7.1 认识证明 　课件　2025—2026学年北师大版数学八年级上册

证明的必要性 观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确.因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠　 　、实验、归纳是不够的,必须进行有理有据的　 　.  过教材　要点概览 观察 证明 1 认识证明 第1课时 为什么要证明 第七章 命题与证明 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 探究点　证明的必要性 例1　先观察再验证: (1)图(1)中黑色实线是直的还是弯曲的? (2)图(2)中的直线a与直线b平行吗? (3)图(3)中的线段m和n一样长吗? 精讲练　新知探究 解:观察可能得出的结论是: (1)图(1)中黑色实线是弯曲的. (2)图(2)中直线a与直线b不平行. (3)图(3)中线段m和n不一样长. 用科学的方法验证发现: (1)图(1)中黑色实线是直的. (2)图(2)中a∥b. (3)图(3)中线段m和n一样长. 2 例2　小路发现当x=-2,-1,0,1,2,3,…时,代数式x2+6x+9的值均大于0,因此小路断定:对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0,你认为小路的说法正确吗?为什么? 解:不正确.理由如下: 当x=-3时,x2+6x+9=0,这与“对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0”相矛盾,因此,并非对于任意一个数x,代数式x2+6x+9的值均大于0. 3 巩固训练 1.先观察再验证,左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大? 解:将左图中间的圆圈与右图中间的圆圈进行叠合,即可得到中间的圆圈大小相同. 4 2.已知n为正整数,2n+4-2n一定是30的倍数吗? 解:2n+4-2n=2n(24-1)=15×2n, 由n为正整数,得到2n为2的倍数, 则15×2n为30的倍数,即2n+4-2n一定是30的倍数. 5 基础巩固练 01 知识点　证明的必要性 1 认识证明 第1课时 为什么要证明 1.下列关于判断一个数学结论是否正确的说法中,正确的是( ) A.只需观察得出 B.只需依靠经验得出 C.通过亲自试验得出 D.必须进行有根据的证明 D 第七章 命题与证明 2.关于代数式n2-n+11的值,下列叙述中错误的是( ) A.当n=0,1,2,3时,代数式的值是质数 B.不能肯定n为任意自然数时,代数式的值都是质数 C.当n=11时,代数式的值是合数 D.当n为任意实数时,代数式的值不是质数就是合数 D 7 3.下列说法正确的是( ) A.通过观察、实验、归纳完全可以判断一个数学结论的正确与否 B.推理是科学家的事,与我们没有多大的关系 C.对于自然数n,n2+n+37一定是质数 D.有10个苹果,将它们放进9个筐中,则至少有一个筐中的苹果不少于2个 4.∠1与∠2的两边分别垂直,小明根据“四边形的内角和等于360°”得出如下结论:当两个角的两边分别垂直时,那么这两个角互补.你认为他的结论正确吗?若正确,请填写“正确”;若不正确,请直接写出正确 的结论:　 　.  D 相等或互补 8 5.有下列式子: 5+10=15,5+14=19; 7+10=17,7+14=21; 11+10=21,11+14=25; 13+10=23,13+14=27; …. 是否每一个质数分别加上10,14后,所得的结果至少有一个是合数? 你的结论是　 　.  理由是　 　.  不是 例如3+10=13,3+14=17,结果均为质数 9 6.如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8一定成立吗?为什么? 解:如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|=8不一定成立.理由如下: 例如当a=-3,b=5时,|-a|=3,|b|=5,但是|-3+5|=2. 10 7.请仔细观察如图所示的图形,回答下列问题: (1)观察:长方形的中间部分比两端宽吗? (2)你对自己的结论有十分的把握吗?经过验证后结论是什么?谈一谈你的体会. 解:(1)观察得长方形中间部分比两端宽. (2)没有. 用直尺验证后,发现长方形中间部分与两端一样宽. 体会:仅由观察、猜想获得的结论不一定正确. 11 能力提升练 02 8.妈妈让小明给客人烧水沏茶,洗水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟,洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,放茶叶要用1分钟,泡茶要用2分钟,给同学打电话要用1分钟.小明最少可用多长时间使客人喝到茶?( ) A.19分钟 B.18分钟 C.17分钟 D.16分钟 B 12 9.(淄博中考)甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场),结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙胜的场数相同,则丁胜的场数是( ) A.3　　 B.2 C.1　　 D.0 10.已知a,b,c是不完全相等的任意实数,若x=a-2b+c,y=a+b-2c,z=-2a+b +c,则关于x,y,z的值,下列说法正确的是( ) A.都大于0 B.至少有一个大于0 C.都小于0 D.至多有一个大于0 D B 13 11.甲、乙、丙、丁四位同学参加数学知识竞赛,分别获得了第一、二、三、四名,大家猜测谁得第几名时,明明说:“甲得第一,乙得第二.”文文说:“甲得第二,丁得第四.”凡凡说:“丙得第二,丁得第三.”名次公布后,他们每人都只猜对了一半,那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为 　 　.(按第一、二、三、四的名次排序)  甲、丙、乙、丁 14 12.如图所示,两个大小相同的大圆,其中一个大圆内有10个小圆,另一个大圆内有2个小圆,你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大?请你猜一猜,并用学过的知识和数学方法验证你的猜想. 15 16 素养培优练 03 13.请仔细观察如图所示的正方形网格中的图形(各顶点均在格点上): 你看出哪里“不对劲”了吗?想必你一定发现了一个匪夷所思的事情:下面的图形是把上面那个图形分割成四块再重新拼合而成的,可是结果却莫名其妙地“缺少了”一个小方格!请问,这是怎么回事呢? 17 解:两个图形乍看起来是全等的直角三角形(第二个图形加上缺少的那个方格),其实这是一种错觉,它们并不是三角形,利用直尺测量,会发现“斜边”并不是一条线段,第一个略“凹陷”,第二个略“鼓”,看起来下面缺少一块,其实它们的面积相等. 18 谢谢观赏！ 19 解:大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和相等. 验证如下: 设大圆的直径为d,则大圆内的10个小圆的直径为,另一个大圆内的2个小圆的直径为.则大圆内10个小圆的周长和为10×π×=πd,另一个大圆内的2个小圆的周长和为2×π×=πd, 所以大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和相等. $$公理、定理与证明 (1)公认的　 　称为公理.  (2)演绎推理的　 　称为证明.  (3)经过证明的　 　称为定理.  过教材　要点概览 第3课时　定理与证明 真命题 过程 真命题 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 探究点一　公理、定理 例1　下面关于公理和定理的联系中说法不正确的是( ) A.公理和定理都是真命题 B.公理就是定理,定理也是公理 C.公理和定理都可以作为推理论证的依据 D.公理的正确性不需证明,定理的正确性需证明 精讲练　新知探究 B 2 巩固训练 1.下列语句中,属于定理的是( ) A.在直线AB上取一点E B.如果两个角相等,那么这两个角是对顶角 C.同位角相等 D.同角的补角相等 2.下列所学过的真命题中,不是公理的是( ) A.对顶角相等 B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C.同位角相等,两直线平行 D.三边分别相等的两个三角形全等 D A 3 探究点二　证明 例2　请你完成命题“邻补角的平分线互相垂直”的证明(画出图形,写出已知、求证,并完成证明). 4 巩固训练 3.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,下列结论不一定正确的是( ) A.∠A>∠C B.AB+BC>AC C.∠A+∠C=90° D.BC2=AC2-AB2 A 5 4.如图所示,直线EF,CD相交于点O,OA⊥OB,且OC平分∠AOF.求证:∠AOE =2∠BOD. 6 基础巩固练 01 知识点一　公理、定理 第3课时　定理与证明 1.