精品解析：天津市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

天津一中 2024—2025—2高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 参考公式：圆台表面积公式其中为母线长 第Ⅰ卷 一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（ ） A. 26 B. 32 C. 35 D. 38 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（　　） A. m2 B. 3.6m2 C. 7.2m2 D. 11.34m2 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（ ） A. 36.6 B. 34.2 C. 32.4 D. 30.2 8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ） A. B与A 不互斥且B与A 相互独立 B. B与C不互斥且B与C相互独立 C. C与A互斥且C与A 不相互独立 D. D与A不互斥且D与A相互独立 9. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知向量，，，的夹角为，则______. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 14. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______． 15. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 16. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 三．解答题：（本大题共4小题共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 18. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 19. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面， （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中 2024—2025—2高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页．考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 参考公式：圆台表面积公式其中为母线长 第Ⅰ卷 一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再利用模长公式可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 2. 某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：28，32，48，38，26，38，40，则这组数据的70%分位数为（ ） A. 26 B. 32 C. 35 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】这组数据从小到大的排列为26，28，32，38，38，40，48． 因为，所以这组数据的70%分位数为38． 故选：D 3. 设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 4. “”是“向量与向量的夹角为钝角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据且与不共线求出的范围可得答案. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得解得且， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选:C. 5. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀．重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台（图2）的组合体．已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（　　） A. m2 B. 3.6m2 C. 7.2m2 D. 11.34m2 【答案】A 【解析】 【分析】由圆台的截面图，计算出圆台的母线长，再求得圆台的侧面积. 【详解】由圆台的轴截面图，母线， 所以该圆台侧面积. 故选：A. 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，即， 所以，又，则， 又，则， 所以. 故选：C 7. 2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（ ） A. 36.6 B. 34.2 C. 32.4 D. 30.2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出中位数落在内，设中位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】，， 故中位数落在内， 设中国动漫市场受众群体年龄的中位数为，则， 解得. 故选：C. 8. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（ ） A. B与A 不互斥且B与A 相互独立 B. B与C不互斥且B与C相互独立 C. C与A互斥且C与A 不相互独立 D. D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 9. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义，分别求出正整数6，7，8，9，10按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根据古典概型的概率计算公式进行求解即可. 【详解】按照题中运算规律，正整数6的运算过程为，运算次数为； 正整数7的部分运算过程为， 当运算到10时，运算次数为10，由正整数的运算过程可知， 正整数7总的运算次数为； 正整数8的运算次数为； 正整数9的部分运算过程为，当运算到7时，运算次数为3， 由正整数7的运算过程可知，正整数9总的运算次数为． 正整数10的运算次数为6； 故正整数6，7，8，9，10的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数， 从正整数6，7，8，9，10中任取2个数的方法总数为： ，共种， 其中的运算次数均为偶数的方法总数为：，共3种， 故运算次数均为偶数的概率为． 故选：A. 10. 在棱长为1的正方体中，，E是线段（含端点）上的一动点， ①； ②平面； ③三棱锥的体积为定值； ④与所成的最大角为. 上述命题中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定和性质，异面直线所成角及锥体体积计算对4个命题逐个判断即可得出结论. 【详解】对于①，因为平面，平面，则， 又因为，且平面， 得平面，又平面，所以； 因为平面，平面，则， 又因为平面， 所以平面，又平面， 所以，又平面，所以平面. 又平面，所以，正确； 对于②，在正方体中，因为，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又平面， 所以平面平面.又平面，所以平面，正确； 对于③，由②知，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以为定值，正确； 对于④，当与重合时，与所成的角最大,最大为，理由如下： 因为，平面，平面， 所以，，且平面， 所以平面， 平面，所以，所以与所成的最大角为，正确. 故正确的命题个数为4个. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线线、线面关系的判断及锥体的体积，解题的关键是利用等体积转化法判断体积为定值. 第Ⅱ卷 二．填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知向量，，，的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的模长公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 12. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】利用古典概型概率计算公式，再结合计数的基本知识计算即可. 【详解】所有的基本事件为，其中，，共25个基本事件. 目标事件为，，，，，共5个基本事件. 所以. 故答案为：. 15. 如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为则正八面体外接球的体积为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积． 【详解】如图正八面体，连接交于点， 因为，， 所以，，又为平面内相交直线， 所以平面，所以为正八面体的中心， 设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为， 所以正八面体的棱长为， 所以， 则． 故答案为：． 16. 在边长为的正方形中，为线段CD的三等分点，，，则______；为线段上的动点，为中点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，利用向量的坐标运算及向量相等，即可求解第一空，设，根据条件求出，利用数量积的坐标运算，求得，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，易知， 则，所以，又， 则，所以， 设，所以，又为中点，所以， 所以，则， 图象开口向上，对称轴为，又， 由二次函数的性质知，当时，最小，最小值为， 故答案为：##，. 三．解答题：（本大题共4小题共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 在面积为的中，内角，所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再通过余弦定理求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）根据三角形面积公式得到与面积的关系，再利用正弦定理和锐角三角形的条件确定角的范围，从而得出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得，所以， 所以，由余弦定理，， 因，则. 【小问2详解】 由余弦定理，，即， 又，由条件知，所以， 所以，，. 所以周长为. 【小问3详解】 由可得： 由正弦定理，，即得：， 则 由为锐角三角形可得，，解得：， 则，，故得， 即面积的取值范围为. 18. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. （i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求n的值. 【答案】（1），75 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）（i）根据古典概型结合相互独立事件的乘法公式求解即可； （ii）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有， 解得， 因为，， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设 “任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”， “任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，，， 所以有，，， （i）记 “甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； （ii）记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则， 所以 ， 解得：. 19. 如图，在四棱锥中，为棱的中点，平面， （1）求证：； （2）求到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）由题可知两两互相垂直， 所以以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系. 又为棱的中点， 易知. 所以， 所以， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法证明线线垂直； （2）用空间向量的方法求点到面的距离； （3）用空间向量的方法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则有， 取时，. 又因为， 所以到平面的距离. 【小问3详解】 由（1）知， 设平面的一个法向量为， 则有， 取时，. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $