第08讲 圆与圆的位置关系（4知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第08讲 圆与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法； 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 知识点1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 （24-25高二上·江苏连云港·月考）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切.故选：C. 知识点2 两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． （24-25高二上·河北衡水·月考）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，将两圆作差，有， 整理可得，即公共弦所在直线为.故选：B 知识点3 圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2、公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． （24-25高二上·福建厦门·月考）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到， 所以圆的圆心为，半径为， 由，得到， 所以圆的圆心为，半径为， 又，所以， 故圆与圆外切，所以圆与圆的公切线条数是条，故选：B. 知识点4 圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】经过圆：和圆：交点的圆可设为 ，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为.故选：A. 考点一：圆与圆的位置关系判断 例1．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】D 【解析】由已知圆心，半径， 圆心，半径， 则，所以两圆相内切，故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·湖北·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 两圆的圆心距为，所以， 所以两圆的位置关系为外切.故选：C. 【变式1-2】（24-25高三上·天津·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 因为，则， 所以圆与圆相交.故选：B 【变式1-3】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解析】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B． 考点二：由圆与圆的位置关系求参 例2.（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是.故选：C 【变式2-1】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将方程配方得：，则，半径为1， 由可得，半径为， 因与内切，则有， 由于，则得，解得，即的最小值为2.故选：B. 【变式2-2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于圆，其圆心坐标，半径. 对于圆，即， 其圆心坐标，半径， 因为两圆外切，所以两圆的圆心距等于两圆半径之和. 两圆的圆心距， 根据两圆外切性质，即，解得.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·四川成都·月考）已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，点，，可知点的轨迹是以为直径的圆（除外）， 即圆心为，半径的圆， 且圆的圆心为，半径， 由题意可知：圆与圆有公共点， 则，即，且，解得， 所以实数的取值范围是.故选：B. 考点三：两圆的公共弦问题 例3.（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴两圆方程相减得，，化简得.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆，圆的方程可以化简为，， 将两圆方程相减，得，即直线的方程为.故选:A. 【变式3-2】（24-25高二上·海南海口·月考）圆与圆的公共弦长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为.故选：B 【变式3-3】（24-25高二上·广东·月考）已知圆与圆的公共弦与直线垂直，且垂足为，则圆N的半径为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为圆与圆， 所以它们的公共弦方程为. 因为公共弦与直线垂直，所以，解得. 将点的坐标代入，可得， 圆可化为，故圆N的半径为.故选：B. 考点四：两圆的公切线条数问题 例4.（24-25高二上·浙江杭州·月考）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条，故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）圆与圆的公切条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】的圆心是，半径 圆即，圆心为，半径， ，所以两圆相交，公切线有2条．故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】与点的距离为2的直线是圆的切线， 与点的距离为1的直线是圆的切线， 两圆的圆心距，因此圆与圆外切，有3条公切线， 所以满足条件的直线共有3条.故选：C 【变式4-3】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为.故选：C 考点五：求两圆的公切线方程 例5.（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【答案】；；（三个任意一个都算正确） 【解析】由题可知： 所以 两个圆的半径和为 所以两个圆外切，所以有三条公切线, 设公切线为 由圆心到切线的距离等于半径得 解得 或或 所以切线方程为，或 【变式5-1】（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【解析】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 【变式5-2】（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【解析】因为，的半径均为1，则外切， 结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 【变式5-3】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 考点六：圆系方程的应用 例6.（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】与相减得：， 将代入得：， 即， 设两圆和的交点为， 则，，则， 不妨设， 所以线段的中点坐标为， 因为直线的斜率为1，所以线段的垂直平分线的斜率为-1， 所以线段的垂直平分线为， 与联立得：， 故圆心坐标为，半径， 所以圆的方程为， 整理得：故选：D 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·月考）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解析】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即. 【变式6-2】求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【答案】 【解析】由圆和， 两圆的方程相减，可得两圆的公共弦方程为， 过直线与圆的交点的圆， 可设为，即， 要使得所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径， 圆心必在公共弦所在直线上， 即，解得， 代回圆系方程得所求圆方程. 【变式6-3】（24-25高二上·吉林长春·学科竞赛）已知圆与圆相交于A、B两点. (1)求公共弦AB所在直线方程； (2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆方程相减即可得到公共弦AB所在直线方程； （2）通过过交点的圆系方程设出圆，代入原点求解即可. 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为. （2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径. 对A选项：圆心，半径， 因为圆心距， 所以两圆不内切，故A选项不满足条件； 对B选项：圆心，半径， 因为圆心距， 所以两圆内切，故B选项满足条件； 对C选项：圆心，半径， 因为圆心距， 所以两圆不内切，故C选项不满足条件； 对D选项：圆心，半径， 因为圆心距， 所以两圆不内切，故D选项不满足条件.故选：B 2．（24-25高二下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解析】 如图，分别以为圆心，以2，3为半径画圆，即为两圆的公切线， 因为， 所以两圆外切，两圆有三条公切线，即满足条件的直线共有3条，故选：C. 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为．故选：D． 4．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点，则，， 因为，则，所以，， 化简可得，故点的轨迹方程为， 由题意可知，圆与圆有公共点， 两圆圆心距为， 所以，，即， 因为，解得，即实数的取值范围是.故选：B. 5．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则由得点的轨迹方程为， 圆心为，半径为2， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为3， 所以，解得，即的取值范围是.故选：A. 二、多选题 6．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可知，圆心、，圆的半径为，圆的半径为， 因为两圆相交，则，即，解得或，故选：AC. 7．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】由题可知圆心，半径，圆心，半径； 故两圆圆心距为， 对于A，当时，，此时两圆相离，故圆与圆有4条公切线，即A错误； 对于B，当时，是圆的切线， 又圆心到的距离为，即圆与相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，此时圆与圆相离，即C正确； 对于D，当时，，此时圆与圆相交， 将两圆方程相减可得， 即圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D错误.故选：BC 8．（24-25高二上·重庆·期中）圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【解析】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 10．（24-25高二上·山西·月考）圆和圆的公切线的方程为 . 【答案】或或 【解析】圆，圆心坐标，半径， 圆，圆心坐标，半径， 由，则两圆相外切， 由圆心和半径可知，两圆均与直线相切， 直线的方程为，直线与直线的交点为， 设过的另外一条切线为，由点到切线距离为1，故， 解得，或，故另外一条切线为. 因为直线的斜率为，故过两圆切点的切线斜率为， 设过公切点的切线方程为，由点到切线距离为1，则， 所以，故. 11．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，则，， 故即为即， 因为也在圆上， 故， 整理得到：，解得， 四、解答题 12．（24-25高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 【答案】(1)；(2)相交， 【解析】（1）因，则线段的中点的坐标为， 且直线的斜率, 于是线段的垂直平分线所在直线方程为 , 则由，解得， ∴圆心，半径, ∴圆的方程为； （2）由圆得： ∴ 圆心，半径， ∵ 圆的圆心坐标为，半径， 由，， 因 ，故圆与圆相交 ； 设圆与圆的两个交点分别为点，如图， 由左右分别相减，整理得, ∴直线的方程为, ∴ 圆心到直线的距离 , ∴， 综上：圆与圆相交，两圆的公共弦长为. 13．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程． (3)已知三点，点在圆上运动，求的最大值和最小值． 【答案】(1)或；(2)；(3)最大值为107，最小值为67 【解析】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为，则切线方程为，即 圆心到切线的距离等于半径解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）联立，解得或． 圆与圆的交点为， 线段的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为． 由，解得，所以圆心为． 因此，所求圆的方程为 （3）设，因为三点， 所以， ， 因为点P在圆上运动，则，所以， 当时，取的最大值107， 当时，取的最小值67． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．能根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2．掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法； 3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题． 知识点1 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 （24-25高二上·江苏连云港·月考）圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 知识点2 两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． （24-25高二上·河北衡水·月考）若圆，圆，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点3 圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2、公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． （24-25高二上·福建厦门·月考）已知圆与圆的公切线条数是（    ） A． B． C． D． 知识点4 圆系方程及其应用技巧 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 考点一：圆与圆的位置关系判断 例1．（24-25高二上·上海·期末）已知圆，圆则两个圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【变式1-1】（24-25高二上·湖北·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【变式1-2】（24-25高三上·天津·期中）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【变式1-3】（24-25高二上·福建龙岩·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 考点二：由圆与圆的位置关系求参 例2.（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·湖南永州·月考）若存在实数使得与内切，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（24-25高二上·四川成都·月考）已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三：两圆的公共弦问题 例3.（24-25高二上·山西·期末）已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·海南海口·月考）圆与圆的公共弦长为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式3-3】（24-25高二上·广东·月考）已知圆与圆的公共弦与直线垂直，且垂足为，则圆N的半径为（    ） A． B． C．2 D． 考点四：两圆的公切线条数问题 例4.（24-25高二上·浙江杭州·月考）圆与圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（24-25高二上·陕西西安·月考）圆与圆的公切条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4-2】（24-25高二上·安徽·月考）与点的距离为2，且与点的距离为1的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式4-3】（24-25高二下·福建福州·月考）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点五：求两圆的公切线方程 例5.（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 . 【变式5-1】（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【变式5-2】（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【变式5-3】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 考点六：圆系方程的应用 例6.（24-25高二上·黑龙江伊春·期中）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·月考）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【变式6-2】求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程. 【变式6-3】（24-25高二上·吉林长春·学科竞赛）已知圆与圆相交于A、B两点. (1)求公共弦AB所在直线方程； (2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·月考）已知圆，则以下选项中与圆内切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南曲靖·月考）在平面直角坐标系中，已知两点到直线的距离分别是2与3，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆铜梁·月考）已知两点、，若圆上存在点，使，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·四川成都·月考）若圆与圆相交，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南文山·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆有2条公切线 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相离 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 8．（24-25高二上·重庆·期中）圆和圆的交点为、，则有（    ） A．公共弦所在的直线方程为 B．线段的中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 三、填空题 9．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则 10．（24-25高二上·山西·月考）圆和圆的公切线的方程为 . 11．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，若圆上存在点M满足，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 12．（24-25高二上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，圆C经过点和点，且圆心C在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)已知圆的方程为，请问圆与圆会相交吗？若相交求出两圆的公共弦长；若不相交，请说明理由. 13．（24-25高二上·江苏南通·月考）已知圆． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程． (3)已知三点，点在圆上运动，求的最大值和最小值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$