精品解析：重庆市主城区七校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024-2025学年（下）期末考试 高2027届数学试题 考试说明： 1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：共5页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 3. 已知，，向量与的夹角为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知l，m为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.则大楼的高度为（ ）m. A. B. C. D. 6. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. D. 7. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 2025年初，重庆中小学全面实施体育锻炼增时计划，每天2次30分钟大课间，某中学大课间活动为跳绳运动，随机了解该校10名同学在1分钟内的跳绳数分别为：85，65，90，75，80，50，70，95，60，40（单位：个），则下列说法正确的是（ ） A. 极差为55 B. 中位数75 C. 平均数是71 D. 方差为100 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与方向相反的单位向是是 C. 与的夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向是为 11. 如图，正四棱台中，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与面ABCD所成角大小为 C. 异面直线与所成角余弦值为 D. 以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台表面相交的交线长为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则_____. 13. 某种型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为9（cm）圆锥形脆皮蛋卷桶，则下半部分脆皮蛋卷桶的面积为__________（）. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 2025年五一节前夕，随着“卤鹅哥”带着重庆荣昌特产卤鹅，五城投喂“甲亢哥”，努力推介家乡，流量爆棚，在荣昌区委区政府的大力加持下，荣昌旅游火出圈，吸引了来自全国各地的游客打卡荣昌，感受“千年荣昌的热情”.为评估游客的旅游体验，随机选择了100名游客对荣昌旅游体验进行满意度评分（满分100分）.根据评分数据，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值及满意度评分的平均值； （2）求满意度评分的第80百分位数； （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人满意度评分来自同一小组的概率. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， （1）求角A的大小； （2）求周长的最大值； （3）若BC中点为D，求AD的最小值. 19. 如图，在三棱柱中，，，，点在面内投影为点O，若点O在线段上运动，. （1）证明：面面； （2）求二面角余弦的最大值； （3）求四面体内切球半径的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）期末考试 高2027届数学试题 考试说明： 1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：共5页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的几何意义写出复数；再根据共轭复数的定义即可得出结果. 【详解】因为复数对应的点的坐标是 所以 则 故选：B 2. 在中，，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得到，又，所以，故. 【详解】由正弦定理得，即， 所以， 又，所以，故. 故选：C 3. 已知，，向量与的夹角为，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方，结合向量数量积定义得到关于的等式，求解即可. 【详解】由两边平方，得， 所以， 即，解得或 ∵，∴， 故选：A. 4. 已知l，m为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则m至少与中一个平行 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】由线面，面面间位置关系逐一判断即可. 【详解】对于A，由线面平行的性质可得若，，则m至少与，中一个平行，故A正确； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，则，故C错误； 对于D，若，，，则或相交，故D错误. 故选：A. 5. 如图，某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，，，在C处测得大楼楼顶D的仰角为.则大楼的高度为（ ）m. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得到，进而由三角函数求出. 【详解】在中，，，， 故， 由正弦定理得，即， 故， 在Rt，，z则m. 故选：B. 6. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数大于4”，记事件“得到的点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件B与C互斥，A与C相互对立 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念分析判断；对于B：先求，结合古典概型分析判断；对于C、D根据独立事件概率乘法公式计算即可. 【详解】事件“得到的点数为偶数”，即， 记事件“得到的点数大于4”，即， 记事件“得到的点数为3的倍数”，即， 则，，， 对于A：，，故事件B与C不互斥，A与C不相互对立，A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：，，，，故，C正确； 对于D：，，故，D错误. 故选：C 7. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把六面体ABCDFE的体积分成四棱锥和三棱锥相加即可得出答案. 【详解】由题意得六面体ABCDFE的体积为：， 故选：D 8. 已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值. 【详解】因为，所以为中点， 又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，， 又，所以为等边三角形， 如图，以为原点，建立平面直角坐标系： 则，，设，， 则，， 所以 ，（当时取“”）. 故选：C 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 2025年初，重庆中小学全面实施体育锻炼增时计划，每天2次30分钟大课间，某中学大课间活动为跳绳运动，随机了解该校10名同学在1分钟内的跳绳数分别为：85，65，90，75，80，50，70，95，60，40（单位：个），则下列说法正确的是（ ） A. 极差为55 B. 中位数是75 C. 平均数是71 D. 方差为100 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求极差、中位数、平均数、方差的定义及公式计算即可判断 【详解】将跳水数按从小到大顺序排列为：40，50，60，65，70，75，80，85，90，95. 极差； 中位数是； 平均数为； 方差为 . 故AC正确. 故选：AC. 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与方向相反的单位向是是 C. 与的夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向是为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由向量的坐标运算可直接判断；对于选项B，由相反的单位向量为可直接得答案；对于选项C，可求出，，，根据数量积的公式即可判断；对于选项D，根据投影向量的计算公式即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确； 对于B，与相反的单位向量为，故B正确； 对于C，因，所以，所以C不正确； 对于D，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正四棱台中，其中，，下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线与面ABCD所成角的大小为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台表面相交的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反证法，利用面面平行的性质得到矛盾，即可判断A；找到线面所成角，利用题设中数据计算即可判断B；通过构造平行关系，将异面直线与所成角转化为相交直线所成角，利用余弦定理解三角形可解即可判断C；球面与正四棱台表面相交的交线长为三段半径为1弧长，求得圆心角利用弧长公式计算即可判断D. 