下列命题不是基本事实的是( ) A.两点确定一条直线 B.两直线平行,内错角相等 C.两点之间线段最短 D.三边分别相等的两个三角形全等 B 2.下列说法正确的是( ) A.“对顶角相等”是定义 B.“在直线AB上取一点C”是命题 C.同角的补角相等 D.“同位角相等”是定理 3.下列说法正确的是( ) A.命题是定理,定理是命题 B.命题不一定是定理,定理不一定是命题 C.真命题有可能是定理,假命题不可能是定理 D.定理可能是真命题,也可能是假命题 C C 8 4.有下列命题:①能被3整除的数也能被6整除;②等式两边除以同一个 数,结果仍是等式;③x=2是一元一次方程x-2=0的根;④对顶角相等.其中是定理的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A 9 知识点二　证明 5.下列问题中,用到推理证明的是( ) A.根据a=c,b=c,得a=b B.通过观察得到了三角形有三个角 C.生物老师告诉我们很多关于人体的奥秘 D.由公理知道过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 A 10 6.下列命题属于基本事实(或公理),不需要证明的是( ) A.三角形的内角和等于180° B.同角的补角相等 C.邻补角的平分线互相垂直 D.两点确定一条直线 7.如图所示,∠AOB=∠COD=90°,那么∠AOC=　 　,依据是　 . 　.  D ∠BOD 同角 的余角相等 11 12 9.如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,OE,OF分别是∠AOC,∠BOD的平 分线. 求证:射线OE,OF在同一条直线上. 13 能力提升练 02 10.下列说法正确的是( ) A.真命题都可以作为定理 B.公理不需要证明 C.定理不一定都要证明 D.证明只能根据定义、公理进行 11.如图所示,AD=BC,要使△ABC≌△BAD,若根据三角形全等的判定公理 (基本事实)判定,则需添加的一个条件可以是　 　.  B AC=BD(答案不唯一) 14 12.如图所示,在△ABC中,D是AB边上的一点,有下列三个关系:①∠ACB= 90°;②AC=CD;③∠ACD=2∠B.取两个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,并写出证明过程. 解:答案不唯一.如果∠ACB=90°,AC=CD,那么∠ACD=2∠B. 证明:∵∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠B. ∵AC=CD,∴∠A=∠ADC. ∴∠ACD=180°-2∠A. ∴∠ACD=180°-2(90°-∠B)=2∠B. 15 13.求证:邻补角的平分线互相垂直. 16 素养培优练 03 14.如图所示,在△ABC和△DEF中,点B,E,C,F在同一条直线上,下面给出四个论断:①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF.从中选三个作为条件,剩余的一个作为结论,请写出一个真命题(用⊗⊗⊗⇒⊗的形式表示),并给出证明. 17 解:答案不唯一.①③④⇒②. 证明:∵BE=CF, ∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∵AB=DE,∠ABC=∠DEF,BC=EF, ∴△ABC≌△DEF. ∴AC=DF. 18 谢谢观赏！ 19 解:已知:如图所示,AB,CD相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠AOD. 求证:OE⊥OF. 证明:∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=∠AOC. ∵OF平分∠AOD,∴∠AOF=∠AOD. ∵∠AOC+∠AOD=180°, ∴∠EOF=∠AOE+∠AOF=∠AOC+∠AOD=(∠AOC+∠AOD)=×180° =90°.∴OE⊥OF. 证明:∵OC平分∠AOF, ∴∠AOC=∠COF. ∴∠AOC=(180°-∠AOE)=90°-∠AOE. ∵∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°, ∴∠BOD=180°-90°-∠AOC=90°-(90°-∠AOE)=∠AOE. ∴∠AOE=2∠BOD. 8.如图所示,直线AB与CD相交于点O,射线OE是∠BOD的平分线. 求证:∠BOE=∠AOC. 证明:∵OE是∠BOD的平分线(已知), ∴∠BOE=∠BOD(角平分线的定义). ∵∠BOD=∠AOC(对顶角相等), ∴∠BOE=∠AOC(等量代换). 证明:∵OE平分∠AOC,OF平分∠BOD, ∴∠COE=∠AOC,∠DOF=∠BOF=∠BOD. ∵∠AOC=∠BOD,∴∠COE=∠DOF. ∵∠COB+∠BOD=180°,即∠COB+∠BOF+∠DOF=180°, ∴∠COB+∠BOF+∠COE=180°,即∠EOF=180°. ∴射线OE,OF在同一条直线上. 已知:如图所示,点C是直线AB上的一点,作射线CD,CE,CF分别是∠ACD,∠BCD的平分线. 求证:CE⊥CF. 证明:∵点C是直线AB上的一点(已知), ∴∠ACD+∠BCD=180°(平角的定义). ∵CE,CF分别是∠ACD,∠BCD的平分线(已知), ∴∠ECD=∠ACD,∠FCD=∠BCD(角平分线的定义). ∴∠ECF=∠ECD+∠FCD=(∠ACD+∠BCD) =×180°=90°(等量代换), ∴CE⊥CF(垂直的定义). $$1.定义 对　 　和　 　的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.  2.命题及其构成 (1)判断一件事情的　 　,叫作命题.  过教材　要点概览 第2课时　定义与命题 名称 术语 句子 初中同步学习导与练·数学·BSD·八上 (2)一般地,每个命题都由　 　和　 　两部分组成.　 　是已知的事项,　 　是由已知事项推断出的事项.命题通常可以写成“　 　”的形式,其中“　 　”引出的部分是条件,“　 　”引出的部分是结论.  3.真命题、假命题与反例 (1)真命题:　 　的命题称为真命题.  (2)假命题:　 　的命题称为假命题.  (3)反例:要说明一个命题是假命题,常常可以举出一个例子,使它具 备命题的　 　,而不具有命题的　 　,这种例子称为反例.  条件 结论 条件 结论 如果……,那么…… 如果 那么 正确 不正确 条件 结论 2 探究点一　定义与命题的概念 例1　下列语句属于定义的是( ) A.两点之间线段最短 B.25的平方根是±5 C.全等图形的形状和大小都相同 D.含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程 精讲练　新知探究 D 3 例2　下列句子中,哪些是命题? (1)今天的天气真好! (2)这本书你看完了吗? (3)如果a=-b,那么a2=b2. (4)奇数不能被2整除. 解:(1)不是命题.(2)不是命题.(3)是命题.(4)是命题. 4 巩固训练 1.下列语句不是命题的是( ) A.明天有可能下雨 B.同位角相等 C.负数都小于零 D.如果x2>0,那么x>0 A 5 探究点二　命题的构成 例3　将下列命题改写成“如果……,那么……”的形式,并指出它们的条件和结论. (1)有理数一定是自然数; 解:(1)如果一个数是有理数,那么这个数一定是自然数. 条件:一个数是有理数. 结论:这个数一定是自然数. 6 (2)负数之和仍为负数. 解:(2)如果一个数是几个负数之和,那么这个数是负数. 条件:一个数是几个负数之和. 结论:这个数是负数. 7 巩固训练 2.如果a=b,那么|a|=|b|,这个命题的条件是　 　,结论是　 　. a=b |a|=|b| 8 探究点三　真命题和假命题 例4　判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,举出一个反例. (1)一个角的补角必是钝角; (2)过已知直线上一点及该直线外的一点的直线与已知直线必是相交 直线. 解:(1)假命题. 反例:若一个角等于100°,则它的补角等于80°,而80°的角不是钝角,故是假命题. (2)真命题. 9 基础巩固练 01 知识点一　定义与命题的概念 第2课时　定义与命题 1.下列句子中,不是命题的是( ) A.三角形的内角和等于180° B.对顶角相等 C.过一点作已知直线的平行线 D.两点确定一条直线 C 2.下列属于定义的是( ) A.延长线段AB至点C B.线段是直线上的两点和两点间的部分 C.同角或等角的补角相等 D.内错角相等,两直线平行 3.下列语句定义“两点之间的距离”正确的是( ) A.连接两点之间的线段,叫两点之间的距离 B.连接两点之间的直线,叫两点之间的距离 C.连接两点之间的线段的长度,叫两点之间的距离 D.连接两点之间的直线的长度,叫两点之间的距离 B C 11 4.有下列句子:①直角三角形中的两个锐角互余;②正数都小于0;③在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线;④太阳不是行星;⑤对顶角相等吗?