精品解析：广东省佛山市顺德区第一中学西南学校2024-2025学年下学期八年级数学期中考试

2024学年第二学期八年级核心素养展示活动 数学学科 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需涂改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质：两边都加一个或者减一个整式，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘以或者除以同一个负数，不等号的方向改变，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：D． 3. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AC＝1，BC＝，AB＝2 B. AC：BC：AB＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可判定即可． 【详解】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4， ∴12+（）2＝22， ∴AC＝1，BC＝，AB＝2满足△ABC是直角三角形； B、∵32+42＝25，52＝25， ∴32+42＝52， ∴AC：BC：AB＝3：4：5满足△ABC是直角三角形； C、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝×180°＝90°， ∴∠A：∠B：∠C＝1：2：3满足△ABC是直角三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝×180°＝75°， ∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5，△ABC不是直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，解题关键是掌握直角三角形的判定方法. 4. 已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征．根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，直接计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， 故选：C． 5. 下列各项变形，是因式分解的是（　　） A. a（a﹣2）＝a2﹣2a B. a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1） C. y2﹣1＝y（y﹣） D. am+bm+c＝m（a+b）+c 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的概念以及方法对选项逐个判断即可． 【详解】解：A．从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．等式右边不是整式的积的形式，即从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解的概念以及方法，熟练掌握因式分解的基础知识是解题的关键． 6. 在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组．根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得． 【详解】解：不等式组的解集是． 故选：C． 7. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟悉掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法是假设结论不成立，反面成立进行判断即可． 【详解】解：∵在中，若，则”， 反证法是假设结论不成立，反面成立， ∴应假设， 故选：D． 8. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题； 【详解】解：∵，， ， 由题可得，， ， ， 解得． 故选：C． 10. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解得，根据旋转的性质可得，，，根据三角形内角和定理可得，进而可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减求解即可． 【详解】解：将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右加左减，纵坐标上加下减． 13. 若不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围 ___． 【答案】m≤3 【解析】 【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围． 【详解】解：解不等式x＋8＜4x−1，得：x＞3， ∵不等式组的解集为x＞3， ∴m≤3， 故答案为：m≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 14. 如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，过作于，由角平分线的定义得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的性质推出． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ， ， ， ， ，，平分， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换—旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用偶次方非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点，轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， ， 当时，有最小值为5， 的最小值为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式，找到它们的公共部分，即可得出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】解不等式组： 解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 数轴表示解集如下： 【点睛】本题考查求一元一次不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 四、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 18. 如图，在中，． (1)作的高；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）以C点为圆心，再以足够长的半径画弧交AB于M、N两点，之后再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点K，连接CK交AB于点D，此时线段CD即为所求； （2）首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用三角形等面积法列出方程，据此进一步求解即可. 【详解】（1）如图所示，线段即为所求： （2）在Rt△ABC中，AC=12，AB=13，∠ACB=90°， ∴， ∵Rt△ABC的面积=， ∴ ∴. 【点睛】本题主要考查了尺规作图以及勾股定理的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 19. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC． 【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 20. 某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人．该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择购票方案． 【答案】所以当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算． 【解析】 【分析】设该公司参观者中有女士x人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分，，三种情况分别求出相应的x的取值范围即可 ． 【详解】解：设该公司参观者中有女x人，选择购买女士五折票时所需费用为元，选择购买团体票时所需费用为元，一张票的原价是30元， ，整理得， ， 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 所以当女士恰好是16人时，两种方案所需费用相同；当女士人数少于16人时，购买团体票合算；当女士人数多于16人不超过40人时，购买女士五折票合算． 【点睛】本题主要考查了一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，确定方案选择的临界数值是解题的关键． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标,即可求解； （2）根据旋转的性质得到， （3）连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心，根据坐标系写出点的坐标即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 点的坐标为． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 如图，连接，，作与的垂直平分线，相交于点，则点即为与的旋转中心， 旋转中心的坐标为 【点睛】本题考查了平移作图，画旋转图形，找旋转中心，数形结合是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为__________；制成的有盖收纳盒的数量为__________；制成的无盖收纳盒的数量为__________； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】任务1：10cm 任务2：①；；；②有四种分配方案：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖；77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖；78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖；79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖 任务3：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为1004元 【解析】 【分析】本题考查了方程组及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍”列不等式组求解； 任务3：根据题意理出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为块；制成的有盖收纳盒的数量为；制成的无盖收纳盒的数量为； 故答案为：；；； ②由题意得：， 解得：， 的整数解有：24，23，22，21， 共有4种方案：①76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖； ②77张木板制作无盖的收纳盒，23张制作盒盖； ③78张木板制作无盖的收纳盒，22张制作盒盖； ④79张木板制作无盖的收纳盒，21张制作盒盖； 任务3：设利润为元， 由题意得： 即：， ∵随着的增大而增大， 当时，有最大值，为：， 答：76张木板制作无盖的收纳盒，24张制作盒盖，利润最大，最大值为524元． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）或或 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等的性质得到，易证是等腰三角形，由，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）由等腰三角形的性质可得，，进而证明，证明，即可得出结论； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】证明：， ， 是等腰三角形， ， ， 点E是线段的中点，即点M是线段的中点； （2）如图， ， ， ， ， ， ， 在与中， 点M是线段的中点； （3）当时，如图， ， ，即点E点M重合， ， ， ， ， ； 当时，如图， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，为等腰三角形时，的角度为或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，正确画出示意图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期八年级核心素养展示活动 数学学科 本试卷共6页，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需涂改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考试必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（　　） A. AC＝1，BC＝，AB＝2 B. AC：BC：AB＝3：4：5 C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 4. 已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各项变形，是因式分解的是（　　） A. a（a﹣2）＝a2﹣2a B. a2+4a﹣5＝（a+5）（a﹣1） C. y2﹣1＝y（y﹣） D. am+bm+c＝m（a+b）+c 6. 在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 用反证法证明“在中，若，则”，应假设（ ） A. B. C. D. 8. 已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置．若，，，阴影部分的面积为，则的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____________． 12. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到的点的坐标是______ ． 13. 若不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围 ___． 14. 如图，已知P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为D，且，则的长为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为_______． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 16. 解不等式组：并把它的解集表示在数轴上． 四、解答题：本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 18. 如图，在中，． (1)作的高；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求的长． 19. 如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC． 20. 某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人．该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择购票方案． 21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的，画出，并直接写出点的坐标； （2）绕原点逆时针方向旋转得到，按要求作出图形； （3）如果，通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 我校开展爱心义卖活动，小艺和同学们打算推销自己的手工制品．他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别为80cm，40cm． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为3∶1，其余每块木板按图2虚线裁剪出两块木板（阴影是余料），可制作成两个盒盖，所有盒盖与无盖收纳盒组合成有盖收纳盒． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 【问题解决】 任务（1） 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务（2） 确定分配方案1 ①设用x块木板制作盒盖，则制作盒子的木板数量为__________；制成的有盖收纳盒的数量为__________；制成的无盖收纳盒的数量为__________； ②若制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒，但不到无盖收纳盒个数的2倍，木板该如何分配？请给出分配方案． 任务（3） 确定分配方案2 在方案1的基础上，为了提高利润，小艺打算把图2裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张矩形余料可以制成一把小木剑，并以5元/个的价格销售．请确定木板分配方案，使销售后获得最大利润． 23. 综合与探究 【问题情境】在数学综合实践课上，老师让同学们用两张全等的直角三角形纸片进行摆放，使一锐角顶点重合．如图1，已知，，连接，射线与线段交于点M，并思考点M是否是线段的中点． 【特例探究】（1）勤学小组将它们按照图2的方式摆放，A，E，D三点在同一直线上，此时点E与点M重合，同学们发现点M恰好是线段的中点，请你说明理由； 【一般探究】（2）善思小组受勤学小组的启发，发现摆放在一般位置时，点M仍为线段的中点，小明写出了他的思路：如图3，以点D为圆心，的长为半径作弧交射线于点G，则，……，请你按照小明的思路说明点M是线段的中点； 【变式探究】（3）智慧小组继续改变的位置进行探究，且点E始终在直线的上方．若，当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $