专题03 函数（12题型）（贵州专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数图像的性质 题型02 由一次函数图像解方程与不等式 题型03 反比例函数的图像性质 题型04 反比例函数的实际应用 题型05 反比例函数与几何综合求点的坐标 题型06 一次函数与反比例函数综合 题型07 二次函数图像的性质 题型08 利用二次函数求最值 题型09 二次函数的综合实际应用 题型10 动点问题与函数图像 题型11 二次函数与四边形综合 题型12 从函数的图象获取信息 01一次函数图像的性质 1．（2025·贵州·二模）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确； 正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误； ∵当时，， ∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 02 由一次函数图像解方程与不等式 2．（2025·贵州·二模）如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：当时，， ∵一次函数图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选D． 03 反比例函数的图像性质 3．（2025·贵州·二模）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ， ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ， ∴，在第二象限，点在第四象限， ， 故选：D． 04 反比例函数的实际应用 4．（2025·贵州·二模）如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（    ） A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C．标准大气压下，该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出反比例函数解析式，然后对各选项分析即可． 【详解】解：∵，且容器内氧气的质量一定， ∴该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数，故B正确，不符合题意； 由图象可知，当时，， ∴，故D正确，不符合题意； ∴， 当时，，故A正确，不符合题意； 当时，，故C不正确，符合题意； 故选C． 5．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 6．（2025·贵州·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1)（） (2)增加了200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入（），得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 5反比例函数与几何综合 7．（2025·贵州·二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 8．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)25 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、正方形的性质，掌握反比例函数关于原点对称的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数的表达式即可； （2）由得到点的纵坐标为，代入到得出点的坐标，进而得出点的坐标，计算得出正方形的面积，再根据反比例函数关于原点对称的性质，可得阴影部分的面积正好是正方形面积的，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 代入点到，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：轴，， 点的纵坐标为， 代入到，则，解得， ， ，则， 正方形的面积为， 反比例函数的图象关于原点对称， 阴影部分的面积正好是正方形面积的， 阴影部分的面积， 图中阴影部分的面积为25． 9．（2025·贵州贵阳·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在，见解析 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像与性质、解直角三角形、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确确定反比例函数解析式是解题关键． （1）首先根据三角函数确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据轴对称的性质确定点的坐标，然后确定其是否在该函数图像上即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， ， 在中，，， ∴ 由旋转得，， ， 点， 将点代入反比例函数， 可得， 反比例函数的表达式为； （2）点，点关于直线AC的对称点为点， 点， 当时，， 点在的图像上 06 一次函数与反比例函数综合 10．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 由题意得： ，且，则，那么，结合，可得，由，可得，结合，可得，从而可得答案． 【详解】由题意得： ，且 两函数的交点为：，． 当时，， 且， ． 故选：C． 11．（2025·贵州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据一次函数的解析式确定m、n的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）直接根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过，两点． ∴，， ∴，， ∴A点坐标为，B点坐标为． 把代入，求得， ∴反比例函数为； （2）解：观察图象，若，则x的取值范围是或． 12．（2025·贵州贵阳·二模）小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形性质、待定系数法求反比例函数表达式及一次函数与反比例函数综合， （1）先求出，再用待定系数法求表达式即可； （2）先求出，把，代入一次函数表达式计算即可； 【详解】（1）解：∵点A与点重合，点B的横坐标为3， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故反比例函数的表达式为． （2）解：由（1）知，， ∴点C的横坐标为． 当时，， ∴， 当，时，， 则； 当，时，， 则； 综上所述，m的取值范围是． 13．（2025·贵州黔东南·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当时的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合应用. （1）把点代入求出，进而求出，把点，代入，即可求出； （2）直接根据函数图像作答即可； （3）求出直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，求出直线的解析式为：，求出直线与x轴的交点P的坐标即可. 【详解】（1）把点代入，得： ∴反比例函数的解析式为. 把点代入，得： ∴ 把点，代入，得 ，解得:. ∴一次函数的解析式为. （2）∵， 由图可知，当时，或. （3）存在. 直线与y轴的交点C的坐标为，点关于x轴的对称点D的坐标为，直线与x轴的交点就是所求点P. 设直线的解析式为：. 把，代入，得： ，解得：. ∴直线的解析式为：. ∴直线与x轴的交点P的坐标为. 