精品解析：江苏省南通市2024-2025学年高二下学期6月期末质量监测数学试题

2025年南通市高二学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 4. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A 24 B. 36 C. 64 D. 72 5. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 25 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 6. 已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 7. 某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（ ） A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20 8. 平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（ ） A. B. 点P到平面的距离为 C. 二面角的正切值为1 D. 的最小值为 11 已知实数a，b满足，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为____________． 13. 函数在区间上的最大值为____________． 14. 随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解高中生的体育成绩（优秀与非优秀）和性别是否有关，对某高中在校学生进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 优秀 非优秀 合计 男 s 30 50 女 5 t 50 合计 25 75 100 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为体育成绩与性别有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6635 10.828 16. 如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求的长． 17 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 18. 如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． （1）求圆台的体积； （2）设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 19. 一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书． （1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率； （2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”． （ⅰ）求的概率分布； （ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年南通市高二学年度质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得. 故选：A 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布均值的含义，利用正态曲线的对称性求解即可． 【详解】由随机变量，且， 则，求得，故C正确. 故选：C. 3. 若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，借助导数计算即可. 【详解】求导可得， 因为， 所以该质点在时的瞬时速度为. 故选：A 4. 将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法数为（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先分组后分配，利用排列组合数计算即可. 【详解】由题意，4本不同的书可以分成2,1,1三组，有种分组方法，再分给3名学生，有种分配方法， 所以，不同的分配方法数为. 故选：B. 5. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据： 3 4 5 6 标准煤 2.5 3 m 4.5 根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ） A. x与y负相关 B. C. 回归直线过点 D. 时的残差为0.05 【答案】C 【解析】 【分析】由经验回归方程系数为可对A判断求解；分别求出，然后求出，从而可对B、C判断求解；利用残差知识可对D求解判断. 【详解】A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误； B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确； 又，解得，故B错误； D：时，，则残差为：，故D错误. 故选：C. 6. 已知m，n，l表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，，，且直线相交于一点，则，故C错误； 对于D，若，，，则，且， 又，则，故D正确. 故选：D. 7. 某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（ ） A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 8. 平面四边形中，，，．现将沿翻折至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据球的性质找出球心平面，进一步确定其具体位置为的交点，其中的外心为，进而在直角三角形中解决即可. 【详解】设， 因，，则是等边三角形， 因，，则， 因，则与全等，则， 则，为中点（三线合一），则，， 在中利用余弦定理得 因平面，则平面， 因为线段的中点，则三棱锥的外接球球心平面， 设的外心为，则为线段上靠近点的三等分点， 因的外心为，则平面，平面， 因平面，平面，则， 因，则， 因，则在中，， 则中，， 三棱锥外接球的表面积为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 10. 已知正方体的棱长为2，点P在棱上，点Q在面内，则（ ） A. B. 点P到平面的距离为 C. 二面角的正切值为1 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后用向量法逐项判断即可. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，因为点P在棱上，所以设， 所以，，则，所以，所以A正确； 因为平面，所以点P到平面的距离即为点到平面的距离， 因为为正方形，连接，，使,所以， 因为正方体中，平面，所以， 所以平面，所以点到平面距离为，所以B正确； 由题知，平面的一个法向量， 又，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以， 所以，设二面角的平面角为，则，所以，所以C错误； 作点关于面的对称点，所以，因为点Q在面内， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD 11. 已知实数a，b满足，则（ ） A. 当时， B. 当且时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，代入验证可得；C选项，可举出反例；B选项，变形得到，令，则，令，，求导得到其单调性，结合函数走势，得到；D选项，令，则，证明，即证，构造函数可证，得到结论. 