46.∣ax 2+bx+c∣≤k型绝对值不等式恒成立问题【拔高】专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学函数类专项训练 46.型绝对值不等式恒成立问题【拔高】（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】型不等式恒成立的充要条件 ￮ 定义表述：对于二次函数，不等式在区间上恒成立，等价于函数在区间上的最大值不超过，最小值不低于。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：需结合二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求函数的最值；当时，不等式恒不成立。 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、绝对值函数的综合问题，可拓展到型不等式恒成立问题。 2. 【概念2】二次函数在闭区间上的最值定理 ￮ 定义表述：对于二次函数，在闭区间上的最值由对称轴与区间的位置关系决定，分为对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧三种情况。 ￮ 数学符号/表达式： 当时， 当时， ￮ 关键特征：开口方向决定最值的取得位置，对称轴与区间的位置是分类讨论的核心依据；开区间需结合函数单调性分析最值的存在性。 ￮ 跨章节关联：适用于所有二次函数的最值求解，是解决恒成立问题的理论基础。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 $ f(x) \leq k$恒成立的转化逻辑 等价于恒成立，需同时满足且 含参数二次函数最值的分类依据 以对称轴与区间的位置关系为分类标准，分“轴在区间内、轴在区间左、轴在区间右”三类 1. 分类标准混乱，重复或遗漏情况；2. 忽略二次项系数的符号对最值的影响；3. 开区间直接套用闭区间的最值结论 对比：在上，时对称轴，需分；时，函数在单调递减，最值在端点 分离参数法的适用条件 当的取值区间不含，且不等式可整理为关于参数的一次不等式时，可使用分离参数法 1. 时强行分离参数导致分母为；2. 分离参数后未判断函数的单调性求最值；3. 忽略参数的系数符号对不等号方向的影响 对比：$ 三、题型分类与例题精析 题型1：无参数区间上恒成立，求的取值范围 题型特征：二次函数的系数为确定常数，给定闭区间，求使在上恒成立的最小正实数或的取值范围。 解题步骤： 1. 构造二次函数，确定开口方向和对称轴方程； 2. 根据对称轴与区间的位置关系，求在上的最大值和最小值； 3. 结合恒成立条件，解不等式组得的取值范围。 例题1 求使不等式在区间上恒成立的最小正实数。 举一反三1-1 求使不等式在区间上恒成立的的取值范围。 举一反三1-2 已知不等式在区间上恒成立，求的最小值。 举一反三1-3 判断是否存在实数，使不等式在区间上恒成立？若存在，求的范围；若不存在，说明理由。 题型2：含参数的恒成立，求参数的取值范围 题型特征：二次函数中含待定参数，已知在指定区间上恒成立，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 化简不等式为，分离参数或直接构造函数； 2. 分析二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求最值； 3. 根据最值满足的不等式，解出参数的取值范围，取各分类情况的并集。 例题2 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 举一反三2-1 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 举一反三2-2 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 举一反三2-3 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 题型3：含参数区间的恒成立问题 题型特征：二次函数系数和区间均含参数，已知恒成立，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 确定区间的有效性（区间左端点小于右端点）； 2. 分析二次函数对称轴与含参区间的位置关系，分类讨论； 3. 结合恒成立条件列出不等式组，求解后取各情况的交集与并集。 例题3 已知不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围。 举一反三3-1 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，则的最小值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于不等式在区间上恒成立，下列说法正确的有（） A. 当时，不等式恒成立 B. 等价于恒成立 C. 可转化为（） D. 一定存在实数满足条件 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 验证不等式在区间上是否恒成立。 (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知不等式在区间上恒成立，则的取值可以是（） A. B. C. D. 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知不等式在区间上恒成立，则的取值可能为（） A. B. C. D. 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 4. 解答题 (1) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学函数类专项训练 46.型绝对值不等式恒成立问题【拔高】（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】型不等式恒成立的充要条件 ￮ 定义表述：对于二次函数，不等式在区间上恒成立，等价于函数在区间上的最大值不超过，最小值不低于。 ￮ 数学符号/表达式： ￮ 关键特征：需结合二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求函数的最值；当时，不等式恒不成立。 ￮ 跨章节关联：适用于二次函数、绝对值函数的综合问题，可拓展到型不等式恒成立问题。 2. 【概念2】二次函数在闭区间上的最值定理 ￮ 定义表述：对于二次函数，在闭区间上的最值由对称轴与区间的位置关系决定，分为对称轴在区间内、区间左侧、区间右侧三种情况。 ￮ 数学符号/表达式： 当时， 当时， ￮ 关键特征：开口方向决定最值的取得位置，对称轴与区间的位置是分类讨论的核心依据；开区间需结合函数单调性分析最值的存在性。 ￮ 跨章节关联：适用于所有二次函数的最值求解，是解决恒成立问题的理论基础。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 $ f(x) \leq k$恒成立的转化逻辑 等价于恒成立，需同时满足且 含参数二次函数最值的分类依据 以对称轴与区间的位置关系为分类标准，分“轴在区间内、轴在区间左、轴在区间右”三类 1. 分类标准混乱，重复或遗漏情况；2. 忽略二次项系数的符号对最值的影响；3. 