第05讲 平面上的距离（4知识点+7考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第05讲 平面上的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题； 2．经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程，掌握点到直线的距离公式． 3．理解两条平行线间距离公式的推导，会求两条平行直线的距离． 知识点1 平面上两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离 （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． （24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．5 知识点2 点到直线的距离 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． （23-24高二上·重庆·月考）点到直线的距离为 知识点3 两平行直线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． （24-25高二下·湖南·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D．1 知识点4 对称问题 1、点关于点的对称问题 （1）中点坐标公式：对于平面上的两点，，线段的中点是，则 （2）点关于点的对称问题：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 2、直线关于点的对称问题 （1）实质：两直线平行 （2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）； 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 3、点关于直线的对称问题 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 （2）当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 4、直线关于直线的对称问题 （1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； （2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行. （24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 考点一：点到点的距离及应用 例1．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【变式1-1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【变式1-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·月考）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：点到直线的距离及应用 例2.（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【变式2-2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．4 B． C．4或 D．或 【变式2-3】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知在直线上，则的最小值为 ． 考点三：平行线间的距离及应用 例3.（24-25高二上·江苏常州·月考）两条平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】（24-25高二上·吉林四平·月考）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·福建厦门·月考）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 考点四：直线关于点的对称问题 例4.（24-25高二上·重庆·月考）直线关于点对称的直线方程为 . 【变式4-1】（23-24高二上·山东·月考）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式4-2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 考点五：点关于直线的对称问题 例5.（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·河北保定·月考）（多选）若点和点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·陕西铜川·月考）（多选）若点和点关于直线对称，则（    ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 考点六：直线关于直线的对称问题 例6.（24-25高二上·福建莆田·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·月考）直线关于轴对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·天津红桥·月考）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·广东阳江·月考）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 考点七：线段和差的最值问题 例7. （24-25高二上·北京·月考）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C． D．3 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【变式7-2】（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【变式7-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 4．（23-24高二上·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知且．则的最小值（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25高二上·四川眉山·月考）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（    ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 三、填空题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 10．（23-24高二上·北京·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 13．（23-24高二上·重庆·月考）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平面上的距离 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．会用两点间的距离公式解决一些相关问题； 2．经历坐标法推导点到直线距离公式的运算过程，掌握点到直线的距离公式． 3．理解两条平行线间距离公式的推导，会求两条平行直线的距离． 知识点1 平面上两点间的距离 1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． 2、三种特殊距离 （1）原点到任意一点的距离为； （2）当平行于轴时，； （3）当平行于轴时，． （24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【解析】点和点之间的距离为.故选：D. 知识点2 点到直线的距离 1、定义：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离，即垂线段的长度． 2、距离公式：点到直线的距离． 【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． （2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离． （3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0． 3、点到几种特殊直线的距离 （1）点到轴的距离； （2）点到轴的距离； （3）点到直线的距离； （4）点到直线的距离． （23-24高二上·重庆·月考）点到直线的距离为 【答案】 【解析】点到直线的距离为. 知识点3 两平行直线间的距离 1、定义：两条平行线间的距离是指夹在这两条平行线间的公垂线段的长． 2、距离公式：两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． 3、两平行线间的距离另外一种解法：转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离． （24-25高二下·湖南·月考）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】可变为，则两条平行直线间的距离为．故选：C. 知识点4 对称问题 1、点关于点的对称问题 （1）中点坐标公式：对于平面上的两点，，线段的中点是，则 （2）点关于点的对称问题：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称 2、直线关于点的对称问题 （1）实质：两直线平行 （2）法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）； 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 3、点关于直线的对称问题 （1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 （2）当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 4、直线关于直线的对称问题 （1）当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； （2）当与l平行时：对称直线与已知直线平行. （24-25高二上·福建龙岩·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 考点一：点到点的距离及应用 例1．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【解析】设，则，即， 所以.故选：A 【变式1-1】（24-25高二上·浙江金华·期中）已知点，，若，则（    ） A．1 B．-5 C．1或-5 D．-1或5 【答案】C 【解析】因为点，，所以， 所以，则.故选：C. 【变式1-2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长.故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·江苏无锡·月考）已知两平行直线分别过点和，并且各自绕点A，B旋转，但始终保持平行，则平行直线间的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当两直线都与垂直时，它们之间的距离达到最大， 此时， 当两直线重合时其距离为0，所以．故选：B. 考点二：点到直线的距离及应用 例2.（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解析】由题点到直线的距离为.故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（    ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【答案】D 【解析】由题意可得，解得或，故选：D 【变式2-2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【解析】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得．故选：C 【变式2-3】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【解析】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 考点三：平行线间的距离及应用 例3.（24-25高二上·江苏常州·月考）两条平行线与间的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】直线，所以所求距离为.故选：A 【变式3-1】（24-25高二上·吉林四平·月考）两平行直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于与平行，故，解得， 故两直线为，， 故距离为，故选：C 【变式3-2】（24-25高二上·福建厦门·月考）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为.故选：A 【变式3-3】（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【解析】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 考点四：直线关于点的对称问题 例4.（24-25高二上·重庆·月考）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 【变式4-1】（23-24高二上·山东·月考）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 【变式4-2】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点.故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故，故选：A 考点五：点关于直线的对称问题 例5.（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即.故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：，， 点关于直线的对称点的坐标为， 即．故选：D． 【变式5-2】（24-25高二上·河北保定·月考）（多选）若点和点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得，故选：AC. 【变式5-3】（24-25高二上·陕西铜川·月考）（多选）若点和点关于直线对称，则（    ） A．的中点坐标为 B． C．直线的斜率为1 D． 【答案】ABD 【解析】易知的中点坐标为，则点在直线上， 所以，解得， 所以直线的斜率为. 又因为，所以，解得.故选：ABD 考点六：直线关于直线的对称问题 例6.（24-25高二上·福建莆田·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 则点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为，即. 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·月考）直线关于轴对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设是所求直线上任意一点， 则关于轴对称的点为，且在直线上， 代入可得，即.故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·天津红桥·月考）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为， 代入直线上，，故选：D 【变式6-3】（24-25高二上·广东阳江·月考）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【解析】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 考点七：线段和差的最值问题 例7. （24-25高二上·北京·月考）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是.故选：A 【变式7-1】（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【解析】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为故选：C 【变式7-2】（24-25高二下·上海·月考）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 【变式7-3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【解析】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 一、单选题 1．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【解析】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形， 而直线的斜率，直线的斜率， 即，则， 所以矩形是正方形.故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时， 点到直线的距离有最大值， 最大值为.故选：D. 3．（24-25高二上·江苏苏州·月考）已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【答案】D 【解析】将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48．故选：D. 4．（23-24高二上·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即，故选：C. 5．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）已知且．则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设原点关于直线的对称点为，过点向轴做垂线，垂足为， 与直线交于点，由的几何意义可知， 该式表示线段上一点到原点的距离与到轴的距离之和最小， 由平面几何知识可知，该点取点的时候，最小， 最小值为，即点的纵坐标， 由点与原点关于直线对称可知， 所以的最小值为.故选：C 二、多选题 6．（24-25高二上·福建福州·月考）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【解析】直线过定点， 所以，即， 而A，B在范围内，故A，B正确.故选：AB． 7．（24-25高二上·四川眉山·月考）已知直线，点，，，，下列说法正确的是（    ） A．点P到直线的距离为 B．若P与Q点位于直线的两侧则 C．点P与点Q之间距离的最小值为 D．的最小值为2 【答案】ABD 【解析】点P到直线的距离，A选项正确； ∵将点代入直线方程得，要想P与Q点位于直线的两侧， 则将代入直线方程得，即，B选项正确； ，C选项错误； ∵，∴点在直线上，斜率，过点作直线于点， 则，联立方程组解得，即， ∴点关于直线的对称点，连接与的交点为， 此时最小，的最小值：，D选项正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最大值为（    ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值， 即最小值是，为.故选：AC 三、填空题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期中）若直线与直线平行，则直线与之间的距离为 . 【答案】 【解析】由与平行，得，解得， 故两直线方程分别为， 所以直线与之间的距离为. 10．（23-24高二上·北京·月考）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线与直线关于轴对称，所以， 在中，令，则，所以直线与轴的交点为， 即直线与轴的交点为， 所以直线的方程为，整理得. 11．（24-25高二上·福建泉州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】表示、的距离， 表示、的距离， 又关于x轴的对称点，如图， 所以， 所以． 四、解答题 12．（24-25高二上·湖北·期中）已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 13．（23-24高二上·重庆·月考）已知三条直线：，，，且与间的距离是， (1)求 的值； (2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点在第一象限；②点 到的距离是点 到的距离的；③点 到的距离与点 到的距离之比是，若能，求点 的坐标；若不能，说明理由 【答案】(1)；(2)存在点. 【解析】（1）， 与间的距离为，即 ， ，； （2）假设存在，设点， 由条件知，点在与平行的直线上， 且， 或， 或， 由条件知，， ，即或， 因为点在第一象限，，舍， 或 解得（舍），， 所以存在点同时满足①②③． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$