⑥画一个角等于已知角.其中是定义的是　 　,是命题的是　 . 　,既不是定义也不是命题的是　 　.(填写序号)  ③ ①② ④ ⑤⑥ 12 知识点二　命题的构成 5.命题“对顶角相等”的条件是　 　,结论是　 . 　,将它改写成“如果……,那么……”的形式是　 . 　.  6.命题“同角的余角相等”的条件是　 　.  两个角是对顶角 这两个 角相等 如果两个角 是对顶角,那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 13 知识点三　真命题和假命题 7.下列命题中的假命题是( ) A.互补的两个角不能都是锐角 B.有理数和数轴上的点一一对应 C.乘积是1的两个数互为倒数 D.全等三角形的对应角相等 B 14 C 15 9.下列命题属于真命题的是( ) A.在△ABC中,若a2=(b+c)(b-c),则△ABC是直角三角形 B.1的平方根是它本身 C.无限小数都是无理数 D.若|x|=|y|,则x=y A 16 10.请判断下列命题的真假,若是假命题,请举反例说明. (1)若a>b,则a2>b2; (2)两个无理数的和仍是无理数; 解:(1)若a>b,则a2>b2,是假命题. 反例:0>-1,但02<(-1)2. 17 (3)若一个三角形的三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则此三角形是等边三角形. 解:(3)若一个三角形的三边长a,b,c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,则此三角形是等边三角形,是假命题. 反例:当a=b,b≠c时,(a-b)(b-c)(c-a)=0,此三角形是等腰三角形. 18 能力提升练 02 11.(2025郑州期末改编)下列命题是假命题的是( ) A.正比例函数的图象一定经过原点 B.直角三角形的两锐角互余 C.x轴上的点的横坐标均为0 D.二元一次方程组可能无解 C 19 12.有下列命题:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②平方根与立方根相等的数有1和0;③在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;④直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中,最短线段的长是 5 cm,则点A到直线c的距离是5 cm;⑤无理数包括正无理数、零和负无理数.其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A 20 13.如图所示,直线a,b,c在同一平面内,现有以下三句话:①a⊥c;②b⊥ c;③a∥b.请以其中两句话为条件,另一句话为结论构造命题. (1)你构造的是哪几个命题? (2)你构造的命题是真命题还是假命题? 解:(1)由①②,推出③;由①③,推出②;由②③,推出①. (2)构造的命题都是真命题. 21 14.新定义　对于任意有理数a,b,规定一种特别的运算“⊕”:a⊕b=a-b+ab. 例如,2⊕5=2-5+2×5=7. (1)求3⊕(-1)的值. (2)若(-4)⊕x=6,求x的值. 解:(1)3⊕(-1)=3-(-1)+3×(-1)=3+1-3=1. (2)(-4)⊕x=6, 则-4-x-4x=6, 解得x=-2. 22 (3)试探究这种特别的运算“⊕”是否具有交换律?若具有,请说明理由;若不具有,请举一个反例说明. 解:(3)这种特别的运算“⊕”不具有交换律. 反例:2⊕5=2-5+2×5=7, 5⊕2=5-2+5×2=13, ∴2⊕5≠5⊕2, ∴这种特别的运算“⊕”不具有交换律. 23 素养培优练 03 15.如图所示,若△ABC内一点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称点P为△ABC的布洛卡点.某数学兴趣小组研究一些特殊三角形的布洛卡点时,得到下列两个命题: ①若∠BAC=90°,则∠APC=90°; ②若AB=AC,则∠APB=∠BPC. 下列说法正确的是( ) A.①为真命题,②为假命题 B.①为假命题,②为真命题 C.①②均为假命题 D.①②均为真命题 D 24 谢谢观赏！ 25 8.下列能够说明“设a,b是任意非零实数,若a>b,则<”是假命题的一组整数a,b的值是( ) A.a=1,b=2 B.a=2,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 (2)两个无理数的和仍是无理数,是假命题. 反例:-+=0,和是有理数. $$