第01讲 直线的斜率与倾斜角（3知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第01讲 直线的斜率与倾斜角 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向； 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率的范围． 知识点1 直线的斜率 1、斜率的定义 对于直线上的任意两点、，如果，如图（1），那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称直线的斜率，即.如果，如图（2），那么直线的斜率不存在． 对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作． 2、注意事项 （1），两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． （2）若，，则直线与轴平行或重合，斜率． （24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 知识点2 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角记为刻画了直线的倾斜程度，我们把这个角称为直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0．由定义可知，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下 直线 与轴平行或重合 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 倾斜角 设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（    ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 知识点3 直线的倾斜角与斜率之间的关系 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，如（1）所示，此时． 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，如（2）所示，此时 ． 因此，当直线与轴不垂直时，该直线的斜率与倾斜角之间的关系为． 当直线与轴垂直时，即倾斜角为时，斜率不存在． 直线的倾斜角与斜率的变化情况的对应关系如下表： 直线情况 平行或重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的范围 不存在 的增减性 递增，由0趋向于正无穷大 递增，由负无穷大趋向于0 （24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 考点一：求直线的倾斜角 例1．（24-25高二上·贵州遵义·月考）在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·天津·月考）直线经过，，其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高二上·河南·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 考点二：求直线的斜率 例2.（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（    ） A． B． C． D． 考点三：图象中的斜率与倾斜角 例3.（24-25高二上·江苏镇江·月考）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 考点四：利用直线斜率处理共线问题 例4.（24-25高二上·山东济南·月考）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【变式4-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【变式4-2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4-3】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 考点五：直线与线段有公共点问题 例5.（24-25高二上·广东中山·月考）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·浙江吴兴·期中）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式5-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 考点六：斜率公式的几何意义应用 例6.（24-25高二上·山东烟台·月考）已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【变式6-1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【变式6-3】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏苏州·月考）过两点的直线的倾斜角是，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 3．（24-25高二上·天津·月考）已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东·月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·广东湛江·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 7．（24-25高二上·陕西西安·月考）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高二上·江西南昌·月考）直线过点，，则直线的倾斜角为 10．（24-25高二上·河南·月考）已知实数满足，且，则的最小值为 . 11．（24-25高二上·辽宁大连·月考）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 13．已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 直线的斜率与倾斜角 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：6核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．结合图形，探索确定直线位置的几何要素：点和方向； 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．理解倾斜角与斜率的关系，会求倾斜角与斜率的范围． 知识点1 直线的斜率 1、斜率的定义 对于直线上的任意两点、，如果，如图（1），那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称直线的斜率，即.如果，如图（2），那么直线的斜率不存在． 对于与轴不垂直的直线，它的斜率也可以看作． 2、注意事项 （1），两点的纵坐标和横坐标在斜率公式中的次序可以同时调换，也就是说，如果分子是，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． （2）若，，则直线与轴平行或重合，斜率． （24-25高二下·河北保定·开学考试）已知直线经过点，，则的斜率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率．故选：C 知识点2 直线的倾斜角 1、倾斜角的定义 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时，所转的最小正角记为刻画了直线的倾斜程度，我们把这个角称为直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0．由定义可知，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下 直线 与轴平行或重合 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 倾斜角 设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（    ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【解析】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为．故选：D． 知识点3 直线的倾斜角与斜率之间的关系 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，如（1）所示，此时． 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，如（2）所示，此时 ． 因此，当直线与轴不垂直时，该直线的斜率与倾斜角之间的关系为． 当直线与轴垂直时，即倾斜角为时，斜率不存在． 直线的倾斜角与斜率的变化情况的对应关系如下表： 直线情况 平行或重合于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的范围 不存在 的增减性 递增，由0趋向于正无穷大 递增，由负无穷大趋向于0 （24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为故选：B. 考点一：求直线的倾斜角 例1．（24-25高二上·贵州遵义·月考）在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为.故选：D. 【变式1-1】（24-25高二下·云南文山·月考）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为，故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·天津·月考）直线经过，，其倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线经过，， 所以直线的斜率为：， 设直线的倾斜角为，则， 又 ，所以，故选：B 【变式1-3】（24-25高二上·河南·期中）经过两点的直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为，故选：C． 考点二：求直线的斜率 例2.（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是.故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·江西九江·期末）已知经过点和点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，得，解得，故选：C． 【变式2-2】（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 设的倾斜角为，所以， 故， 故直线的斜率为，故选：A 【变式2-3】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点，在斜率为的直线l上， 则.故选：D. 考点三：图象中的斜率与倾斜角 例3.（24-25高二上·江苏镇江·月考）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线,的倾斜角为， 由图可知， 所以，即，，所以．故选：D 【变式3-1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即.故选：A. 【变式3-2】（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小.故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以．故选：D. 考点四：利用直线斜率处理共线问题 例4.（24-25高二上·山东济南·月考）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得.故选：D 【变式4-1】（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【解析】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得， 此时满足题意，所以. 【变式4-2】（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意可得，即，解得.故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·贵州贵阳·月考）若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即，∴. 考点五：直线与线段有公共点问题 例5.（24-25高二上·广东中山·月考）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 依题意，， 要想直线l过点且与线段AB相交， 则或，故选：A 【变式5-1】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是．故选：C 【变式5-2】（24-25高二上·浙江吴兴·期中）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是.故选：D 【变式5-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·月考）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【解析】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时， 直线l的斜率取值范围是.故选：D. 考点六：斜率公式的几何意义应用 例6.（24-25高二上·山东烟台·月考）已知点，若点在线段上，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】表示过点和点的直线斜率， 如图， 因为，结合图形可知或， 所以的取值范围为. 【变式6-1】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 【变式6-2】（23-24高二上·上海·期中）点在函数的图象上，当，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 【变式6-3】已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是.故选：A 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏苏州·月考）过两点的直线的倾斜角是，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为过两点的直线的倾斜角是， 所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·月考）直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 【答案】A 【解析】由图像可知： 该直线的斜率.故选：A 3．（24-25高二上·天津·月考）已知直线斜率为，且．那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，且，解得.故选：C. 4．（24-25高二上·广东·月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为， 由题意， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是.故选：D． 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·广东湛江·月考）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【解析】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误.故选：ABD 7．（24-25高二上·陕西西安·月考）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A：，不共线； 对于B： ，共线； 对于C：，共线； 对于D：，共线.故选：BCD 8．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，.故选:ABD 三、填空题 9．（24-25高二上·江西南昌·月考）直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】 【解析】由斜率公式, 设倾斜角为，由. 10．（24-25高二上·河南·月考）已知实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为. 11．（24-25高二上·辽宁大连·月考）在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 【答案】 【解析】如下图：在平面直角坐标系中，描出， ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 四、解答题 12．（24-25高二上·广东东莞·月考）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1；(2)3 【解析】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 13．已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率，所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$