14．（2025·贵州·二模）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y＝x1；（2） 【分析】（1）根据题意得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得出一次函数解析式； （2）求出一次函数与x轴交点，进而利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：（1）把x＝3代入，得y＝4， 故A（3，4）， 把y＝3代入，得x＝4， 故B（4，3）， 把A，B点代入y＝kx+b得：， 解得：， 故直线解析式为：y＝x1； （2）由（1）知：当y＝0时，x＝1， 故C点坐标为：（1，0）， 则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求一次函数解析式、三角形面积求法等知识，正确得出A，B点坐标是解题关键． 15．（2025·贵州·二模）如图，反比例函数的图像与直线交于点，的面积等于3． (1)求反比例函数的表达式； (2)利用图像，求当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先根据的面积解得，即可获得点坐标，然后利用待定系数法解反比例函数的表达式即可； （2）结合函数图像分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，的面积等于3， 即， ∴，即点坐标为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）由图像可知， 当时，的取值范围是． 16．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)利用图象直接写出时x的取值范围； 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数结合，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入，求出，将代入即可得到答案． （2）联立和，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入， 可得． 将代入可得， 解得：； （2）解：联立和， 即， 解得， 由图象可知，x的取值范围为：或． 17．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确理解题意是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出a的值即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解；反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为． 点在这个反比例函数的图象上， ． （2）解：由图象可得，关于的不等式的解集为：或． 18．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值． (2)横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出，再根据点向下平移横坐标不变带入即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴，， 解得，． （2）解：∵横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点， ∴， 即， 将点向下平移落在一次函数图象上时， ， ， ∴向下平移的距离为． 07 二次函数图像的性质 19．（2025·贵州·二模）对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据图象经过可判断C，结合抛物线顶点在第四象限可判断A，B，D． 【详解】解：∵图象经过， ∴，故C正确； ∵抛物线顶点在第四象限， ∴，，，故A，D正确； ∴，故B不正确． 故选C． 20．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规则是关键． 根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的解析为， 故选：A ． 21．（2025·贵州遵义·二模）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，y得值都等于3 ∴点和点关于对称轴对称 ∴对称轴为直线 ∴顶点坐标为 ∴设表达式为 将代入得， ∴ ∴二次函数解析式为， ∵ ∴函数图象的开口向上，故A错误，不符合题意； 令，则， ∴ ∴方程无解， ∴函数图象与轴没有交点，故B错误，不符合题意； ∵顶点坐标为，开口向上 ∴函数的最小值为1，故C正确，符合题意； ∵对称轴为直线，开口向上 ∴当时，的值随值的增大而增大，故D错误，不符合题意． 故选：C． 22．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（   ） A．方程的两根为， B．8 C． D．若，是抛物线上的两点，且，则 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的图象和性质以及二次函数与x轴交点，数形结合是解题的关键． 根据题意求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可判断A；首先由对称轴得到，然后将代入解析式得到，然后推出，根据，即可得到，进而判断B；然后由抛物线y轴交于正半轴得到，即可判断C；根据题意得到当时，y随x的增大而增大，即可判断D． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∴方程的两根为，，故A正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴ 将代入得， ∴将代入得， ∵抛物线开口向下 ∴ ∴，故B错误； ∵抛物线y轴交于正半轴 ∴ ∴，故C正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大 ∵若，是抛物线上的两点，且， ∴，故D正确． 故选：B． 23．（2025·贵州·二模）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论错误的是（  ） A．抛物线与x轴的另一个交点坐标是 B．当时，y随x的增大而增大 C．的值是0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据函数图象开口向上，与轴交于负半轴，得出，再结合对称轴为直线，得出，再结合抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点坐标是，当时，y随x的增大而增大；据此即可作答． 【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∴，故D选项的结论是错误的； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴， 即抛物线与x轴的另一个交点坐标是， 故A选项的结论是正确的； 则根据对称性可知，故当时，． 故C选项的结论是正确的； 由题干的原图可得，当时，y随x的增大而增大； 故B选项的结论是正确的； 故选：D． 24．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点坐标，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 根据抛物线的对称轴判断①；利用抛物线的对称性得到点B的坐标判断②，根据图象得到当时，函数值为正数，判断③，根据二次函数的最值判断④解答即可． 【详解】解：∵对称轴与抛物线交于点，点的横坐标为1， ∴，即，故①错误； ∵对称轴为直线，点坐标为， ∴对称点点的坐标为，故②正确； ∵当时，函数值为正数， ∴，故③错误； ∵时，函数有最小值， ∴当，且时，， ∴，故④错误； 故选：D． 25．（2025·贵州遵义·二模）下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义即函数图象与性质，涉及扇形面积的计算公式，解直角三角形，根据题意分别求出每个问题中与的关系，再结合二次函数的图形求解即可． 【详解】解：①含角的直角三角形中， ∵斜边长， ∴较短的直角边的长为，较长的直角边的长为， ∴直角三角形的面积，该函数开口向上，不符合题意； ②设一个正数为x，两个正数和为m，则拆成两个正数中另一个正数为， 则，该函数图象开口向下，符合题意； ③设篱笆的长度为，扇形花园的半径为， ∴扇形的弧长为：， ∴扇形的面积y与它的半径之间的函数关系式为：，该函数图象开口向下，符合题意； ④∵正方体的棱长为，表面积为， ∴与的函数关系为，该函数开口向上，不符合题意； 故选：C 08 利用二次函数求最值 26．（2025·贵州·二模）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 【答案】(1)当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元 (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量的值，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据求出的值，进而根据销量乘以每件服装的利润，即可求解； （2）设销售利润为，根据题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 元， 答：当每天的销售量为件时，销售这种服装的毛利润为元； （2）设销售利润为，根据题意得出 ∵, ∴当时，利润最大，最大为： 答：如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应定价为元，最大毛利润为元． 09 二次函数的综合实际应用 27．（2025·贵州黔东南·二模）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 【答案】(1) (2)12分 (3)该同学能得到15分的满分 【分析】本题考查了二次函数的实际应用. （1）把点A代入抛物线求解即可； （2）令，求出落地距离即可； （3）根据题意知，抛物线的顶点为，求出，令，求出落地距离即可. 【详解】（1）把点A代入抛物线，得 ∴ ∴抛物线的表达式为: （2）令 解得:（不符合题意，舍去），. ∵落地距离在6.4～6.6得12分. ∴该同学得分为12分. （3）根据题意知，抛物线的顶点为. ∴设抛物线的表达式为： 将点A代入上式，得 解得：. ∴抛物线的表达式为：. 令. 解得：（不符合题意，舍去）， ∵. ∴该同学能得到15分的满分. 28．（2025·贵州铜仁·二模）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． (3)若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 【答案】(1) (2)游船能顺利通过赵州桥，理由见解析 (3)或 【分析】题目主要考查二次函数的实际应用，函数最值问题及待定系数法确定函数解析式，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得，然后代入函数解析式确定横坐标之差进行比较即可； （3）根据题意得，，然后分四种情况分析，当即时，当即时，当即时，当时，分别作出图象求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，水面离桥拱顶点的高度18， ∴， ∴设抛物线的解析式为， 将点A代入得：， 解得， ∴； （2）∵水面离桥拱顶点的高度7米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴游船能顺利通过赵州桥； （3）解：∵抛物线经过两点，， ∴，， ∵图象 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，有以下四种情况： 如图，当即时， 即， 解得：； 当即时，如图所示， 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） 当即时，如图所示， 如图所示， ∴ 即， 解得：或（均不符合题意，舍去） ④当时，如图所示， ∴ ∴， 解得： 综上所述，或． 29．（2025·贵州遵义·二模）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； (3)现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 【答案】(1) (2)米 (3)两船不能在桥下顺利交汇 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据题意得，，，设抛物线的解析式为，将代入，然后求解即可； （2）当时，代入解析式得或，即可得解； （3）当时，代入解析式得，可得结论； 确定二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得：，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，得：， 解得：或， ∴（米）， ∴可通行船只的最大宽度为米； （3）当时，， ∵， ∴两船不能在桥下顺利交汇． 30．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 【答案】(1)见解析， (2)该隧道限高3米 (3)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用问题及二次函数的性质，建立直角坐标系，求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解是解题的关键． （1）首先建立坐标系，结合图象设出函数表达式，再用待定系数法求解即可； （2）首先求出，然后当车高一定，时，求出，得到车辆顶部与隧道的最小空隙，进而求解即可； （3）将代入求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如解图，以为原点，以所在直线为轴，以垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为． 又图象经过原点， ， ， 抛物线的函数表达式为， 即； （2）解：设该隧道限高米， ， ， 当车高一定，时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， 由题意，车辆顶部与隧道的最小空隙， ． 该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得， ， 两排灯的水平距离最小值是8米． 31．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据开口大小，比较大小即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出的坐标，进而求出，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，令，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，抛物线的开口大小大于抛物线的开口大小， ∴， ∵， ∴； （2）由题意，得：，把代入，得：， ∴； （3）当时，解得：， ∴， ∴， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 当时，解得：或； ∴加固点的坐标为，． 32．