第17讲 圆与圆的位置关系（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第17讲 圆与圆的位置关系 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆与圆的位置关系的判断 3 题型02 两圆相切问题 6 题型03 两圆相交问题 10 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 21 创新拓展 29 一、圆与圆的位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ____个 ____个 ____个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d____r1＋r2 外切 d____r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d____|r1－r2| 内含 d____|r1－r2| 注意点： (1)利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法 二、两圆相切问题 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 题型01圆与圆的位置关系的判断 【解题策略】 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合 【典例分析】 课本例1　判断下列两个圆的位置关系： (1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； (2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. 【例1】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【变式2】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【变式3】（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 题型02 两圆相切问题 【解题策略】 通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题 【典例分析】 【例2】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0. (1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个. A．2 B．3 C．5 D．7 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为 . 【变式3】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知的边所在的直线方程分别为． (1)求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程； (2)若为边的中点，求边所在的直线方程． 题型03 两圆相交问题 【解题策略】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) 【典例分析】 【例3】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 【变式3】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 二、多选题 5．（22-23高二上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（    ） A．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条 B．经过点且与原点距离等于1的直线有两条 C．过点且与圆相切的直线只有一条 D．过点且与圆相切的圆只有一个 6．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 三、填空题 7．（23-24高二上·广东汕头·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于 ． 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 9．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 四、解答题 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 11．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 二、多选题 5．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 6．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（   ） A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离 C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）圆与圆的公共弦长为 9．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为 . 四、解答题 10．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 三、解答题 4．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·山东东营·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 圆与圆的位置关系 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 圆与圆的位置关系的判断 3 题型02 两圆相切问题 6 题型03 两圆相交问题 10 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 21 创新拓展 29 一、圆与圆的位置关系的判断 1．代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 注意点： (1)利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法 二、两圆相切问题 处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时) 题型01圆与圆的位置关系的判断 【解题策略】 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合 【典例分析】 课本例1　判断下列两个圆的位置关系： (1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16； (2)x2＋y2－2x－3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0. 解　(1)根据题意得，两个圆的半径分别为r1＝1和r2＝4，两个圆的圆心距 d＝＝5. 因为d＝r1＋r2，所以两个圆外切． (2)方法一　将两个圆的方程联立方程组 ①－②，得x－y－3＝0.③ 由③，得y＝x－3. 代入①式，并整理，得x2－4x＋3＝0， 解得x1＝1，x2＝3. 