精品解析：广东省汕头市潮阳华斯达学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年第二学期期中质量监测 八年级 数学科试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（3*10＝30） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　） A. 2cm B. 2cm C. 4cm D. 3cm 5. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（ ） A. 1.0 米 B. 1.25 米 C. 1.2 米 D. 1.5 米 7. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 8. 如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A. 4cm B. 5cm C. cm D. cm 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（3*5＝15） 11. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长为________ 12. 若函数有意义，则x的取值范围__________ 13. 若，则的立方根是______. 14. 如图是办公桌摆件，四边形是矩形，若对角线，垂足是E，，，，则______． 15. 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，点E是直线AB上的一个动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE=________． 三、解答题（3*8＝24） 16. 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 四、解答题（3*9＝27） 19. 已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6 米． （1）试判定△ACD的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD的长度． 20. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 21. 如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M． （1）求证：EF＝AC． （2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM=15，BE=9，求CE的长． 22. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 23. 如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝，AB＝2，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒1个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F． （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由； （3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第二学期期中质量监测 八年级 数学科试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（3*10＝30） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合． 【详解】解：A.正方形是轴对称图形，该选项不符合题意； B. 平行四边形不是轴对称图形，该选项符合题意； C. 矩形是轴对称图形，该选项不符合题意； D. 菱形是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项逐一分析即可． 【详解】解：A． 不是最简二次根式，故A不符合题意； B． ，被开方数不含有能开得尽方的因式，是最简二次根式，故B符合题意； C．，被开方数中含有分母，故C不符合题意； D． ，分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于熟记最简二次根式的概念． 3. 下列条件中，使不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理及根据角的比例算出最大的角与90°作比较逐一判断即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，故是直角三角形，故A不符合题意； 由题意：令，则，， ∴，，， ∴，故是直角三角形，故B不符合题意； ，故是直角三角形，故C不符合题意； 由，则： 最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理来判断直角三角形及直角三角形的定义是解题的关键． 4. 一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　） A. 2cm B. 2cm C. 4cm D. 3cm 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的面积可得其边长，再由其边长，进而可得其对角线的长． 【详解】解：∵正方形的面积为8cm， ∴其边长为cm， ∴它的对角线长为：cm， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，要熟练掌握正方形的性质． 5. 如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质．掌握含角的直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键．根据题意可求出，即推出．在中，利用含角的直角三角形的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，，． ∴． 故选：B． 6. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.3 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为 1.7 米的学生 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米处时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离 AD 等于是（ ） A. 1.0 米 B. 1.25 米 C. 1.2 米 D. 1.5 米 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，先证明四边形BEDC是矩形，求出DE和AE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝∠BED＝90°， 由题意知，∠DCB＝∠B＝90°， ∴四边形BEDC是矩形， ∴BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝0.8米， ∵AB＝2.3米， ∴AE＝AB﹣BE＝2.3﹣1.7＝0.6（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到： AD＝（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 7. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　） A. 100° B. 120° C. 130° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴PE=AD，PF=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PFE=∠PEF=25°， ∴∠EPF=130°， 故选C． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 8. 如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A. 4cm B. 5cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图： ∵底面圆周长为8cm， ∴AD=BC=4cm， 又∵AB=3cm， ∴在Rt△ABC中，AC=(cm)， ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开图---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，矩形的性质和判定，直角三角形的性质，先说明是直角三角形，进而得出四边形是矩形，可知当时，最小，然后根据面积相等得出答案． 【详解】解：连接，如图． 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵， ∴四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵为的中点， ∴点M在上，且， ∴当最小时，最小， 根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短． ， 即， ∴． 故选：D． 10. 如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， , ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ，故②正确； 由②知：， ， 故③正确； ， ，故④错误； ， 为等腰三角形的角平分线， 平分，故⑤正确， 故正确的为：①②③⑤， 故选：B． 二、填空题（3*5＝15） 11. 如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，则的长为________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据题意可得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，为边上的中线，，， ∴， 在中， 故答案为：． 12. 