【详解】对于A，由正四棱台得，，∥， 令，，若平面平面， 则∥，所以四边形是平行四边形，则，∴，显然不成立，故A不正确； 对于B，正四棱台中，，，则过作，垂足为， 则即为直线与面ABCD的所成角，,， 所以，所以故B正确； 对于C，过作，垂足为，取的中点，过分别作∥，∥，则为异面直线与所成角. 则，,，，， 所以，. 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得 故C正确； 对于D，以A为球心，1为半径作一个球，则该球球面与正四棱台的面、、的交线是半径为，圆心角分别为的三段弧， 所以交线长即为.故D正确 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法即除法运算可求复数，再利用模长公式求模长即可. 【详解】， ， 故答案为：. 13. 某种型号冰淇淋，其上半部分是面积为的半球形塑料盖，下半部分是高为9（cm）圆锥形脆皮蛋卷桶，则下半部分脆皮蛋卷桶的面积为__________（）. 【答案】 【解析】 【分析】设球的半径为，根据已知列出方程求出，进而得出圆锥的母线，然后求出圆锥的侧面面积即可. 【详解】设球的半径为 由已知可得，，解得， 则可知下半部分为高为，底面半径为的圆锥， 所以圆锥的母线， 所以下部脆皮蛋卷桶的面积为即圆锥侧面的面积为. 故答案为：. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角A大小为__________；若的外接圆半径为，点D在边BC上，，，则的面积为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解； ②过作的平行线，交于点，分别在中运用余弦定理，求得，结合即可求得的面积. 【详解】①因为， 由正弦定理，得 即 因为，所以 所以 因为，所以 所以. ②因为的外接圆半径为，， 由正弦定理，得，所以， 在中，由余弦定理，得， 所以 因为D在边BC上，且，所以. 如图，过作的平行线，交于点. 在中，. 由余弦定理，得 即， 所以， 又 所以 故的面积为. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，，. （1）若，求的值； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可. （2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可. 【小问1详解】 ，，，又，，故. 【小问2详解】 ，， 又，，，， 故的值为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行判断定理证明即可； （2）根据线面角的定义作出线面角的平面角，利用边角关系计算即可. 【小问1详解】 取的中点为点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是矩形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，， 所以，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 2025年五一节前夕，随着“卤鹅哥”带着重庆荣昌特产卤鹅，五城投喂“甲亢哥”，努力推介家乡，流量爆棚，在荣昌区委区政府的大力加持下，荣昌旅游火出圈，吸引了来自全国各地的游客打卡荣昌，感受“千年荣昌的热情”.为评估游客的旅游体验，随机选择了100名游客对荣昌旅游体验进行满意度评分（满分100分）.根据评分数据，绘制了如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，求x的值及满意度评分的平均值； （2）求满意度评分的第80百分位数； （3）若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人满意度评分来自同一小组的概率. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的直方图，利用各小矩形面积和为1列式计算即得x.再利用频率分布直方图估算评分的平均数. （2）利用第80百分位数的定义，结合直方图列式求解. （3）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【小问1详解】 由可得. 所以评分的平均数约为：. 【小问2详解】 因为， 所以满意度评分的第80百分位数在之间， 且. 所以满意度评分的第80百分位数为. 【小问3详解】 评分在的人数为：人； 评分在的人数为：人. 用分层抽样的方法从中抽取6人，则评分在的有2人，记为，，评分在的有4人，记为，，，. 从这6人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个，且每个基本事件发生的可能性相同. 记抽取的2人满意度评分来自同一小组为事件，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，共7个. 所以. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， （1）求角A大小； （2）求周长的最大值； （3）若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可. （3）由（1）得利用基本不等式求得，再根据D为的中点， 得，平方并利用向量数量积的运算律得，即可求得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. 【小问3详解】 因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 19. 如图，在三棱柱中，，，，点在面内的投影为点O，若点O在线段上运动，. （1）证明：面面； （2）求二面角余弦的最大值； （3）求四面体内切球半径的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质得，再利用勾股定理逆定理得，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）构造出二面角的平面角，设，则，再根据函数单调性即可求出其最值； （3）首先求出四面体的体积为定值，设，则，则转化为求和的最小值；方法一：利用换元法，设，利用函数单调性即可求出最值；方法二：利用几何法，根据对称转化结合三角不等式即可求出最值；方法三：利用琴生不等式即可求出其最值. 【小问1详解】 由题意知平面， 因为平面，所以， 由:，则， 则，则， 因为，平面，则平面， 又因为平面，则平面平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为，交于点，再连接， 因平面，平面，则，又因为， 平面，，所以平面， 因为平面，则， 设，所以二面角的平面角为， 则， 当时，， 当时，， 则当时，最大值为. 【小问3详解】 平行四边形，， 因为三棱柱，则， 因为平面，平面，则平面， 点到平面的距离相等， ， 所以四面体的体积为定值， 由（2）知，因为平面，，则平面， 因为平面，则， 设四面体内切球半径为，四面体表面积， 设三角形，的面积依次为， 四面体表面积S可以转化为四棱锥的侧面面积， 四棱锥底面平面图如图所示： 设，则， ， ， ，要求r的最大值，即求和的最小值； 方法一：已知， ， 令，由均值不等式可知：，则， 当且仅当时等号成立，则， 原式， 因为均在上单调递减， 所以在上单调递减， 的最小值为，所以的最小值为，当且仅当且仅当时等号成立， 同理可知的最小值为，当且仅当时等号成立， 所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值， 所以面积的最小值为：. 方法二：如图，画出的平面展开图，过作的平行线，构造矩形， 再在上方构造一个全等矩形，我们需要求的最小值， 由对称性可知，其中， 所以由三角不等式有： ， 即，当且仅当时等号成立， 同理可得：，当且仅当时等号成立， 所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值， 所以面积的最小值为：， 所以半径的最大值为：. 方法三：琴生不等式：设， 由于为下凸函数，所以有， 所以，当且仅当时等号成立， 同理有：，当且仅当时等号成立， 所以当且仅当时，两个式子同时取得最小值，所以， 所以半径的最大值为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $