第07讲 直线与圆的位置关系（3知识点+8考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第07讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征； 2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断； 3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等． 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． （24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 知识点2 直线与圆的相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． （24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． （24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 考点一：直线与圆的位置关系判断 例1．（24-25高二上·广东·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【变式1-1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【变式1-3】（24-25高二上·山东·月考）点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 例2. （23-24高二下·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式2-2】（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）直线与圆相交的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 考点三：直线与圆的相交弦长问题 例3.（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式3-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式3-2】（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【变式3-3】（24-25高三下·河南·月考）已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为 . 考点四：直线与半圆的相交问题 例4.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江西吉安·月考）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式4-3】（24-25高二上·四川自贡·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五：求圆的切线方程 例5.（24-25高二上·重庆渝中·月考）圆C：在点处的切线方程为 . 【变式5-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·云南临沧·月考）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式5-3】（24-25高二下·福建厦门·月考）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 考点六：与切线长有关的问题 例6.（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式6-1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式6-2】（24-25高二上·四川成都·月考）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式6-3】（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 考点七：由圆上的点到直线距离求参数 例7.（24-25高二上·天津红桥·月考）若圆上不存在到直线的距离为1的点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【变式7-2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 考点八：利用直线与圆位置关系求最值 例8.（24-25高二上·北京·月考）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高三下·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·江西·月考）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【变式8-3】（24-25高二上·江西·月考）已知，点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北·月考）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 7．（24-25高二下·安徽·月考）已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线的方向向量与向量共线 C．若直线与C有公共点，则 D．当时，则直线与圆C所交弦长为 8．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知圆直线则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 三、填空题 9．（24-25高二上·天津·月考）过点作圆的切线，则切线方程为 . 10．（24-25高二上·重庆·月考）过点向圆作切线，切点为，则 . 11．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 13．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知直线，圆. (1)求与直线平行且与圆相切的直线方程； (2)设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：8大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征； 2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断； 3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等． 知识点1 直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有共同点． 2、判断直线与圆位置关系的方法 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离． 直线与圆相离无交点； 直线与圆相切只有一个交点； 直线与圆相交有两个交点． （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： 当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； 当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； 当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离． （24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【解析】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心，故选：A 知识点2 直线与圆的相交弦长 1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系， 整理出弦长公式为：． 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长． （24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以故选： 知识点3 直线与圆相切 1、圆的切线的条数 （1）过圆外一点，可以作圆的两条切线； （2）过圆上一点，可以作圆的一条切线； （3）过圆内一点，不能作圆的切线． 2、过圆上一点的切线方程 法一：先求出切点与圆心的连线斜率， 若不存在，则结合图形可直接写出切线方程； 若，则结课图形可直接写出切线方程； 若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程． 法二：若不存在，验证是否成立； 若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可． 3、过圆外一点的圆的切线方程 法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程． 法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即 代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出． （24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）过点的直线与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为，故选：D. 考点一：直线与圆的位置关系判断 例1．（24-25高二上·广东·期末）直线与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法判断 【答案】C 【解析】的圆心为，半径为25， 到的距离为， 故直线与圆相交，公共点个数为2.故选：C 【变式1-1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切.故选：D. 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】由，即圆心，半径， 所以到的距离， 所以直线与圆相交.故选：B 【变式1-3】（24-25高二上·山东·月考）点是圆内不为圆心的一点，则直线与该圆的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】C 【解析】M在圆内，且不为圆心，则， 则圆心到直线的距离为， 所以相离．故选：C． 考点二：由直线与圆的位置关系求参数 例2. （23-24高二下·贵州黔西·期中）若直线与圆相切，则b的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆，可得圆心为，半径为， 因为直线与圆相切，则满足，解得.故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得，故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·河南洛阳·月考）已知经过点且倾斜角为的直线与圆：相离，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】经过点且倾斜角为的直线，则直线的方程为. 因为圆心为半径为， 所以由题意得解得.故选：C. 【变式2-3】（24-25高二下·广西南宁·期中）直线与圆相交的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 由直线与圆相交，得，即，得， 结合选项可知：直线与圆相交的充分不必要条件可以是.故选：C. 考点三：直线与圆的相交弦长问题 例3.（24-25高二下·江苏南京·期中）直线被圆C：截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为，故选：D 【变式3-1】（24-25高二下·河南商丘·月考）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【解析】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为.故选：C. 【变式3-2】（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【解析】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 【变式3-3】（24-25高三下·河南·月考）已知点，动点满足，过点的直线与动点的轨迹相交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】或. 【解析】设，因为，所以 ，化简得. 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆. 因为弦长，所以圆心到直线的距离. 设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为或. 即或. 考点四：直线与半圆的相交问题 例4.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是，故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以.故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·江西吉安·月考）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或，故选：D． 【变式4-3】（24-25高二上·四川自贡·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的右半圆； 当时，曲线为（）， 表示以为圆心，1为半径的圆的左半圆； 所以曲线的图象如图所示： 当直线位于与之间或与之间时， 直线与曲线有两个不同的交点， 当直线位于时，直线与圆相切， 则，解得； 当直线位于时，； 直线位于与之间时，. 同理可得，直线位于与之间时，. 综上，实数的取值范围是.故选：C 考点五：求圆的切线方程 例5.（24-25高二上·重庆渝中·月考）圆C：在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】依题意，点在圆C：上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为1， 所以所求切线方程为，即. 【变式5-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为.故选：D. 【变式5-2】（24-25高二上·云南临沧·月考）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【解析】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，化简得，解得或， 所以的斜率为0或.故选：C. 【变式5-3】（24-25高二下·福建厦门·月考）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或.故选：AC 考点六：与切线长有关的问题 例6. （2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【解析】由题意有，即.故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形， 设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时.故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·四川成都·月考）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由已知在以为直径的圆上，所以， 又在圆上，所以为圆的两条切线，故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以，所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为.故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·广东湛江·期末）已知圆，直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 由，得，又，则， 而直线上存在点P，满足， 于是点到该直线的距离，解得， 所以的取值范围是.故选：C 考点七：由圆上的点到直线距离求参数 例7.（24-25高二上·天津红桥·月考）若圆上不存在到直线的距离为1的点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆即为，可知其圆心为，半径， 若圆上不存在到直线的距离为1的点， 可知圆心到直线的距离，则，解得或， 所以c的取值范围是.故选：C. 【变式7-1】（24-25高二上·山东青岛·期中）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【答案】C 【解析】如图所示： 设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即.故选：C 【变式7-2】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：，故选：C 【变式7-3】（24-25高二上·北京平谷·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】由圆方程可得圆心坐标为， 依题意需使点到直线的距离， 解得.故选：D. 考点八：利用直线与圆位置关系求最值 例8.（24-25高二上·北京·月考）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为.故选：A. 【变式8-1】（24-25高三下·北京·三模）经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径， 即. 故选：B. 【变式8-2】（24-25高二上·江西·月考）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 【变式8-3】（24-25高二上·江西·月考）已知，点，点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】设，则，消去得， 因为，所以， 所以点在线段上运动， 设，则， 由得， 所以点在圆上运动，圆心为，半径为.   过点且垂直于的直线为， 设与交于点， 联立，解得，所以， 因为在线段上， 所以圆心到线段上的点的距离的最小值 即为圆心到直线的距离， 所以的最小值为.故选：D. 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切， 则，解得.故选：C 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【解析】直线， 即， 令，解得，即直线过点， 又，则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点，故选：C. 3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为， 即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得， 结合选项发现只有B选项符合题意.故选：B 4．（24-25高二上·河南三门峡·期末）若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆可得圆心，半径， 圆心到直线的距离， 当直线与圆相离或相切时，即，圆上的点到直线的距离最小值为， 由题意可得，解得或； 当直线与圆相交时，即，圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 由题意可得，由，不等式显然成立，由不等式，解得. 综上所述，的取值范围为.故选：A. 5．（24-25高二上·河北·月考）若直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 则曲线表示以为圆心，1为半径的半圆（轴及其下方），如图， 直线为恒过点的直线， 结合图形可知，当直线与圆相切于点时，斜率取得最小值，此时； 当直线与圆相交于点时，斜率最大，此时， 综上所述，所以实数的取值范围是.故选：D. 二、多选题 6．（24-25高二上·云南丽江·月考）已知圆O：，点是圆O上的点，直线l：，则（    ） A．圆O上恰有3个点到直线l的距离等于1 B．直线l与圆O相交弦长 C．过点P的圆O的切线方程是 D．过点P向圆M：引切线，A为切点．则最小值为 【答案】ABD 【解析】A选项：如图所示，由已知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，A选项正确； B选项：由A知弦长为，B选项正确； C选项：当直线的斜率存在且不为0时，此时斜率为， 则切线斜率为，此时切线方程为， 即，即， 当直线的斜率不存在或为0时，切线方程适合上式， 故过点P的圆O的切线方程是，故C错误； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 当三点共线，且P在O，M之间时取等号， 所以的最小值为，D选项正确；故选：ABD. 7．（24-25高二下·安徽·月考）已知直线的方程为，圆C的方程为．则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过点 B．直线的方向向量与向量共线 C．若直线与C有公共点，则 D．当时，则直线与圆C所交弦长为 【答案】ACD 【解析】当时，，则直线恒过定点，故A正确； 直线的方向向量为，若与共线，则，得， 故只有当时才与共线，故B错误； 若直线与C有公共点，且圆的半径， 则圆心到直线的距离， 解得或，故C正确； 当时，圆心到直线的距离， 因圆的半径，则弦长为，故D正确.故选：ACD 8．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知圆直线则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则 【答案】ABC 【解析】对于A选项，直线的方程可化为， 由可得，所以，直线恒过定点，A正确； 对于B选项，因为，则点在圆内， 所以，直线与圆有两个交点，B正确； 对于C选项，当时，直线的方程为， 设与直线平行且与直线的距离为的直线的方程为， 由平行线间的距离公式可得，解得， 圆心为，圆的半径为， 圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 所以，直线、都与圆相交， 所以，当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于，C正确； 对于D选项，因为直线与直线平行， 则，解得， 即点在直线上，连接，则， 由勾股定理可得， 当直线与直线垂直时，取最小值， 且，则，D错误.故选：ABC 三、填空题 9．（24-25高二上·天津·月考）过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【解析】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离，解得， 故切线方程为. 10．（24-25高二上·重庆·月考）过点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 【解析】由圆，圆心坐标为，半径为2， 因为过点向圆作切线，切点为，且， 所以. 11．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知点M，N在直线上运动，且，点P在圆上，则的面积的最大值为 ． 【答案】15 【解析】设圆心C到直线的距离为d，P到直线l的距离为， 又圆心坐标为，所以， 又半径为，则当最大时，， 此时的面积也最大，最大值为． 四、解答题 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； （2）由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； （3）的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 13．（24-25高二上·河北邯郸·期中）已知直线，圆. (1)求与直线平行且与圆相切的直线方程； (2)设直线，且与圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)或；(2)或 【解析】（1）依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； （2）依题意，设直线的方程为， 因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为， ，解得或， 直线的方程为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$