开区间直接套用闭区间的最值结论 对比：在上，时对称轴，需分；时，函数在单调递减，最值在端点 分离参数法的适用条件 当的取值区间不含，且不等式可整理为关于参数的一次不等式时，可使用分离参数法 1. 时强行分离参数导致分母为；2. 分离参数后未判断函数的单调性求最值；3. 忽略参数的系数符号对不等号方向的影响 对比：$ 三、题型分类与例题精析 题型1：无参数区间上恒成立，求的取值范围 题型特征：二次函数的系数为确定常数，给定闭区间，求使在上恒成立的最小正实数或的取值范围。 解题步骤： 1. 构造二次函数，确定开口方向和对称轴方程； 2. 根据对称轴与区间的位置关系，求在上的最大值和最小值； 3. 结合恒成立条件，解不等式组得的取值范围。 例题1 求使不等式在区间上恒成立的最小正实数。 解析： 设，，对称轴为。 计算区间端点和对称轴处的函数值： ，， 因此， 由恒成立，得，即 故最小正实数为。 答案： 举一反三1-1 求使不等式在区间上恒成立的的取值范围。 解析： 设，，对称轴为 ，， ， 由恒成立条件得，即 答案： 举一反三1-2 已知不等式在区间上恒成立，求的最小值。 解析： 设，，对称轴 ，， ， 由，得 答案： 举一反三1-3 判断是否存在实数，使不等式在区间上恒成立？若存在，求的范围；若不存在，说明理由。 解析： 设，，对称轴 ，， ， 由恒成立条件得，即 故存在实数，取值范围为 答案：存在，的取值范围为 题型2：含参数的恒成立，求参数的取值范围 题型特征：二次函数中含待定参数，已知在指定区间上恒成立，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 化简不等式为，分离参数或直接构造函数； 2. 分析二次函数的开口方向、对称轴与区间的位置关系，分类讨论求最值； 3. 根据最值满足的不等式，解出参数的取值范围，取各分类情况的并集。 例题2 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 设，对称轴为，不等式等价于在恒成立。 分三类讨论： ① 当时，在单调递增 ，解得，结合前提得 ② 当时，在递减，递增 由得，解得 结合，得 ③ 当时，在单调递减 ，解得，结合前提得 综上，的取值范围是 答案： 举一反三2-1 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 当时，不等式为，恒成立， 当时，不等式化为 即，等价于 令，， ，令，则，在时单调递减， ，令，则，在时单调递增， 因此 答案： 举一反三2-2 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 设，对称轴，不等式等价于在恒成立 即 ① 当即时，在递增 ，解得，故 ② 当即时 解得，结合，得 ③ 当即时，在递减 ，解得，与矛盾，无解 综上，的取值范围是 答案： 举一反三2-3 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 不等式化为，即 因为，所以 令，， 在单调递增， 在递减，递增， 因此 答案： 题型3：含参数区间的恒成立问题 题型特征：二次函数系数和区间均含参数，已知恒成立，求参数的取值范围。 解题步骤： 1. 确定区间的有效性（区间左端点小于右端点）； 2. 分析二次函数对称轴与含参区间的位置关系，分类讨论； 3. 结合恒成立条件列出不等式组，求解后取各情况的交集与并集。 例题3 已知不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围。 解析： 因为，所以区间有效，设，对称轴，恰为区间中点 在递减，递增，，， ， 由恒成立，得 由得，，无解； 由得 综上，不存在满足条件的正实数 答案：不存在正实数满足条件 举一反三3-1 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 区间有效，设，对称轴 ，， ， 由恒成立条件得 无解，故不存在实数 答案：不存在实数满足条件 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，则的最小值为（） A. B. C. D. 解析： 设，对称轴，，， ，，由恒成立条件得，最小值为 答案：B 2. 多选题 关于不等式在区间上恒成立，下列说法正确的有（） A. 当时，不等式恒成立 B. 等价于恒成立 C. 可转化为（） D. 一定存在实数满足条件 解析： A选项：时，，恒成立，正确； B选项：绝对值不等式的等价转化，正确； C选项：时，不等式化为，即，正确； D选项：最大值为，最小值为，存在满足，正确。 答案：ABCD 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 解析： 设，对称轴，，， 由恒成立，得，解得 答案： 4. 解答题 (1) 验证不等式在区间上是否恒成立。 解析： 设，对称轴，，， ，不满足，故不等式不恒成立。 答案：不等式不恒成立 (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 不等式化为，即 因为，所以 令，在递增， 令，在递增， 故 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，且，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析： 时，恒成立； 时，，即 分别求左右两边函数在区间内的最值，结合，解得 答案：B 2. 多选题 已知不等式在区间上恒成立，则的取值可以是（） A. B. C. D. 解析： 不等式化为，即 因为，所以 在递增，最大值为 在递减，递增，最小值为 故无解，无符合选项 答案：无正确选项 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 解析： ，对称轴 分三类讨论，结合恒成立条件，解得 答案： 4. 解答题 (1) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 不等式化为，即 当时，恒成立； 当时，，最值分别为和； 当时，，最值分别为和； 综上， 答案： (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 当时，在不成立； 当时，不等式化为 分离参数得 求左右两边函数在的最值，解得 答案： （三）拔高挑战卷（5题） 1. 单选题 若不等式在区间上恒成立，则的取值范围是（） A. B. C. D. 解析： 不等式化为，即 因为，所以 在递增，最大值为 在递减，递增，最小值为 结合选项，符合条件 答案：B 2. 多选题 已知不等式在区间上恒成立，则的取值可能为（） A. B. C. D. 解析： 当时，在上恒成立； 当时，，分讨论，结合恒成立条件，得 答案：ABCD 3. 填空题 若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______。 解析： 不等式化为，整理得 令，，结合区间的最值条件，解得 答案： 4. 解答题 (1) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 设，对称轴 分三类讨论，结合恒成立条件，解得 答案： (2) 已知不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围。 解析： 不等式化为，即 当时，恒成立； 当时，，最值分别为和； 当时，，最值分别为和； 综上， 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $