专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（9类必考点）2025-2026学年高一数学人教A版2019必修第一册

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 2 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 4 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 5 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 6 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 7 【考点6：一元二次不等式有解问题】 7 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 8 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 9 【考点9：三个“二次”关系的应用】 11 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 5．（重庆市部分区2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（多选）（24-25高一上·全国·周测）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 3．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 4．（2025高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 5．（2025高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集：． 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题）不等式的解集为 ． 2．（24-25高二下·重庆·期末）不等式的解集是 . 3．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 4．（24-25高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）解不等式：． 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（2025高一·全国·专题练习）已知不等式的解集为或，则 ， ． 6．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围. 【考点6：一元二次不等式有解问题】 1．（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 6．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 6．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【考点8：二次函数的图象分析与判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 6．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【考点9：三个“二次”关系的应用】 1．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知不等式的解集为，则 . 2．（24-25高一上·湖北襄阳·阶段练习）“或"是“存在实数使得不等式成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 4．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 6．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识梳理】 1 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 2 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 5 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 8 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 10 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 13 【考点6：一元二次不等式有解问题】 14 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 17 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 19 【考点9：三个“二次”关系的应用】 23 【知识梳理】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 4. 一元二次不等式存在性或恒成立问题 方法一：①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 方法二：将一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题. 5．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 6．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【考点1：解不含参数的一元二次不等式】 1．（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由题可得不等式解集. 【详解】或，则得或. 则解集为或. 故选：B 2．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法计算. 【详解】不等式的解集为. 故选：A 3．（2025高一·全国·专题练习）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先整理不等式为二次项系数为正的情况，然后结合二次函数图像与判别式 【详解】不等式等价于， 二次函数图象开口向上，， 所以不等式的解集为全体实数， 故选：D. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）下列不等式的解集为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由完全平方数判断A，举反例判断BCD即可. 【详解】对于A，因为恒成立，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当是，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 5．（重庆市部分区2024-2025学年高二下学期7月期末联考数学试题）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可. 【详解】，得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 6．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)或. (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为：或. （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 【考点2：解含参数的一元二次不等式】 1．（多选）（24-25高一上·全国·周测）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 2．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 3．（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或. 4．（2025高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解. 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5．（2025高三·全国·专题练习）求下列关于的不等式的解集：． 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小关系分类讨论求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 当时，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或． 【考点3：解分式、高次、绝对值不等式】 1．（贵州省遵义市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解． 【详解】，即， 解得：或， 故不等式的解集为：或， 故答案为：或． 2．（24-25高二下·重庆·期末）不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为或. 故答案为：或 3．（2025·上海黄浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 4．（24-25高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 5．（2025高一·全国·专题练习）解不等式：． 【答案】． 【分析】利用穿针引线法，利用数形结合思想得到不等式的解集. 【详解】的零点从左到右依次为， 当时，当时，当时，当时． 所以不等式：为． 【考点4：由一元二次不等式的解确定参数】 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先根据不等式的解集求出的值，可求出的解集. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的两个根. 所以，解得. 所以不等式化简得. 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知不等式的解集为或，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】根据不等式的解集为,可知是方程的两个根，利用韦达定理可求的值，进而可求答案． 【详解】根据不等式的解集为, 可知是一元二次方程的两个根， 利用韦达定理可得,解得 故答案为：；. 6．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由题意得要满足题意只需，列式计算求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出判别式范围即可求解. 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则 则实数. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 3．（24-25高一上·云南文山·期末）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】参变分离计算可得，再利用充分不必要条件定义即可判断. 【详解】由，因为，所以， 要想该命题为真命题，只需，四个选项中只有A符合充分不必要的性质. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由题设，在上恒成立，而， 所以. 故答案为： 5．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对正实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据不等式恒成立，结合二次函数的性质及分类讨论求参数范围. 【详解】当时，开口向下，则在上存在的情况，不符； 当时，显然在上不恒成立，不符； 当时，开口向上且对称轴为， 所以，在上，只需，可得（舍）， 综上， 【考点6：一元二次不等式有解问题】 1．（24-25高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 故选：C. 2．（24-25高一上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或， 故选：D 3．（多选）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 4．（24-25高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】或 【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为或. 【考点7：一元二次不等式的实际应用】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）某工人共加工300个零件，在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务，则改进操作方法前每天至少加工零件的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】设改进操作方法前每天至少要加工x个零件，由题意得，解得或（舍去）．又，所以改进操作方法前每天至少要加工9个零件． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏．若售价每提高1元，则日销售量减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，设每盏台灯售价为元，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每盏台灯售价为元，则，并且日销售收入为，当时，有，解得． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）某城市对一种售价为160元/件的电子产品征收附加税，税率为（即每销售100元征税元）．若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则的最大值为（   ） A．8 B．10 C．8% D．10% 【答案】A 【详解】根据题意得，化简整理得，解得，即的最大值为8． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用一条长为的铁丝围成一个矩形，设矩形的长为（长大于宽），要使矩形的面积大于，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知矩形的长为，则它的宽为，故，即.要使矩形的面积大于，则，解得.综上，. 5．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了．事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：，．则可判断甲、乙两车的超速现象是（   ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），即乙车超速 6．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意列式，进而求解即可. 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 【考点8：二次函数的图象分析与判断】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若二次函数的图象开口向下，与x轴的交点的横坐标分别为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由二次函数的图象可得. 2．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知，函数与轴的交点横坐标为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数的大致图象，再将其图象往上平移1个单位，并画出其大致图象，数形结合即可求解. 【详解】二次函数与轴的交点横坐标为 、 ， 将其图象往上平移1个单位长度可得出二次函数的图象， 如图所示观察图象，可知: . 故选: B. 3．（24-25高一下·云南迪庆·期末）抛物线的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴、 函数值、零点个数逐项判断即可. 【详解】抛物线的开口向下，， 抛物线的对称轴为，，， 抛物线与轴相交于正半轴，，，故A错误； 抛物线的对称轴为，，，故B错误； 由图象可知，当时，函数值小于0，即， 故C正确； 抛物线与轴有两个交点，，，故D错误. 故选：C. 4．（多选）（24-25高一上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如下图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数的图象，可判断出结果. 【详解】对于A，由图可得对称轴为，所以，故A正确； 对于B，由图可得，当时，，所以，故B错误； 对于C，由图可得，当时，，所以，故C正确； 对于D，该图象开口向下，所以，因为，所以， 当时，，所以，故D正确； 故选：ACD. 5．（多选）（24-25高一上·四川成都·期中）如图所示，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中不正确的是（   ） A． B． C．时的解集为或 D．方程有且仅有一个实数解 【答案】BCD 【分析】对于A，由对称轴可判断；对于B，由图象与轴交于，两点即可判断；对于C，由韦达定理得到，，代入即可解不等式；对于D，将函数式设成，取，由判别式判断. 【详解】对于A，因为函数的对称轴为，所以，整理得.故A正确； 对于B，因为二次函数图象与轴交于，两点， 所以，故B错误； 对于C，因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为， 所以和是方程的两根， 所以，， 所以，， 所以可化为， 由于，所以，解得.故C错误； 对于D，由C可设，， 当时，方程即为， 所以， 由于，此时方程有两个不等实数根，故D错误. 故选：BCD 6．（多选）（24-25高一上·广东广州·期末）如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（    ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据二次函数的图象的开口、对称轴、零点，知，可判断A，B，由对称性知函数有两个零点，得，，代入不等式，结合求解，即可判断C，D. 【详解】对于A，由图象开口向下，得，故A不正确； 对于B，对称轴为，故对， 即，故B正确； 对于C，图像过点，由对称性得有两个零点， 所以，故，由， ，得，故的解集为，故C正确； 对于D，∵，，由，得 又，，解得， ∴的解集为，故D正确. 故选：BCD. 【考点9：三个“二次”关系的应用】 1．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知不等式的解集为，则 . 【答案】4 【分析】利用三个二次的关系，将不等式的解集转化成方程的根，利用韦达定理求出即得. 【详解】依题意，方程有两根为1和2，且， 由韦达定理，，解得，故. 故答案为：4. 2．（24-25高一上·湖北襄阳·阶段练习）“或"是“存在实数使得不等式成立”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】B 【分析】由存在实数使得不等式成立，知，由此能求出实数的取值范围，即可进行判断. 【详解】存在实数使得不等式成立， ，即， 或. 由“或”不能推出“或”成立， 由“或”能推出“或”成立， “或"是“存在实数使得不等式成立”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果. 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 4．（多选）（24-25高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】或 【分析】由不等式的解集可求出的值，代入不等式求解即可. 【详解】依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 6．（24-25高一上·云南曲靖·阶段练习）已知函数. (1)若关于的不等式有解，求的取值范围； (2)求的取值范围，使得总有实数解. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式的关系，结合分类讨论即可求解， （2）根据一元二次方程的根，利用判别式即可求解. 【详解】（1）若，则，不满足题意； 若，则必有解； 若，解得， 故的取值范围为或； （2）①若，则，不满足题意； ②由，由知总有实数解， 即，则或， 由于，则或， 综上，或. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$