专题2.2 基本不等式（9类必考点）（人教A版2019必修第一册）-2025-2026学年高一数学

专题2.2 基本不等式 【知识梳理】 1 【考点1：由基本不等式比较大小】 2 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 3 【考点3：基本不等式求积的最大值】 5 【考点4：基本不等式求和的最小值】 6 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 6 【考点6：条件等式求最值】 8 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 8 【考点8：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 9 【考点9：利用基本不等式解决实际问题】 10 【知识梳理】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．几个重要的不等式： （1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 5. 利用基本不等式解决实际问题 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）（1）已知，证明： （2）已知，证明： 3．（24-25高一上·上海金山·期末）（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 5．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 4．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 6．（24-25高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 2．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 3．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 6．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【考点6：条件等式求最值】 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（多选）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．（江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试题）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 3．（浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）已知正实数，满足，则的最小值为 . 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，且，求的最小值． 【考点8：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 4．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 7．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 8．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【考点9：利用基本不等式解决实际问题】 1．（24-25高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 2．（24-25高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 3．（24-25高二·全国·随堂练习）某体育馆要建造一个长方体形游泳池，其容积为，深为3m．如果建造池底的单价是建造池壁单价的倍，怎样设计水池能使总造价最低？ 4．（24-25高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 5．（24-25高一·全国·课堂例题）某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？      6．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 7．（24-25高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油． (1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价； (2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明． 8．（24-25高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 基本不等式 【知识梳理】 1 【考点1：由基本不等式比较大小】 2 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 4 【考点3：基本不等式求积的最大值】 7 【考点4：基本不等式求和的最小值】 9 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 10 【考点6：条件等式求最值】 13 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 15 【考点8：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 18 【考点9：利用基本不等式解决实际问题】 22 【知识梳理】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．几个重要的不等式： （1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 5. 利用基本不等式解决实际问题 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由且，根据基本不等式的性质，得， 当，时，满足，不能够推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（多选）（24-25高一上·全国·单元测试）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于选项A，对作差，用均值不等式，即可判断作答；对于选项B，只需将变形成，代入消元后不等式性质判断即可；对于选项C，根据基本不等式“和定，积最大”可判断；对于选项D，将平方后由基本不等式即可判断. 【详解】对于A， 当且仅当时，等号成立，所以，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D错误. 故选：AB. 2．（24-25高一上·福建漳州·阶段练习）（1）已知，证明： （2）已知，证明： 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的基本性质，转化求解证明即可； （2）利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论. 【详解】（1）由，得，即， 所以，又， 故，所以． （2），，， ，，，当且仅当时，等号成立， ， ； 3．（24-25高一上·上海金山·期末）（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当，；（2）， 【分析】（1）通过作差法将式子变形为完全平方的形式，利用完全平方的非负性来证明不等式；（2）根据已知条件，利用均值不等式来求解最大值。 【详解】（1）因为， 所以，     当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 所以的最大值为. 当且仅当，即时，不等式中等号成立. 4．（24-25高一上·湖南益阳·期末）（1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 5．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，再应用基本不等式求目标式的最大值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 4．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用重要不等式，注意等号成立条件，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则. 故答案为：. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式,结合构造和为定值来求积的最大值，并注意说明取等号条件. 【详解】∵，∴， ∴， ∴当且仅当， 即时，． 6．（24-25高一上·甘肃白银·期中）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式可求得结果；（2）利用基本不等式可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此，当时，取到最大值. （2）由，解得， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为10. 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（2025高二上·云南·学业考试）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故选：C 2．（2025高二下·浙江·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因，则， 则，等号成立时. 故的最小值是. 故选：C 3．（24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号. 故选：B 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知正数m，n满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，当且仅当，时等号成立，所以． 5．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 3．（多选）（24-25高一上·江苏·阶段练习）下列各式中，最小值是6的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基本不等式分析各个选项的最小值即可得出正确答案. 【详解】对于选项A，由于可能为负，所以的最小值不是6，A错误； 对于B，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，当异号时其最小值应小于4，故C错误； 对于D，因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD 4．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 6．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 【考点6：条件等式求最值】 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合相关变式即可求解，注意等号成立的条件. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 3．（多选）（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 【考点7：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（2025·安徽合肥·三模）已知正数、满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 2．（江苏省常州市2024-2025学年高二下学期期末质量调研数学试题）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可. 【详解】，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：. 3．（浙江省宁波市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由基本不等式即可得. 【详解】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 6．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 7．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 8．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，，且，求的最小值． 【答案】16 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式求解即可. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，又，即，时，上式取等号． 故当，时，． 【考点8：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】利用代换1法结合基本不等式来求的最小值，即可求出的最大值. 【详解】由， 因为，，所以有， 当且仅当时取等号， 所以有， 故答案为：. 2．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 4．（24-25高二下·吉林白城·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分母换元，然后用基本不等式可求出的最小值,从而可以求出结果. 【详解】设 ，，则 ，且 ，， ， 当且仅当时，即时取等； ， . 故答案为：. 5．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 7．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 8．（24-25高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）或 ． 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为或. 【考点9：利用基本不等式解决实际问题】 1．（24-25高一·全国·课后作业）用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 2．（24-25高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 3．（24-25高二·全国·随堂练习）某体育馆要建造一个长方体形游泳池，其容积为，深为3m．如果建造池底的单价是建造池壁单价的倍，怎样设计水池能使总造价最低？ 【答案】池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 【分析】先求得游泳池总造价的表达式，再利用均值定理即可求得池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 【详解】设池底的长为，则池底的宽为，令池壁的单价为元 则游泳池总造价为 由（当且仅当时等号成立）， 可得 故池底为边长的正方形时，游泳池总造价最低. 4．（24-25高一上·上海徐汇·期中）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 5．（24-25高一·全国·课堂例题）某公司设计了如图所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆形弧相连接.已知这块绿化景观地带的内圈周长为400m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？      【答案】当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域的面积最大. 【分析】设平行线段长为，半圆形直径为，中间的矩形区域面积为，根据题意可知，且，结合基本不等式运算求解. 【详解】设平行线段长为，半圆形直径为，中间的矩形区域面积为. 由题意可知，且， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以当平行线段的长设计为100m时，中间矩形区域的面积最大，最大值为. 6．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园，设菜园的长为，宽为．    (1)若菜园面积为，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长度为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由已知得，篱笆总长为，利用基本不等式即可求出最小值；（2）根据条件得，然后令，展开化简，利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】（1）由已知可得，篱笆总长为． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 所以当时，可使所用篱笆总长最小． （2）由已知得， 又因为， 所以，当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值是． 7．（24-25高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油． (1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价； (2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明． 【答案】(1)第一种方案的均价为；第二种方案的均价为； (2)第二种加油方案比较经济划算，详见解析. 【分析】（1）根据题意即得； （2）利用基本不等式即得. 【详解】（1）由题可得第一种方案的均价为， 第二种方案的均价为； （2）因为，， 所以，， 所以， 即第二种加油方案比较经济划算. 8．（24-25高一上·山东·期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为米. (1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】(1)4m，14400元 (2) 【分析】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. （2）由题意可得.对恒成立. 即 令 . 令， 则在上单调递增. 且时，. . 即的取值范围为. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$