从而y1＝－2，y2＝0，即方程组有两组不同的解，所以两个圆相交． 方法二　将两个圆的方程都化为标准方程，得 (x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2. 那么两个圆的半径分别为r1＝2和r2＝，两个圆的圆心距 d＝＝. 因为|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两个圆相交． 【例1】当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 解　将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)， 半径r2＝(k＜50)， 从而C1C2＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切． 当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交． 当|＋1|<5，即34＜k＜50时，两圆外离． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·浙江金华·期末）圆C：与圆的位置关系不可能（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案. 【详解】由题可得圆C： ，则其圆心，半径为； 圆，则其圆心为，半径为. 则两圆圆心距为， 故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·河北承德·阶段练习）已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【答案】内含 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 【变式3】（23-24高二上·广西百色·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆方程； (2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)相交 【分析】（1）利用弦的中垂线过圆心，通过联立方程组解得圆心坐标，由圆上的点到圆心距离解得半径，可求圆方程； （2）利用圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系. 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心， 又圆心在直线上，由，解得，即圆心， 圆的半径. 所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径.    圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 题型02 两圆相切问题 【解题策略】 通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题 【典例分析】 【例2】已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0. (1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值． (1)证明　将圆的方程整理成(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0， 令可得 故该圆恒过定点(4，－2)． (2)解　圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0的圆心为(2a，－a)，半径为|a－2|， 若两圆外切，则|a|＝2＋|a－2|， 由此解得a＝1＋. 若两圆内切，则|a|＝|2－|a－2||， 由此解得a＝1－或a＝1＋(舍去)． 综上所述，当两圆相切时，a＝1－或a＝1＋. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·开学考试）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（    ）个. A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据已知两圆相离，根据圆与圆相切的定义利用待定系数法求出满足条件的圆即可. 【详解】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，设圆：与圆，圆都相切， 当圆与圆，圆都外切时，则， 所以，，所以，， 所以圆的方程为或， 当圆与圆，圆都内切时，则， 所以，，所以，， 所以圆的方程为， 当圆与圆外切，与圆内切时，则， 所以，，所以，， 所以圆的方程为或， 当圆与圆内切，与圆外切时，则， 所以，，所以，， 所以圆的方程为或， 所以满足条件的圆共7个， 故选：. 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）以为圆心的圆与圆相切，则圆的方程为 . 【答案】或 【分析】根据两圆相切，分内切和外切得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】两圆的圆心之间的距离为. 当两圆外切时，圆的半径为； 当两圆内切时，圆的半径为. ∴圆的方程为或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）已知的边所在的直线方程分别为． (1)求以点A为圆心，与圆相切的圆的方程； (2)若为边的中点，求边所在的直线方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出A点坐标，设出圆A的方程，讨论圆A和圆D外切和内切情况，求得半径，即可得答案； （2）设，根据中点坐标公式表示出C点坐标，利用解方程组求得的值，即可求得边所在的直线方程. 【详解】（1）由，得，所以点， 满足，即A在圆外，      由题意知，所以． 设圆A的方程为， 当两圆外切时，有，所以， 故所求圆的方程为； 当两圆内切时，有，所以，故所求圆的方程为． 综上所述，所求圆的方程为或． （2）设，因为点B在直线上，故，① 因为为边的中点，所以点C的坐标为， 又点C在直线上，所以，② ①②联立，解得，即， 故边所在的直线方程为， 化简，得，即边所在的直线方程为 题型03 两圆相交问题 【解题策略】 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1) 【典例分析】 【例3】已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. 因为A，B两点的坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心为C1(－3,0)，r＝， 所以C1到直线AB的距离d＝＝， 所以AB＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 方法二　设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·山东济宁·期末）圆与圆的公共弦的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定两圆相交，再将两圆做差可得公共弦所在直线方程，然后利用垂径定理求弦长. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则圆心距离为，故两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线方程为，即， 所以公共弦的长度为. 故选：D. 【变式2】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法三　设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x2＋y2－x－y－6＝0，圆心坐标为. 又圆心在直线x－y－4＝0上， 所以－－4＝0，解得λ＝－， 所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0. 【变式3】（23-24高二上·吉林延边·期末）已知圆与圆交于，两点，圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求； (2)求圆的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先作差得两圆相交弦所在直线方程，然后根据弦长公式计算即可； （2）求出直线的方程，再联立直线的方程得到圆的圆心坐标，再求出半径即可. 【详解】（1）因为圆与交于，两点， 所以两圆方程作差得直线的方程为． 又圆，所以点到直线的距离， 所以； （2），圆， 则，，则， 则直线的方程为，即， 由，解得，所以， 所以点到直线的距离， 设圆的半径为，所以， 所以圆的方程为 【夯实基础】 一、单选题 1．（2024高二·全国·专题练习）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】两圆相减可得， 经检验，该方程满足题意， 故公共弦所在直线的方程为. 故选：A. 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）已知动圆与圆外切，同时又与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【分析】设动圆圆心为，半径为，则由题意可得化简可得答案. 【详解】的圆心为，半径为2 设动圆圆心为，半径为， 由题意得，即 当时，化简得：，当时，化简得：， 故选：D. 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 4．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 二、多选题 5．（22-23高二上·福建莆田·期中）下列说法正确的是（    ） A．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线只有一条 B．经过点且与原点距离等于1的直线有两条 C．过点且与圆相切的直线只有一条 D．过点且与圆相切的圆只有一个 【答案】BC 【分析】根据直线过原点时，可判定A不正确；根据点到直线的距离公式，列出方程，结合二次函数的性质，可判定B正确；根据点点在圆上，可判定C正确；根据圆与圆的位置关系，可判定D错误. 【详解】对于A中，当直线过点和原点时，此时直线方程为，满足题意； 当直线过点，且斜率时，可得直线方程为，满足题意， 所以经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有两条，所以A不正确； 对于B中，当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 可得，整理得，因为， 所以经过点且与原点距离等于1的直线有两条，所以B正确； 对于C中，因为点满足方程，所以点在圆上， 所以过点且与圆相切的直线只有一条，所以C正确； 对于D中，因为点在圆上， 根据圆与圆的位置关系，可得过点且与圆相切的圆有无数个，所以D错误. 故选：BC. 6．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：，则下述正确的是（    ） A．圆C的半径 B．点在圆C的内部 C．圆C关于直线对称 D．圆：与圆C相交 【答案】ACD 【分析】把圆的方程化成标准形式，再逐项判断得解. 【详解】圆，圆心，半径， 对于A，圆C的半径，A正确； 对于B，点到点的距离，点在圆C外，B错误； 对于C，点在直线上，圆C关于直线对称，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，而，因此圆与圆相交，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高二上·广东汕头·期中）圆：与圆：相交于A，B两点，则等于 ． 【答案】 【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可. 【详解】由圆：与圆：， 相减的公共弦所在直线方程：， 又圆：，即， 圆心为，半径， 则圆心的直线的距离为， 所以. 故答案为： 8．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】利用两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用点线矩求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 9．（23-24高二上·江苏连云港·期中）写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题设，设圆心为，则半径，讨论所求圆与圆外切、内切，分别求出对应m即可得结果. 【详解】设圆心为，则半径， 假设与圆外切，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 假设与圆内切，又与的距离为， 此时，圆内切于所求圆，则， 所以，故，则， 若，则，则圆心为，半径为，故； 若，则，不满足前提； 综上，或.    故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解. （2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 11．（23-24高二上·上海·课后作业）已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】 【分析】设圆（），依题意得到关于，，的方程组，求解可得，，的值，则圆的方程可求； 【详解】圆，即，圆心，半径， 设圆（）， 则，解得， 圆的方程为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖北·期末）圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】D 【分析】求出圆心距，小于两半径之差，得到位置关系. 【详解】的圆心为，半径为， 变形为，圆心为，半径为， 故圆心距， 故圆与圆的位置关系为内含. 故选：D 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知圆：及圆：，若存在点P，使得，关于点P对称，则，的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 【答案】C 【分析】要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等，再利用圆与圆的位置关系判断即可. 【详解】结合题意：圆的标准方程为，圆心， 圆的标准方程为，圆心， 要存在点P，使得，关于点P对称，则，的半径相等， 所以，， 此时，的半径都是， 又， 所以，外切． 故选: C. 3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 4．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是（    ） A．2 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为： ， 即公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 所以． 故选：A． 二、多选题 5．（23-24高二上·云南昭通·期末）已知圆的圆心坐标为，则关于圆的说法正确的是（    ） A． B．圆与圆有且仅有2条公切线 C．直线被圆截得的弦长为 D．圆在点处的切线方程为 【答案】AD 【分析】对于A，由圆心坐标列方程求出参数即可判断；对于B，判断两圆的位置关系即可；对于C，由点到直线的距离公式结合圆的弦长公式即可判断；对于B，发现点与点都在直线上，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意圆即圆的圆心坐标为， 所以，解得，所以，故A正确； 对于B，由A可知的圆心、半径分别为， 圆的圆心、半径分别为， 所以圆心距满足，即两圆外切， 所以圆与圆有且仅有3条公切线，故B错误； 对于C，的圆心、半径分别为， 点到直线的距离为， 所以线被圆截得的弦长为，故C错误； 对于D，易得点在圆上， 而点与点都在直线上，即该点处切线斜率为0， 所以圆在点处的切线方程为，故D正确. 故选：AD. 6．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（   ） A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离 C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个 【答案】BC 【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项. 【详解】对于选项A: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误； 对于选项B: 因为圆：，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确； 对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：， 所以圆心到的距离为， 所以公共弦长为，故选项C正确; 对于选项D：因为，且， 所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）, 故选项D错误; 故选：BC. 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆永川·期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程可求公共弦的方程，根据公式可求公共弦长. 【详解】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为， 化简得公共弦所在直线方程为， 圆的标准方程为， 其圆心，半径， 圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为． 故答案为：；. 8．（23-24高二上·甘肃白银·期中）圆与圆的公共弦长为 【答案】 【分析】联立两圆可得公共弦方程，再利用垂径定理可得公共弦长. 【详解】由已知圆的圆心为，半径 圆即的圆心为，半径， 联立两圆得，即， 所以公共弦方程为， 所以点到直线的距离， 所以弦长为， 故答案为：. 9．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】由已知圆心坐标及切点确定圆心在直线，又由圆过两点得圆心在直线上，从而得出圆心坐标和半径，得圆标准方程． 【详解】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为， 又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，， 所以圆方程为． 故答案为：． 四、解答题 10．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得， 即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）已知圆交于A、B两点； (1)求过A、B两点的直线方程； (2)求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆的方程作差即可求出两圆的公共弦所在的直线方程； （2）先求出A、B两点坐标，再利用待定系数法求出圆的方程. 【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， ，即. （2）由（1）得知：，代入圆， 化简可得，. 当时，；当时，. 设所求圆的圆心坐标为，半径为r， 则， 解得：，. 过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·海南·期末）圆与圆（    ） A．相切 B．相交 C．外离 D．内含 【答案】B 【分析】由两圆圆心距与半径和差的关系即可求解. 【详解】圆的圆心，半径； 圆即的圆心，半径； 则，则， 故两圆相交. 故选：B. 2．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆与圆的位置关系可知，所求直线为两圆的圆心所在直线. 【详解】线段的垂直平分线为圆心连线， 由圆的方程可知，，，, 所以直线的方程为，化简为. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦所在直线，分别求出其中一圆的圆心到直线的距离与半径，再利用直线与圆的相交弦长公式即可求出答案. 【详解】联立方程组，， 两式相减，得，为公共弦长所在直线的方程， 又圆的圆心为，， 圆心到直线的距离为， 所以两圆公共弦长. 故答案为：. 三、解答题 4．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设的方程为，利用圆心到直线的距离为，求出，即可得解； （2）设圆的方程为，依题意圆心在直线上，从而得到方程组，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则的方程为， 将代入圆的方程，解得或， 所以，符合条件； 若直线的斜率存在，设的方程为， 即． 因为，所以圆心到直线的距离为， 所以， 解得，所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （2）设圆的方程为． 因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为． 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二上·山东东营·阶段练习）已知在平面直角坐标系中，圆. (1)过点作圆的切线，求切线方程； (2)求过点的圆的弦长的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据点在圆上，求出直线的斜率；再根据圆的性质可得出所求切线的斜率和方程. （2）先根据点在圆内，求出圆心到点的距离；再利用几何法可得圆心到直线距离的最大值；最后利用勾股定理即可求出过点的圆的弦长的最小值. 【详解】（1） 由圆可得：圆心，半径. ， 点在圆上，即点为切点. 直线的斜率为 所求切线斜率为. 切线方程为，即. （2） 点在圆内. 设直线过点，圆心到直线距离为， 圆半径 则. 结合图形可知当时，取得最大值，为，. 过点的圆的弦长的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$