【详解】A选项，时，恒成立，故，A正确； B选项，当且时，两边取对数，， 即，令，则， 令，，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，故，所以在上单调递增， 且趋向于0时，趋向于，当时，， 故，B错误； C选项，当时，两边取对数，，， 不妨令，则，C错误； D选项，时，由B知，，令，则， 下面证明，即证， 令，， 故在上单调递增，且， 所以，故，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 底面边长为2，高为的正四棱锥的侧面积为____________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质，结合勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 如图，由底面边长为2，高为的正四棱锥可得:, 由勾股定理得：斜高， 所以正四棱锥的侧面积为， 故答案为：8 13. 函数在区间上的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【详解】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 14. 随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 ①. 4 ②. ##0.75 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解高中生的体育成绩（优秀与非优秀）和性别是否有关，对某高中在校学生进行了抽样调查，调查结果如下表所示： 优秀 非优秀 合计 男 s 30 50 女 5 t 50 合计 25 75 100 （1）求的值； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为体育成绩与性别有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）成绩与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据表格数据分别求出，即可得解； （2）利用表格数据求出，与临界值比较即可判断结论 【小问1详解】 由表格数据可知，， 所以． 【小问2详解】 提出零假设：成绩与性别无关． 根据列联表中的数据可以求得 ． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为成绩与性别有关． 16. 如图，正三棱柱中，，，D是中点，E是棱上一点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）或2 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的三线合一，可证明线线垂直，从而可得线面垂直； （2）利用面面垂直可得线面垂直，最后得到线线垂直，从而可用勾股定理求解边长；也可以用空间向量法来假设未知量，再列等式求解即可. 【小问1详解】 在正三棱柱中， 因为平面，平面，所以． 因为是正三角形，D是中点，所以． 又，，平面，所以平面． 【小问2详解】 解法一： 在中过点D作，垂足为F． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．又平面，所以． 由（1）知，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 设，则，，，， 由勾股定理得，即，解得或， 所以或2． 解法二： 在正三棱柱中，取中点，连结， 则，，两两垂直，以为正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，得． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即 解得，， 取，则，， 得． 因为平面平面， 所以，解得或， 所以或2． 17. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数的单调增区间； （3）若存在极大值点，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程； （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【小问1详解】 若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 ，定义域为， ， 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； 【小问3详解】 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，； 当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 18. 如图，已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为． （1）求圆台的体积； （2）设，分别是圆台的两条母线． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，P是圆上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）台体体积计算公式计算即可 （2）（ⅰ）由面面平行的性质定理证明；（ⅱ）建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【小问1详解】 因为圆台的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为， 所以圆台的高为， 所以圆台的体积为． 【小问2详解】 （ⅰ）由圆台定义知，母线，的延长线相交于一点M， 所以A，，，B四点共面． 又因为圆面圆面O， 平面圆面， 平面圆面， 所以． （ⅱ）在圆面O内作，垂足为O． 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，， ，． 设平面的一个法向量， 因为，， 由即解得，， 取，则，，得． 设直线与平面所成角为， 则 ， 当且仅当，即，时，取“”， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为 19. 一节阅读课，共有n位读者围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书． （1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率； （2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为．用表示“编号为i的书未被选”，表示“编号为i的书被选”． （ⅰ）求概率分布； （ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为，第二节课后编号为i的书选择情况取值为．记，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概率计算公式计算即可； （2）（ⅰ）根据两点分布分布列计算即可；（ⅱ）列出随机变量X的可能取值，计算对应概率，可得分布列与数学期望，即，再计算，方法1：设，求导赋值计算即可；方法二：利用计算即可. 【小问1详解】 当时，样本空间包含个样本点， 记“每人都不选自己面前的书”为事件A，则事件A包含8个样本点， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ），， 则的分布列为 0 1 P （ⅱ）随机变量X的可能取值有0，1，2，3，，n， 对于的随机变量，在数组与中有k个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系，此时所对应情况数为种． 数组的结果共个，所以． 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 n P 所以随机变量X的数学期望为． 下面计算： 方法1：设， 两边求导得，， 两边乘以x后得，， 令，得， 所以． 所以． 方法2：先证， 得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$