暑假作业02 基本不等式——2026届新高三数学暑假分层作业

暑假作业02 基本不等式 作业导航： 一、基础篇·题型全面覆盖，基础知识巩固 二、提升篇·重点题型提升，加强能力培养 基础篇 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小 【详解】因为， 所以，所以，即，故A错误； 因为，所以，故B错误； 由A知，两边同乘以正数，则，故C错误； 因为，所以，所以（，等号不成立）， 故，故D正确. 故选：D 2．（2026高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【详解】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：A. 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小 【详解】由题意得，， 因为，故，， 即， 故选：B 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【知识点】构造不等式求最值 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即，令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式的恒成立问题 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 9．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 10．（多选）（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【详解】解：对于A， 当且仅当时，等号成立，∴A正确； 对于B． 当且仅当，即时，不合题意，不能取等号，∴B错误； 对于C．，当且仅当时，等号成立，∴C正确； 对于D．恒成立，即恒成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立，，D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ． 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是9. 故答案为：9. 13．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， ， 当且仅当：，即时不等式取等号， 故答案为：. 14．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】由得， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 提升篇 1．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 2．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【知识点】消元法求最值 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】条件等式求最值 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）已知（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【详解】，， ， 当且仅当即时，等号成立， 此时取到最小值． 故选：B． 8.（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【知识点】消元法求最值 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】换元法求最值 【详解】法一：令，则 当且仅当，即时取等号． 法二：令，则， ∴原式，当且仅当时，即时取等号． 法三： ，当且仅当时取等号． 法四： 当且仅当时，即时取等号． 故选：A． 10．（多选）（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式比较大小、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A，因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故A错误； 对于B，因为，，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：D. 11．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【知识点】由基本不等式比较大小、基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ， 令，则可化为， 令，则， 化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，， 故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误. 故选：AC 12．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【详解】， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为3． 故答案为：3 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 14．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假作业02 基本不等式 作业导航： 一、基础篇·题型全面覆盖，基础知识巩固 二、提升篇·重点题型提升，加强能力培养 基础篇 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 4．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为，则（    ） A． B． C． D．的大小无法确定 6．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 7．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 8．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 10．（多选）（23-24高三上·黑龙江牡丹江·期末）下列不等式正确的是（    ） A．已知为正实数，，则的最小值为 B．有最小值2 C．已知正数满足，则的最大值是1 D．若对任意恒成立，则实数的取值范围是 11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 12．（2025·安徽·模拟预测）若，则的最小值是 ． 13．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知，则的最小值为 ． 14．（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为 ． 提升篇 1．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 6．（2025·广东·二模）若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（2025高三·全国·专题练习）已知（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.（2025·山东济宁·模拟预测）已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 10．（多选）（24-25高三上·辽宁丹东·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 12．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的最小值为 ． 13．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 14．（2025·江西·二模）已知，，，则的最小值为 . 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$