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米 (3)存在，理由见解析，点坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，难度较大，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式． （1），将代入即可求解，而顶点为，根据对称轴公式即可求解； （2）将代入，求出方程的根，再判断是否在范围内即可； （3）先求出平移后的函数解析式，再求出，由题意得：，设，，则以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况讨论：①为对角线；②为对角线；③为对角线，根据平行四边形的对角线的性质，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， 由题意得：抛物线顶点为， ∴， 解得：； （2）解：能，理由如下： 由（1）得抛物线表达式为：， 由题意得，将代入， 则， 整理得：， 解得：或， ∵或均在范围内， ∴小明能成功将正在空中飞行的球拦截，小明距离小星出手点时的水平距离为米或米； （3）解：存在，理由如下： 由题意得，平移后的函数解析式为：， 即：， 当时，， 解得：或， ∴， 而抛物线对称轴仍为直线， 由题意得：， 设，， ∵以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③为对角线， 则， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上：点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或． 33．（2025·贵州毕节·二模）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长； (3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离． 【答案】(1) (2)当m取得最大值时，棚的跨度为8米 (3)直线向下平移距离是米 【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为，将点P代入求得a即可； （2）设米，则A点横坐标为，结合二次函数求得，则，那么，，利用二次函数的性质求得当时，m取得最大值14即可； （3）设直线解析式为，进一步求得点，利用待定系数法求得直线为，设直线向下平移n米与抛物线相切，联立方程组根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为 ∵抛物线过点， ∴，解得， 抛物线解析式为； （2）解：设米，则A点横坐标为， ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴当时，m取得最大值14， 则当m取得最大值时，棚的跨度为8米； （3）解：设直线解析式为， ∵点E纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 则直线为， 设直线向下平移n米与抛物线相切， ∴， 根据题意知只有一组解，则有两个相等的实数根， ，解得， ∴直线向下平移距离是米 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、二次函数的性质、一次函数的平移、根与系数的关系和求一次函数的解析式，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 34．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 【答案】(1) (2)这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方 (3)钢架长度的最大值是米 【分析】本题考查的是二次函数的应用；二次函数的性质； （1）结合题意设抛物线的函数解析式为，代入点的坐标为，即可得到答案； （2）将代入中，可得，再进一步求解即可； （3）先直线的函数解析式为．结合抛物线为，设点的坐标为．可得点的坐标为，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：由题可得：抛物线的顶点的坐标为． 设与的函数解析式为， 抛物线的函数解析式为． 点的坐标为， 将点代入函数解析式中，得，解得． 抛物线的函数解析式为． （2）解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中， 得：， 解得：（舍去），． ， 这辆观光车不可以完全停进遮阳棚正下方． （3）解：设直线的函数解析式为． 将点代入中， 得， 直线的函数解析式为． 抛物线的一般式为， 且是抛物线上的点， 设点的坐标为． ∵轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为， ． 当时，取最大值，最大值为． 钢架长度的最大值是米． 10 动点问题与函数图像 35．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵在直角三角形中，，，， ∴， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 36．（2025·贵州六盘水·二模）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，二次函数图象的识别，求出，解直角三角形得到，则，解直角三角形得到，根据得到，再求出的 取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D恰好与点B重合时，则此时， ∴， ∴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意， 故选：A． 37．（2025·贵州·二模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的． 【详解】连接OP， ∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC． ∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB， ∴∠OPC＝∠DCP． ∴OP∥CD． ∴PO⊥AB． ∵OA＝OP＝1， ∴AP＝y＝(0＜x＜1)． 故选A． 【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用． 12 二次函数与几何综合 38．（2025·贵州·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为时，的最大值为4 (3)点D的坐标是 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解． 【详解】（1）将，分别代入， 得 解这个方程组，得 所以二次函数的表达式为． （2）设， 由，，可得直线的表达式为， 则， ∴ 当时，， 故点D的坐标为时，的最大值为4． （3）存在，理由如下： 如图，连接，交于点M， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点D在第一象限， 故当点D的坐标是时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键． 39．（2025·贵州贵阳·二模）已知二次函数． (1)二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； (3)如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）对于二次函数（），其对称轴公式为，本题中二次函数，确定的值后代入公式即可求出对称轴． （2）因为，所以点、关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴的性质列出关于的方程，求解得出的值，进而确定二次函数表达式． （3）先确定二次函数过定点，再分和两种情况讨论．当时，结合抛物线顶点坐标与正方形边的位置关系，通过计算顶点在正方形不同边上以及抛物线过正方形顶点时的值，确定抛物线与正方形有个交点时的取值范围；当时，分析抛物线与正方形的交点情况． 【详解】（1）解：对于二次函数，其中， 根据对称轴公式，可得． 故答案为：； （2）解：∵， ∴点，关于直线对称， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （3）解：∵， ∴该抛物线过定点． 若，则抛物线开口向上，当抛物线的顶点在线段上时，此时顶点坐标为，则， 解得，此时抛物线与正方形有个交点； 当时，抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线的顶点在上时，此时顶点坐标为， 则， 解得，此时抛物线开始与正方形有个交点； 当抛物线过点时，将代入，得， 解得，此时抛物线与正方形有个交点． 当时，抛物线与正方形又开始有个交点． 若，则抛物线开口向下，根据抛物线的对称轴为直线，且经过点，可知此时抛物线与正方形没有交点． 综上，当抛物线与正方形有个交点时，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质（对称轴公式、顶点坐标、过定点问题）、对称点的性质以及二次函数与几何图形（正方形）的交点问题，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 40．（2025·贵州·二模）下表是某二次函数图象上部分点的自变量和对应的函数值： … 0 1 2 … … 5 0 0 5 … (1)观察表格，_____． (2)求这个二次函数的表达式，并写出一个符合条件的值，使得当时，的值随值的增大而减小． (3)若这个二次函数的图象与轴负半轴的交点为点A，与轴的交点为点，连接，是该函数图象上且位于线段下方的一动点，设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)，可以为（答案不唯一） (3)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】本题综合考查了二次函数的对称性、待定系数法求表达式、函数单调性以及与三角形面积的综合应用．解题关键在于熟练运用二次函数的性质，通过待定系数法求表达式，利用对称性确定数值，结合图形关系表示并求解三角形面积最值． （1）根据对称轴确定与对称的点，从而得出的值； （2）设出二次函数的顶点式，代入已知点坐标，求解出表达式中的系数，根据二次函数的开口方向和对称轴确定值； （3）求出、两点的坐标，进而得到直线的表达式，设点的横坐标为，得到的坐标，过点作轴的垂线，交线段于点，用表示出的长度，根据三角形面积公式表示出的面积，再求其最大值． 【详解】（1）二次函数中与时值都为0， 根据二次函数对称轴公式可得对称轴为， 与关于对称， 时， 时，即， 故答案为：； （2）设这个二次函数的表达式为． 当时，，当时， ，解得， 这个二次函数的表达式为，它的图象是一条抛物线，顶点坐标为． 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 故可以为（答案不唯一）． （3）由表格知，，， 直线的函数表达式为． ，点的横坐标为， ． 过点作轴的垂线，交线段于点， ， ， ． ， 当时，的面积最大，最大面积是． 12 从函数的图象获取信息 41．（2025·贵州·二模）一辆小车从甲地匀速行驶到乙地，到达乙地后按原来的速度返回，若x表示行驶的时间，y表示小车与甲地的距离．则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内y随x的变化情况，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：从甲地匀速行驶到乙地，y随x 的增大而增大；到达乙地后按原来的速度返回，y随x的增大而减小． 故选：A． 42．（2025·贵州·二模）【情境】某快递车从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司，快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程与时间的关系（部分数据）如图所示． 【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为（    ） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，求出快递车行驶的总时间是解题的关键．由图象可知，快递车行驶米所需时间为分钟，据此可得快递车行驶的总时间为（分钟），进而得出答案． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为分钟， 所以快递车行驶的总时间为（分钟）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（分钟）， 故选：B． 1．（2025·贵州黔东南·二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（   ） 品种：刺梨干 单价：45.00元/箱 数量：3箱 总价：135.00元 A．总价 B．数量 C．单价 D．总价和数量 【答案】C 【分析】本题主要考查了常量和变量， 在单价、数量、总价的关系中，单价是固定不变的量，而数量和总价会随购买情况变化，则答案可得． 【详解】解：根据题意，单价为45.00元/箱，固定不变；数量为购买箱数，可以改变；，随数量变化而变化，常量是单价． 故选：C． 2．（2025·贵州贵阳·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点， 二次函数的性质，先利用抛物线的对称轴方程求出得到抛物线解析式，配方得到抛物线的顶点坐标，再结合函数图象，利用抛物线解析式与直线在的范围内有公共点可确定的范围，把解关于的一元二次方程转化为求二次函数与直线的交点坐标问题是解题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，；当时，， 关于的一元二次方程在的范围内有解， 抛物线与直线在的范围内有公共点， ． 故选：C． 3．（2025·贵州遵义·二模）某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 4．（2025·贵州·二模）如图，已知直线与直线()交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：把代入，得： ， 解得：， ∴直线与直线()交于点， 当时，则， 故答案为：． 5．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：汽车超速行驶，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的其他应用，不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务一：依题意，设，再运用待定系数法进行求解，即可作答． 任务二：依题意，将代入，解得，再整理即可作答． 任务三： 结合得汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴，列出不等式组，整理得，解得，即可作答． 【详解】解：任务一：小红画出的大致图象是二次函数的图象， 设． 将代入， 得， ∴， 解得， 即y关于x的函数表达式为． 任务二：依题意，将代入， 得， 解得或（舍去） 则 ∴在事故发生时，汽车超速行驶． 任务三： ∴汽车B刹车距离的函数图象更靠近轴， 由题意得， 整理得， ∴， 解得． 6．