若函数有意义，则x的取值范围__________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，，即可求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，， ∴，且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 13. 若，则的立方根是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的立方根．根据绝对值和算术平方根的非负性求出a和b的值是解题关键．根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，再代入中求值，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 14. 如图是办公桌摆件，四边形是矩形，若对角线，垂足是E，，，，则______． 【答案】##8厘米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据勾股定理求得，然后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，对角线， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，点E是直线AB上的一个动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE=________． 【答案】67.5°或45°或22.5° 【解析】 【分析】根据△AEC是以AC为腰的等腰三角形，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：当AC=AE时， 以A为圆心，AC为半径作圆交直线AB于点E， 当E在BA的延长线时， ∴∠EAC=135°， ∴∠ACE=22.5°， ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=67.5°； 当E在AB的延长线时， ∴∠EAC=45°， ∴∠ACE=67.5°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°； 当AC=CE时， 当以C为圆心AC为半径作圆交直线AB于点E， ∴∠EAC=∠CEA=45°， ∴∠BCE=45°． 故答案为：67.5°或45°或22.5°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是分两种情况进行讨论． 三、解答题（3*8＝24） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算， （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，正确化简分式是解题的关键；先计算分式的减法，再计算分式除法，最后代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 18. 已知，求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）99 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ． ∴． 【小问2详解】 解：， ， ． ∴． 四、解答题（3*9＝27） 19. 已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6 米． （1）试判定△ACD的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD的长度． 【答案】（1）△ACD是等腰直角三角形；（2）船体移动距离BD的长度为2m． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状； （2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长． 【详解】解：（1）由题意可得：AC=6m，DC=6m，∠CAD=90°， 可得AD==6（m）， 故△ACD是等腰直角三角形； （2）∵AC=6m，BC=10m，∠CAD=90°， ∴AB==8（m）， 则BD=AB-AD=8-6=2（m）． 答：船体移动距离BD的长度为2m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 20. 如图，在中，，是边上的中点，延长至点，使得，于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是边上的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可； （2）根据勾股定理得出，进而利用菱形面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 由勾股定理可知，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ． 21. 如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M． （1）求证：EF＝AC． （2）连接AM，若∠BAC＝45°，AM+DM=15，BE=9，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）CE=12. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF= AC； （2）连接AM，证得△AEC是等腰直角三角形，EF垂直平分AC，AM=CM，则BC=AM+DM=15，在Rt△BEC中，利用勾股定理可得出CE的长． 【详解】（1）证明： ∵CD=CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∴∠AEC＝90°, ∵在Rt△AEC中，点F为AC的中点， ∴EF=AC； (2)如图，连接AM， ∵∠BAC=45°，CE⊥BD， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM=CM， ∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB， ∴BC=AM+DM=15， ∵BE=9， 在Rt△BEC中， . 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC． 22. 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； （2）当时，求的最小值； （3）如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）４； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【小问1详解】 解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； 【小问2详解】 解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． 【小问3详解】 解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 23. 如图，等腰△ABC中，已知AC＝BC＝，AB＝2，作∠ACB的外角平分线CF，点E从点B沿着射线BA以每秒1个单位的速度运动，过点E作BC的平行线交CF于点F． （1）求证：四边形BCFE是平行四边形； （2）当点E是边AB的中点时，连接AF，试判断四边形AECF的形状，并说明理由； （3）设运动时间为t秒，是否存在t的值，使得以△EFC的其中两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形？不存在的，试说明理由；存在的，请直接写出t的值． 【答案】（1）详见解析；（2）四边形AECF是矩形，证明详见解析；（3）t的值为或5或2． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角、角平分线的性质及三角形外角的性质可得∠FCH＝∠B，所以BE∥CF，由题意知EF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）结合平行四边形BCFE的性质及中点的性质可证四边形AECF是平行四边形再由等腰三角形三线合一的性质可得∠AEC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证结论； （3）分3种情况讨论，①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，由BE＝BC可得t值；②以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，由CE=EF=BC=CA可得t值；③以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，过C作CD⊥AB于D， 根据勾股定理易得CD值，由CF=CE=BE可求得t值. 【详解】解：（1）∵AC＝BC， ∴∠B＝∠BAC， ∵CF平分∠ACH， ∴∠ACF＝∠FCH， ∵∠ACH＝∠B+∠BAC＝∠ACF+∠FCH， ∴∠FCH＝∠B， ∴BE∥CF， ∵EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形； （2）四边形AECF是矩形． 理由是： 由（1）知：四边形BCFE是平行四边形， ∴CF＝BE，CF∥AB, ∵点E是AB的中点， ∴BE=AE, ∴CF=AE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝BC ，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． （3）t的值为或5或2． 分三种情况： ①以EF和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时， ∴BE＝BC，即t＝， ②以CE和EF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时，CE=EF=BC=CA，此时E与A重合，∴t＝2， ③以CE和CF两边为邻边所构造的平行四边形恰好是菱形时， 过C作CD⊥AB于D， ∵AC＝BC，AB＝2， ∴BD＝1， 由勾股定理得：CD=， ∵CF=CE=BE, ∴EC2=BE2, ∴ 32+( t﹣1) 2＝t2， ∴t＝5． 所以t的值为或5或2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定，构造菱形时注意分类讨论，灵活的应用相应的判定及性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $