递增，值域为  ． 当  时，存在唯一实数  ，使得  ． 又  ，所以当  时，  ，  单调递增， 当  时，  ，  单调递减． 所以当  时，  在  上存在极大值点  ． 又  ， 综上，若  在区间  上存在两个极值点，则的取值范围为  ． 由  ，得  ． 所以  ． 同理可得  ． 由  ，整理，得  ． 又  ，所以  ， 所以  ，解得  舍去或  ， 所以   ． 6. 【解析】解：  ， 当  时，易证：  ，所以  ，故  在  上单调递增； 当  时，设  ，则  ，  又设， 则 ，由于  和  在  上单调递减，所以  在  上单调递减，因为  ，所以存在  使得  ， 当  时，  ，单调递增，即 单调递增； 当  时，  ，单调递减，即  单调递减； 因为  ，所以存在  使得  ， 当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减； 因为  ，所以  时，  ，所以  单调递增； 综上所述，函数  在  上单调递增 由知：当  时，  ，  单调递增； 当  时，  ，  单调递减； 因为  ，所以，当  时，  恒成立，即  ，所以  ． 令  ，则  ， 所以  ， 设  ，  ，则  ， 所以函数  在  上单调递减，则  ， 即  ，  ，所以  ， 所以  ， 综上可知，当时， 成立． 7. 【解析】解：，，， ，， 令， 则，等号不同时取， 所以当时，，在上单调递增，， 若，即，，在上单调递增， 所以在上的最小值为，符合题意； 若，即，此时，， 又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在， 使得，且当时，，在上单调递减， 所以，与题意矛盾，舍去． 综上所述，实数的取值范围是； ， 令， 则，即，， ， 所以在上单调递增，， 即当时，，所以在单调递增； 由得，当时，， 所以当时， 又当时，，成立， 所以当时，， 即． 所以当时，．  共13页/第12页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9：导数与三角函数交汇问题 <<<专题综述>>> 导数与三角函数交汇问题是指，应用导数的基础知识与方法，研究问题情境中含有三角函数的函数问题.函数的特征是：全三角函数型、三角函数与多项式函数组合型、三角函数与指数函数组合型、三角函数与对数函数组合型等. <<<专题探究>>> 导数与三角函数交汇问题的题型常见的有：函数零点问题、不等式恒成立问题、不等式证明问题、极值点偏移问题等，分析求解时既要充分应用导数的工具性作用，又要充分应用三角函数的性质与三角恒等变换技巧，关健是灵活应用正弦函数和余弦函数的有界性. 题型一：三角函数与多项式函数组合型 题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和不等恒成立求参变量取值范围问题.第（1）小问应用导数求函数的最值证明不等式；第（2）小问应用“参变分离”法，应用数学建模构造函数，然后应用导数和换元法求新构造函数的极值点，最后应用分类与整合思想探究参数的取值范围。 例1已知函数. （1）若，当时，证明：； （2）若当时，，求实数的取值范围. 【思路点拨】 第（1）问注意到，因此应用导数推导函数在上单调递增即可；第（2）问题设情境为不等式恒成立问题，注意到的导数为而因此由参变分离技巧将，等价练为，然后构造函数，通过分类辨析求解实数的取值范围. 练1.已知函数． （1）若曲线在点处的切线与x轴平行． ①求实数的值：②证明：函数在内只有唯一极值点； （2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有． 练2.已知函数，且. （1）求实数a的值； （2）求证：存在唯一的极小值点，且； （3）设，.对，恒成立，求实数b的取值范围. （参考结论：，） 题型二：三角函数与指数函数组合型 题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和已知函数零点个数求参变量取值范围问题.第（1）小问应用放缩法判定导函数取值的正负情形，应用函数的单调性确定函数的最值，从而证明不等式；第（2）小问利用第（1）问的结论找到参数的取值范围，然后通过二次求导及零点定理证明，当参数在该范围内取值时，原函数有且仅有两个零点。 例2已知函数，． （1）当时，求证：； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【思路点拨】 第(1)问注意到联想函数在上单调递增,连续2次求导后,应用当时，，推导2阶导数大于零,从而推导,得函数在上单调递增而证明.第(2)问由第(1)问可推导当时，恒成立,由，可知函数仅有个零点不合题设,从而猜想实数的取值范围应在内,然后应用导数工具分析推导． 练3已知函数，其中, 为自然对数的底数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求证：对任意的，. 练4.已知函数． 若，求的最小值； 若有且只有两个零点，求实数的取值范围． 题型三：三角函数与对数函数组合型 题设情境是含参变量函数的极值问题和有关函数零点的不等式证明问题.第（1）小问应用导数与函数极值的基本知识，通过分类讨论求函数的极值；第（2）小问由题设条件“当时，”，应用方程思想，通过比值代换技巧，数学建模构造函数，应用导数证明不等式。 例3已知函数． （1）求函数的极值； （2）若存在，且当时，，当时，求证：． 【思路点拨】 第(1)问应用导数研究函数极值的基础知识与基本方法求函数的极值;第(2)问由题设情境因为“”，所以“”联想极值点偏移和比值代换推理论证，同时注意利用判定取值的正负确定函数的单调性. 练5已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 练6已知函数，为的导数. 证明：(1)在区间存在唯一极大值点； (2)有且仅有2个零点． <<<专题训练>>> 1.已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程 当时，，求实数的取值范围． 2.已知函数． （1）若为的极小值点，求a的取值范围； （2）若有唯一的极值，证明：，． 3.已知函数． （1）若，求函数的零点个数； （2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？说明理由． 4.已知． （1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围． （2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 5.已知函数． 当时，讨论在区间上的单调性； 设在区间上存在两个极值点，． 求 的取值范围； 若，求的值． 6.已知函数． 判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论； 证明：． 7.已知函数，． 若恒成立，求的取值范围； 判断的单调性，并说明理由； 证明：，证明时可使用下列结论：当时，，成立． 共9页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$