（2025·贵州贵阳·二模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 【答案】(1) (2)当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质、最大利润的问题，弄清题意，找准各量间的关系，正确列出函数的关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可； （2）设厂家每天获得的利润为y元，则，根据每天的产量不大于市场需求量时，求出x的取值解答即可； 【详解】（1）解：设q与x的函数关系式为， 由题意，得，解得， 与x的函数关系式为． （2）解：当每天的产量不大于市场需求量时，，即， 解不等式得， 成本为2元/千克， ． ， 对称轴为直线， 当时，y有最大值，， 答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为2000元． 7．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，掌握值的几何意义，是解题的关键： （1）解直角三角形，求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）根据中点坐标公式，求出点坐标，进而求出，值的几何意义，得到，分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴， ∴， ∴； （2）∵延长OA到点，使得， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵，交反比例函数的图象于点， ∴，， ∴， ∴的面积． ． 8．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 【答案】（1）见解析；（2）0个交点时，；1个交点时，；2个交点时，；（3） 【分析】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大． （1）直接画出图象即可； （2）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （3）运用（2）的相关结论即可． 【详解】解：（1）图象如下所示： （2）在直线平移的过程中，交点个数有0个、1个、2个三种情况， 联立和并整理得． ， 0个交点时，即；即1个交点时，；2个交点时，，． （3）由（2）得：． 9．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【分析】此题考查了画函数图象，待定系数法求函数解析式，求自变量的值，正确掌握函数知识是解题的关键． （1）根据表格，描点、连线即可得出相应图象；然后设，利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）根据题意确定，然后代入求解即可； （3）根据题意得出疲劳驾驶下反应距离，确定，求解即可． 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 一次函数图像的性质 题型02 由一次函数图像解方程与不等式 题型03 反比例函数的图像性质 题型04 反比例函数的实际应用 题型05 反比例函数与几何综合求点的坐标 题型06 一次函数与反比例函数综合 题型07 二次函数图像的性质 题型08 利用二次函数求最值 题型09 二次函数的综合实际应用 题型10 动点问题与函数图像 题型11 二次函数与四边形综合 题型12 从函数的图象获取信息 01一次函数图像的性质 1．（2025·贵州·二模）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 02 由一次函数图像解方程与不等式 2．（2025·贵州·二模）如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 03 反比例函数的图像性质 3．（2025·贵州·二模）若点，三点都在反比例函数的图象上，其中，则，，的大小关系为（  ） A． B． C． D． 04 反比例函数的实际应用 4．（2025·贵州·二模）如图①是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变．随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度（单位：）随容器体积V（单位：）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，下列说法不正确的是（    ） A．当该容器的体积V为时，氧气的密度为 B．该容器内氧气的密度是关于体积V的反比例函数 C．标准大气压下，该容器的体积约为 D．该容器内氧气的质量为 5．（2025·贵州毕节·二模）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 6．（2025·贵州·二模）如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 5反比例函数与几何综合 7．（2025·贵州·二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 8．（2025·贵州贵阳·二模）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点是正方形与反比例函数图象的一个交点，点是正方形与正半轴的交点．已知点在该反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若，求图中阴影部分的面积． 9．（2025·贵州贵阳·二模）如图，点在轴的正半轴上，点在轴上，，将线段AB绕点按顺时针方向旋转得线段．反比例函数的图像经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点关于直线的对称点为点，请判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由． 06 一次函数与反比例函数综合 10．（2025·贵州黔南·二模）已知反比例函数的图象与直线交于点，．若，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（2025·贵州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若，请直接写出满足条件的的取值范围． 12．（2025·贵州贵阳·二模）小星将“赵爽弦图”置于如图所示的平面直角坐标系中（“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成），点A与点重合，点B的横坐标为3，点E，H在x轴上，小正方形的边长为2．反比例函数的图象经过点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)若一次函数与反比例函数（）的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上点B，C之间的部分时（点M可与点B，C重合），求m的取值范围． 13．（2025·贵州黔东南·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数（是常数，且）与一次函数（，是常数，且）的图象相交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出当时的取值范围； (3)在轴上是否存在一点，使得最小，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·贵州·二模）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的横坐标与点B的纵坐标都是3． （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 15．（2025·贵州·二模）如图，反比例函数的图像与直线交于点，的面积等于3． (1)求反比例函数的表达式； (2)利用图像，求当时，的取值范围． 16．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)利用图象直接写出时x的取值范围； 17．（2025·贵州·二模）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求这个反比例函数的表达式及的值； (2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集． 18．（2025·贵州遵义·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点． (1)求和的值． (2)横坐标为4的点是反比例函数图象上的一点，现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 07 二次函数图像的性质 19．（2025·贵州·二模）对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·贵州遵义·二模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·贵州遵义·二模）如表是一个二次函数的自变量x与函数值y的5组对应值，则下列说法正确的是（    ） x … 1 2 3 4 5 … y … 9 3 1 3 9 … A．函数图象的开口向下 B．函数图象与x轴有交点 C．函数的最小值为1 D．当时y的值随x值的增大而减小 22．（2025·贵州黔西·二模）如图为二次函数的部分图象，已知抛物线的对称轴为直线，若点的坐标为，则以下结论错误的是（   ） A．方程的两根为， B．8 C． D．若，是抛物线上的两点，且，则 23．（2025·贵州·二模）二次函数 的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．下列结论错误的是（  ） A．抛物线与x轴的另一个交点坐标是 B．当时，y随x的增大而增大 C．的值是0 D． 24．（2025·贵州毕节·二模）抛物线交轴于两点，交轴的负半轴于点，对称轴与抛物线交于点，已知点坐标为，点的横坐标为1，根据以上信息得出下列结论：①；②点的坐标为；③；④当时，．其中结论正确的个数有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 25．（2025·贵州遵义·二模）下面的四个问题中都有两个变量： ①含角的直角三角形中，直角三角形的面积与斜边长； ②把一个确定的正数拆成两个正数之和，这两个正数的乘积与其中一个正数； ③用长度一定的篱笆围成一个扇形花园，扇形花园的面积与半径． ④设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．②③④ C．②③ D．②④ 08 利用二次函数求最值 26．（2025·贵州·二模）某服装大卖场以每件元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量（件）与每件的销售价（元）之间的函数关系为． (1)当每天的销售量为件时，求销售这种服装的毛利润； (2)如果商场销售这种服装想获得最大利润，那么每件服装的销售价应如何定价？并求出最大毛利润． 09 二次函数的综合实际应用 27．（2025·贵州黔东南·二模）掷实心球是中考体育素质类选考项目之一，如图1是某同学在某次试投中实心球所经过的路线呈抛物线形状，图2是其示意图，若实心球所经过的路线是抛物线（是常数）的一部分，出手处点距地面的高度米． 分值（分） 11 12 13 14 15 落地距离（m） （注：落地距离包含最小值，不包含最大值） (1)求抛物线的函数表达式； (2)上表是体育考试（实心球）评分标准的一部分，请你给该同学打分；（参考数据：） (3)为提升中考体育考试成绩，该同学在老师的指导下进行了技术训练，在出手高度不变的前提下，调整出手角度与力量，使球在距出手处的水平距离2米处达到最高，最高点距地面2米，请判断该同学能否得到15分的满分？ 28．（2025·贵州铜仁·二模）赵州桥的历史距今已有1400多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，建立平面直角坐标，此时水面的宽为36米，水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长14米，宽4米，高米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． (3)若桥拱经过两点，桥拱在之间的部分为图象（包括两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，当时，求的值． 29．（2025·贵州遵义·二模）如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； (3)现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 30．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务： 任务 如何设计隧道的限高方案 素材1 如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，经测量，其高度为8米，宽度为16米，图②是其示意图． 素材2 此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米米）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的最小空隙不少于0.5米．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在备用图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式； (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材2的要求安全通过，求该隧道限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6米，求两排灯的水平距离最小值． 31．（2025·贵州六盘水·二模）如图，桥梁设计优先将桥基建在岩石层A、C、D、E上，第一次设计图为，为避开点的淤泥层，第二次设计图为，为了更好的利用上点的岩石层，第三次设计图是将的图象向右平移了个单位得到． (1)比较大小：______；（填“”，“”或“”） (2)若点的横坐标为，求的值； (3)在（2）的条件下，第三次设计中高度为3的地方需用横梁进行加固，求出加固点的坐标． 32．（2025·贵州贵阳·二模）篮球跃动身心，健康点亮生活．小星在距离篮筐7米处投篮，准确命中篮筐，篮球出手时离地的高度为米．已知篮筐中心离地面3米，篮球飞行的轨迹是一条抛物线，且在距离出手点水平方向4米处达到最高点4米．小星同学学习了二次函数之后，建立了如图2所示的直角坐标系，其中出手点的坐标为，篮筐点的坐标为，并求出球的高度关于水平方向运动的距离的二次函数表达式为．    (1)的值为______；的值为______； (2)若在小星将球投出手的同时，防守球员小明立即跑位到小星的正前方进行回防，已知小明起跳时手心离地的最大高度为米．请问小明能否成功将正在空中飞行的球拦截？若能，请说明理由，并求出拦截成功时小明距离小星出手点时的水平距离； (3)如图3，小星同学进一步研究所得到的二次函数的图象性质，他对原二次函数进行优化，使得自变量的取值范围为，并将原二次函数的图象向下平移个单位，得到一个新的二次函数：，新函数图象与轴交于点．点在对称轴右侧的抛物线上，点N在轴上，点在其对称轴上，且到轴的距离为1，并且点位于第一象限，请问是否存在以点F、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2025·贵州毕节·二模）如图①是我市某葡萄基地种植棚，它一定意义上带动了我市的经济发展，其截面为图②所示的轴对称图形，点A、B在以O顶点的抛物线上，，，，点G在直线上，点E在直线上，，当以O为原点建立如图③所示的平面坐标系时，抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若O点到地面的距离为5米，记，当m最大时，求棚的跨度长； (3)在（2）的条件下，E点的纵坐标，，为了使棚更加牢固安全，需要把直线，向下平移到与抛物线相切的位置处焊接，求向下平移的距离． 34．（2025·贵州黔南·二模）近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，为车主提供更舒适、安全的充电环境．图①是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为2米，且点和点的水平距离为6米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式； (2)现有一辆观光车需要充电，如图②是观光车的截面图，已知车身长约5米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆观光车是否可以完全停进遮阳棚正下方； (3)为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图③所示，钢架分两段，其中一段连接点与点，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．求出第二段钢架长度的最大值． 10 动点问题与函数图像 35．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 36．（2025·贵州六盘水·二模）已知在中，是边上的一点（不与端点重合），过点作边的垂线交于，设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（   ） A． B． C． D． 37．（2025·贵州·二模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是(   ) A． B． C． D． 12 二次函数与几何综合 38．（2025·贵州·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式： (2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值； (3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 39．（2025·贵州贵阳·二模）已知二次函数． (1)二次函数图象的对称轴为直线________； (2)若不同的两点，在二次函数的图象上，且，求二次函数的表达式； (3)如图，已知，，，，若二次函数的图象与正方形只有个交点，求的取值范围． 40．（2025·贵州·二模）下表是某二次函数图象上部分点的自变量和对应的函数值： … 0 1 2 … … 5 0 0 5 … (1)观察表格，_____． (2)求这个二次函数的表达式，并写出一个符合条件的值，使得当时，的值随值的增大而减小． (3)若这个二次函数的图象与轴负半轴的交点为点A，与轴的交点为点，连接，是该函数图象上且位于线段下方的一动点，设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 12 从函数的图象获取信息 41．（2025·贵州·二模）一辆小车从甲地匀速行驶到乙地，到达乙地后按原来的速度返回，若x表示行驶的时间，y表示小车与甲地的距离．则下列图象能反映y与x的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 42．（2025·贵州·二模）【情境】某快递车从公司出发，到达驿站，卸完包裹后立即前往驿站，再卸完包裹后按原路返回公司，快递车行驶速度恒定，在两个驿站卸包裹的时间一样．快递车离公司的路程与时间的关系（部分数据）如图所示． 【问题】快递车在每个驿站卸包裹的时间为（    ） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 1．（2025·贵州黔东南·二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（   ） 品种：刺梨干 单价：45.00元/箱 数量：3箱 总价：135.00元 A．总价 B．数量 C．单价 D．总价和数量 2．（2025·贵州贵阳·二模）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（m为实数）在的范围内有解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州遵义·二模）某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值 ． 4．（2025·贵州·二模）如图，已知直线与直线()交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 5．（2025·贵州黔东南·二模）在综合与实践教学中，小红所在班级开展以“探究某型号汽车的刹车性能”为主题的项目式学习． 任务背景：刹车系统是车辆行驶安全的重要保障．于是他们相约到汽车研发中心，对汽车刹车时的车速与刹车距离之间的关系进行探究． 素材收集： ①由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． ②汽车研发中心设计了一款新型汽车A，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．小红记录其中一组数据如下： 刹车时车速 0 5 10 15 20 25 刹车距离 0 6.5 17 31.5 50 72.5 她以刹车时车速x（单位：）为横坐标，以刹车距离y（单位：m）为纵坐标建立一个平面直角坐标系，描出这些数据所对应的点，并用平滑的曲线连接这些点，发现得到的图象大致是一个二次函数的图象． 【任务一】请根据表格中的数据求出y关于x的函数表达式； 【任务二】现有该新型汽车A在公路上（限速）发生了交通事故，现场测得刹车距离为，请利用你求出的函数表达式，判断在事故发生时，汽车是否超速行驶，并说明理由； 【任务三】研发中心生产的另一型号汽车B，其刹车距离y（单位：m）与刹车速度x（单位：）满足如下关系式：．若刹车时车速满足在范围内某一数值，两种型号汽车的刹车距离相等，求m的取值范围． 6．（2025·贵州贵阳·二模）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 2 4 … 10 市场需求量q（百千克） 12 10 … 4 已知当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出． (1)求q与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润y（百元）的最大值． 7．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在平面直角坐标系中，轴于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)延长OA到点，使得，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，连接OE，求的面积． 8．（2025·贵州黔南·二模）模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第一象限内交点的坐标． 画出函数图象 （1）函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中直接画出直线． 观察函数图象 （2）平移直线，在直线平移的过程中，交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． 得出结论 （3）若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为________． 9．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$